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Definición: Un axioma es una verdad evidente o una expresión lógica utilizada en
la deducción para llegar a una conclusión.
1.
AXIOMA ETIMOLOGÍA
Proviene del griego :
αξιωμα (axioma), que significa " lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y
sin necesidad de demostración.
o La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar“
o Que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno".
o DEFINICIÓN ETIMOLÓGICA:
o Un axioma es aquello que parece ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
o
o
1.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar
completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se
pueden deducir las demás propiedades.
o Los números reales son el conjunto R con dos operaciones binarias (+) y (x) el cual satisface los
siguientes axiomas.
2. AXIOMA 1: CERRADURA O CLAUSURA
o Si a y b están en R entonces a + b y a*b son números determinados en forma única que están también
en R.
o
DERMUM
3.
AXIOMA 2: PROPIEDAD CONMUTATIVA (SUMA Y MULTIPLICACIÓN) Si a y b están en R entonces a + b =
b + a y a*b = b*a. DERMUM
4. AXIOMA 3: PROPIEDAD ASOCIATIVA (SUMA Y MULTIPLICACIÓN)
o Si a, b y c están en R entonces a+(b + c) = (a + b)+c y
o a*(b*c) = (a*b)*c
DERMUM
5.
o
AXIOMA 4: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.
Si a, b y c están en R entonces a*(b+ c) = ab+ ac .
DERMUM
6.
o
AXIOMA 5: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS.
R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.
DERMUM
7.
o
o
AXIOMA 6: ELEMENTOS INVERSOS
Si a está en R entonces existe un
(-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R
tal que a*(1/a) = 1.
DERMUM
8.
o
o
o
o
o
o
o
Propiedades en R
Si a, b, y c son números reales entonces:
a+b = b+c => b = c; Ley de simplificación para la suma.
(-a) es único; Posibilidad de la sustracción
-(-a) = a
-(a+b) = -a + (-b)
ab = ac, a ≠ 0 => b = c
− 1 es único  (−1)a = -a
o
o
o
o
a*0 = 0
(-a)b = a(-b) = -ab
(-a)(-b) = ab
ab = 0 => a=0 ó b=0
Hay tres tipos de axiomas:



Los axiomas algebraicos
Los axiomas de orden
El axioma topológico
Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en
dos tipos: los de suma y producto.
1. Axiomas de la suma
Axioma
A1.1 Para todo
, existe un único elemento, también en , denotado por
que llamamos la suma de e .
A1.2
para todo
.
A1.3
para todo
.
A1.4 Existe un elemento de , denotado por tal que
para todo
.
A1.5 Para cada
existe un
tal que
.
2. Axiomas del producto
Axioma
A2.1 Para todo
, existe un único elemento, también en , denotado por
que llamaremos el producto de e .
A2.2
para todo
.
A2.3
para todo
.
A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por tal que
A2.5 Para cada
tal que no sea cero, existe un
tal que
.
Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los
naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los
naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su
cardinalidad es menor o igual que otra.
Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo que nos dirá si
un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo que ya
conocemos.
Se dirá que
que .
o
sólo si es menor que . O dicho de otra forma, si es mayor
De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto
y sólo si
.
tal que
si
Se dan a continuación los Axiomas de Orden
Axioma
O1.1 Si
, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones:
;
;
O1.2 Si
y además
,entonces
.
O1.3 Si
, entonces
para todo
O1.4 Si
y
, entonces
.
Axioma topológico
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto,
demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo.
Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente.
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
Valor absoluto
De un número entero es el número natural que sigue al signo. Se
indica poniendo el número entero entre barras.
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin
tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor
absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real
puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones,
anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real x se escribe como x y se define como
x=
X si x es positivo,
-X si x es negativo.
Así, por ejemplo, 3/5 = 3/5 y -523 = -523
http://www.scribd.com/doc/42489/Valor-Absoluto
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