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La raíz cuadrada y la raíz cúbica
En general, es posible asociar las operaciones de manera que cada una se empareje con la operación inversa. Observa:
Suma y resta
+2
4
Multiplicación y división
6
4
Multiplicar y dividir son operaciones inversas.
– 2
Elevar a dos y
raíz cuadrada
1
Elevar a tres y
raíz cúbica
16
²√a
8
:2
Elevar al cuadrado y efectuar la raíz cuadrada son
operaciones inversas.
b2
4
×2
Sumar y restar son operaciones inversas.
b3
4
Elevar al cubo y efectuar la
raíz cúbica son operaciones
inversas.
64
³√a
Eleva el número 3,2 al cuadrado y el número 5,4 al cubo. ¿Qué números obtienes?
– Después, efectúa con la calculadora las raíces cuadrada y cúbica de los resultados y comprueba que las operaciones «potencia» y «raíz» son inversas.
2
Escribe en tu cuaderno los cuadrados de los primeros veinte números naturales y resuelve
las siguientes raíces cuadradas utilizando esta información:
a. √81
3
b.√196
c.√400
d.√289
Una habitación cuadrada tiene una superficie de 180 m2. Calcula la longitud de las paredes de esta habitación sin utilizar la calculadora.
— Procede por ensayo y error y da un valor correcto hasta las décimas.
4
Un recipiente cúbico tiene un volumen de 3.800 cm3. Calcula la longitud de su arista sin
utilizar la calculadora.
— Procede por ensayo y error y da un valor correcto hasta las décimas.
-1-
Números enteros y coordenadas
Los números enteros sirven para localizar puntos sobre una escala o sobre un plano.
Para ello, lo primero que necesitamos es un punto de referencia u origen:
0
(0,0)
El número 0 indica la referencia u origen en las escalas, y el par (0,0) la referencia en
los planos.
En segundo lugar, necesitamos un «criterio de signos»:
• El signo + indica «a la derecha de la referencia» o «arriba de la referencia».
• El signo – indica «a la izquierda de la referencia» o «debajo de la referencia».
En el caso del plano, necesitamos también un «criterio de orden»:
El primer número del par indica la posición horizontal y el segundo la vertical.
1
Busca información si lo necesitas y asigna un número entero a cada uno de estos estados
o situaciones. Indica en cada caso, cuál es la referencia que tomas:
a. Una deuda de 1.000 €.
b. La temperatura mínima de una noche de invierno en la Antártida.
c. El punto más alto de la superficie de la Tierra. Y el punto más bajo.
2
Hazte con una hoja cuadriculada, escoge como origen un punto de la cuadrícula, preferentemente cerca del centro, y sitúa los puntos siguientes:
a. (2, 5)
c. (0, –6)
e. (–7, 7)
b. (4, –2)
d. (–3, –3)
f. (–8, 0)
— Asigna una pareja de números enteros a cada una de las esquinas de la hoja.
2
El valor del resto
Cuando efectuamos divisiones sin la aparición de números decimales, el valor del resto nunca
es un problema. Sin embargo, comienza a serlo cuando introducimos cifras decimales:
19
Aunque, aparentemente, el resto es 4, si escribimos la prueba
de la división vemos que no es así:
6
– 18
3,1
010
19 ≠ 6 × 3,1 + 4 = 22,6
– 06
En realidad, el resto es 0,4:
4
19 = 6 × 3,1 + 0,4 = 18,6 + 0,4 = 19
Para no equivocarse con el valor del resto, hay un método sencillo: colocar los términos de la
división de otro modo, al estilo anglosajón:
Cociente
3,1
Divisor
6
19,0 Dividendo
– 18
010
3,16
Las cifras del cociente se deben colocar
en las columnas que
marcan las cifras del
dividendo.
6
– 18
010
– 06
Resto
19,00
– 06
40
4
– 36
4
19 = 6 × 3,1
+ 0,4
19 = 6 × 3,16 + 0,04
La clave para conocer el valor del resto es que su última cifra es del mismo orden que
la última cifra del divisor.
1
Efectúa las siguientes divisiones colocando los términos al estilo anglosajón:
a. 43 : 7
b. 98,3 : 9
c. 1,24 : 3
d. 100 : 6
— Cuando el divisor tiene más de una cifra, hay que tener especial cuidado:
e. 43 : 12
2
f. 100 : 11
g. 98,3 : 90
h. 1,24 : 30
Siete compañeros se han repartido el peso de un saco de 50 kg de arena en partes iguales
para transportarlo. Indica tres maneras diferentes de hacerlo y la cantidad de arena que se
ha quedado en el saco en cada caso.
3
División con divisor decimal
Un fabricante de refrescos quiere probar un nuevo envase con forma de
prisma que tiene una capacidad de 1,6 L. La cantidad de refresco que quiere
envasar para hacer la prueba es de 1.900 L. ¿Cuántas botellas podrá llenar?
¿Le sobrará refresco? ¿Qué cantidad?
Para responder, debemos efectuar la división 1.900 : 1,6.
Si multiplicamos el dividendo y el divisor de una división por la misma cantidad, el
cociente no varía y el resto queda multiplicado por dicha cantidad.
1.900
× 10
1,6
16
19.000
– 16
1187
030
– 16
Propiedad fundamental de la división:
Se debe multiplicar por 10 el divisor para eliminar
los decimales; por tanto, se multiplica también por
10 el dividendo.
140
– 128
120
– 112
008
El fabricante podrá llenar 1.187 envases.
Puesto que el resto queda multiplicado por 10, como el dividendo y el divisor, tenemos que:
Le sobrarán 0,8 L de refresco.
1
Efectúa las divisiones siguientes:
a. 347 : 2,5
c. 35.972 : 1,25
e. 578,2 : 1,3
b. 2.608 : 3,82
d. 2.506,3 : 2,75
f. 3,468 : 5,2
— Escribe, en cada caso, la prueba de la división.
2
Completa estas pruebas de la división, de modo que sean correctas:
a. 308 = 2,5 × .... + ....
c. 207,86 = .... × 3,76 + 0,308
b. 1.567,2 = 1,7 × 921,88 + ....
d. 150,25 = .... × .... + 0,75
4