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INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
LA BOBINA (INDUCTOR) Y DEFINICIÓN DE INDUCTANCIA (L)
La inductancia es el parámetro de circuito utilizado para describir las bobinas (o inductores). La
inductancia se simboliza mediante la letra L, se mide en henrios (H) y se representa gráficamente
mediante un hilo arrollado, lo que sirve de recordatorio de que la inductancia es una consecuencia de la
presencia de un conductor dentro de un campo magnético. La Figura 12.1a muestra una bobina.
Asignando la dirección de referencia de la corriente en dirección de la caída de tensión en las terminales
de la bobina, como se muestra en la Figura 12.1b, se obtiene
donde v se mide en voltios, L en henríos, i en amperios y t en segundos. La Ecuación (12.1) refleja el
convenio de signos pasivo mostrado en la Figura 12.1; es decir, la referencia de la corriente está en la
dirección de la caída de tensión en bornes de la bobina. Si la referencia de la corriente estuviera en la
dirección del incremento de tensión, la Ecuación (12.1) se escribiría con un signo menos.
Figura 12.1 a) Símbolo gráfico de una bobina con una inductancia de L henrios.
b) Asignación de la tensión y la corriente de referencia a la bobina, según el convenio de signos pasivo.
Observe en la Ecuación (12.1) que la tensión en las terminales de una ·bobina es proporcional a la
velocidad de variación de la corriente que atraviesa la bobina. Podemos hacer dos observaciones
importantes al respecto. En primer lugar, si la corriente es constante, la tensión en bornes de una
bobina ideal es cero. Por tanto, una bobina se comporta como un cortocircuito en presencia de una
corriente continua o constante. En segundo lugar, la corriente no puede cambiar de manera instantánea
en una bobina, es decir, la corriente no puede cambiar un cierto valor finito en un tiempo cero. La
Ecuación (12.1) nos dice que este cambio requeriría una tensión infinita, y las tensiones infinitas no son
posibles en la práctica. Por ejemplo, cuando-alguien abre el interruptor en un circuito inductivo en un
sistema real, la corriente continúa fluyendo inicialmente por el aire a través del conmutador; a este
fenómeno se lo denomina arco voltaico. Este tipo de descargas a través del conmutador evitan que la
corriente caiga a cero instantáneamente. La conmutación de circuitos inductivos constituye un
problema importante en la ingeniería, porque las descargas y los ciclos de tensión deben controlarse
para evitar daños a los equipos.
Corriente en una bobina en función de la tensión de la misma
La Ecuación (12.1) expresa la tensión en las terminales de una bobina en función de la corriente que la
atraviesa. También resulta conveniente poder expresar la corriente en función de la tensión. Para
calcular i en función de v, comenzarnos multiplicando ambos lados de la Ecuación (12.1) por el
diferencial de tiempo dt:
Multiplicando la velocidad con la que i varía con respecto a t por un diferencial de tiempo se genera un
diferencial de i, por lo que escribimos la Ecuación 6.3 como
A continuación integramos ambos lados de la Ecuación (12.3). Por comodidad, vamos a intercambiar Ios
dos lados de la ecuación y escribiremos
Observe que utilizamos x y τ como variables de integración, mientras que i y t se convierten en límites
de las integrales. Entonces, a partir de la Ecuación (12.4),
donde i(t) es la corriente correspondiente a t e i(to) es el valor de la corriente de la bobina en el
momento de iniciar la integración, es decir, en to . En muchas aplicaciones prácticas, to es igual a cero y
la Ecuación (12.5) se transforma en
Las Ecuaciones (12.1) y (12.5) nos dan la relación existente entre la tensión y la corriente en los
terminales
de una bobina. La Ecuación (12.1) expresa la tensión en función de la corriente, mientras que la
Ecuación (12.5) expresa la corriente en función de la tensión. En ambas ecuaciones, la dirección de
referencia de la corriente está en la dirección de la caída de tensión entre los terminales. Observe que
i(to) tiene su propio signo algebraico. Si la corriente inicial se encuentra en la misma dirección de
referencia de i, se tratará de una magnitud positiva. Si la corriente inicial está en la dirección opuesta, se
tratará de una magnitud negativa.
Potencia y energía en una bobina
Las ecuaciones de la potencia y energía en una bobina pueden derivarse directamente de las ecuaciones
que relacionan la corriente y la tensión. Si la referencia de la corriente está en la dirección de la caída de
tensión entre los terminales de la bobina, la potencia será
Recuerde que la potencia se mide en vatios o, lo que es lo mismo, watts; la tensión en voltios y la
corriente en amperios. Si expresamos la tensión de la bobina en función de la corriente que la atraviesa,
la Ecuación (12.7) se convierte en
También podemos expresar la corriente en función de la tensión:
La Ecuación (12.8) resulta útil para expresar la energía almacenada en la bobina. La potencia es la
velocidad a la que se gasta la energía, por lo que
Multiplicando ambos lados de la Ecuación (12.10) por un diferencial de tiempo, obtenemos la relación
diferencial
Ambos lados de la Ecuaciones (12.11) pueden integrarse, partiendo de la suposición de que la referencia
de energía cero se corresponde con una corriente de valor cero en la bobina. Así,
Combinaciones serie-paralelo de bobinas
Al igual que las combinaciones serie-paralelo de resistencias pueden reducirse a una única resistencia
equivalente, las combinaciones serie-paralelo de bobinas puede reducirse a una única bobina
condensador. La Figura 12.2 muestra un conjunto de bobinas en serie. Aquí, las bobinas están obligadas
a transportar la misma corriente; por tanto, definimos una única corriente para la combinación en serie.
Figura 12.2 Bobinas en serie.
Las caídas de tensión en bornes de las bobinas individuales son
La tensión en los extremos de la conexión serie es
a partir de lo cual debería resultar obvio que la inductancia equivalente de una serie de bobinas
conectadas en serie es la suma de las inductancias individuales. Para n bobinas en serie,
Si las bobinas originales transportan una corriente inicial i(to), la bobina equivalente transporta la misma
corriente inicial. La Figura 12.3 muestra el circuito equivalente para una serie de bobinas en serie que
transportan una corriente inicial.
Figura 12.3 Un circuito equivalente para bobinas en serie que transportan una corriente inicial i(to).
Las bobinas en paralelo tienen la misma tensión entre sus terminales. En el circuito equivalente, la
corriente en cada bobina está en función de la tensión entre los terminales y de la corriente inicial que
atraviesa la bobina. La Figura 12.4 muestra tres bobinas en paralelo. Aquí, las corrientes de las bobinas
individuales son
Figura 12.4 Tres bobinas en paralelo.
La corriente en los terminales de las tres bobinas en paralelo es la suma de las corrientes de todas las
bobinas:
Sustituyendo la Ecuación (2.14) en la Ecuación (2.15) se obtiene
Comparando las Ecuaciones (12.5) y (12.16), podemos interpretar la Ecuación (12.6) en términos de una
única bobina; es decir,
Comparando la Ecuación (12.17) con la Ecuación (12.16), vemos que
La Figura 12.5 muestra el circuito equivalente de las tres bobinas en paralelo de la Figura 12.4.
Figura 12.5 Circuito equivalente para tres bobinas en paralelo.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Determinación de la tensión en los terminales de una bobina a partir de la corriente
EL CONDENSADOR (CAPACITOR) Y DEFINICIÓN DE CAPACITANCIA
La capacitancia es el parámetro de circuito utilizado para describir los condensadores (o capacitores). La
capacitancia se simboliza mediante la letra C, se mide en faradios (H) y se representa gráficamente
mediante dos cortas placas paralelas conductoras, como se muestra en la Figura 12.9a. Puesto que el
faradio es una cantidad extremadamente grande de capacidad, los valores prácticos de los
condensadores suelen estar en el rango de los picofaradios (pF) o microfaradios (μF).
Figura 12.9 a) Símbolo de circuito para un condensador. b) Asignación de la tensión
y la corriente de referencia al condensador, según el convenio de signos pasivo.
El símbolo gráfico de un condensador es un recordatorio de que siempre existe una capacidad cuando
hay conductores eléctricos separados por un material dieléctrico o aislante. Esta condición implica que
la carga eléctrica no es transportada a través del condensador. Aunque aplicar una tensión a los
terminales del condensador no puede hacer que una carga se desplace a través del dieléctrico, sí puede
desplazar una carga dentro del dieléctrico. A medida que varia la tensión con el tiempo, el
desplazamiento de carga también lo hace, provocando lo que se conoce con el nombre de corríente de
desplazamiento.
En los terminales, la corriente de desplazamiento es indistinguible de una corriente de conducción. La
corriente es proporcional a la tasa con que varía a lo largo del tiempo la tensión en el condensador;
matemáticamente:
donde i se mide en amperios, C en faradios, v en voltios y t en segundos.
La Ecuación (12.20) refleja el convenio de signos pasivo mostrado en la Figura 12.9b; es decir, la
corriente de referencia está en la dirección de la caída de tensión en las terminales del condensador. Si
la corriente de referencia estuviera en la dirección del incremento de tensión, la Ecuación 12.20 se
escribiría con un signo menos.
Hay dos observaciones importantes que se siguen de la Ecuación 12.20. En primer lugar, la tensión no
puede cambiar instantáneamente entre los terminales de un condensador. La Ecuación 12.20 indica que
dicho cambio produciría una corriente infinita, lo cual es una imposibilidad física. En segundo lugar, si la
tensión entre terminales es constante, la corriente en el condensador es cero. La razón se halla en que
no puede establecerse una corriente de conducción en el material dieléctrico del condensador. Sólo una
tensión que varíe con el tiempo puede provocar una corriente de desplazamiento. Por tanto, los
condensadores se comportan como circuitos abiertos en presencia de una tensión constante.
La Ecuación (12.20) nos da la corriente del condensador en función de su tensión, También puede
resultar útil expresar la tensión en función de la corriente. Para ello, multiplicamos ambos lados de la
Ecuación (12.20) por un diferencial de tiempo dt e integramos los diferenciales resultantes:
Realizando la integración en el lado izquierdo de la segunda ecuación, se obtiene
En muchas aplicaciones prácticas de la Ecuación (12.21), el instante inicial es cero, es decir, to = 0. En
este caso, la Ecuación (12.21) se puede expresar como
Podemos deducir fácilmente las ecuaciones de la potencia y la energía para un condensador a partir de
la definición de la potencias.
o bien
Combinando la definición de la energía con la Ecuación (12.23) se obtiene
de donde
o bien
En la deducción de la Ecuación (12.25), la referencia de energía cero se corresponde con una tensión
cero.
Combinaciones serie-paralelo de condensadores
Los condensadores conectados en serie pueden reducirse a un único condensador equivalente. El
recíproco de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de las capacitancias
individuales (se deja al estudiante la deducción del equivalente de condensadores conectados en serie).
Si cada condensador tiene su propia tensión inicial, la tensión inicial en el condensador equivalente es la
suma algebraica de las tensiones iniciales de los condensadores individuales. La Figura 12.10 y las
siguientes ecuaciones resumen estas observaciones:
Figura 12.10 Circuito equivalente para condensadores conectados en serie.
a) Condensadores conectados en serie. b) Circuito equivalente.
La capacitancia equivalente de un número de condensadores conectados en paralelo es simplemente la
suma de las capacitancias de los condensadores individuales, como se muestra en la Figura 12.11 y la
siguiente ecuación:
.
(12.28)
Los condensadores conectados en paralelo deben tener la misma tensión entre sus terminales. Por
tanto, si existe una tensión inicial en las terminales de los condensadores originales conectados en
paralelo, esta misma tensión inicial aparecerá en el condensador equivalente Ceq (se deja como ejercicio
para el estudiante la deducción del circuito equivalente a un número de condensadores conectados en
paralelo).
Figura 12.11 Circuito equivalente para condensadores conectados en paralelo.
a) Condensadores en paralelo. b) Circuito equivalente
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Determinación de la corriente, la tensión, la potencia y la energía de un condensador
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Combinación de bobinas o capacitores en serie y en paralelo para formar una única bobina o
capacitor equivalente