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I.E.T.I. COMUNA 17
AREA MATEMÁTICAS
NUMEROS REALES
Docente: Esmeralda Bocanegra
Grado Octavo
I PERIODO
LOS NÚMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los
números reales, se designa por
. Con los números reales podemos realizar todas las
operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
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INTERVALOS.
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un
intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden
estar los extremos.
Intervalos
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo abierto
(a, b) = {x
/ a < x < b}
/ a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo cerrado
[a, b] = {x
(a, b] = {x
/ a ≤ x ≤ b}
[a, b) = {x
/ a ≤ x < b}
Semirrectas
x<a
x>a
(a, +∞) = {x
/ a < x < +∞}
/ -∞ < x < a}
x≤a
x≥a
[a, +∞) = {x
(-∞, a) = {x
/ a ≤ x < +∞}
Valor absoluto
Propiedades
|a| = |−a|
|a · b| = |a| ·|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
Distancia
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(-∞, a] = {x
/ -∞ < x ≤ a}
d(a, b) = |b − a|
Potencias
Con exponente entero
2. a1 = a
3. am · a n = am+n
4. am : a n = am - n
Con exponente racional
5. (am)n=am · n
6. an · b n = (a · b) n
Propiedades
1 .a0 = 1 · 7.an : b n = (a : b) n
Radicales
Un radical es una expresión de la forma
cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
, en la que n
ya
; con tal que
Se puede expresar un radical en forma de potencia:
Radicales equivalentes
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del
radicando, se obtiene un radical simplificado.
Reducción de radicales a índice común
1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se
multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
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Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente
obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor
dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.
Operaciones con radicales
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es
decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando. Se toma como factor común el
radical y suma la parte entera.
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Radicales del mismo índice.
Radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Raíz de un radical
RACIONALIZAR
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de
operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos.
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1. Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por
.
2. Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por
3. Del tipo
menos un radical.
.
, y en general cuando el denominador sea un binomio con al
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
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Números Reales. Taller 1
1. De las siguientes expresiones señale cuales representan números racionales ó
irracionales:
a. 0.25
g. 3+√2
b. 0.43636…
h. 0.33333
c. √2
i. √4
j. 1.03737….
d. 1+√5
k. 3√4
e. √7
2𝜋
f. 1+π
l. 3
2. Dado el siguiente diagrama de Venn donde se representa la relación de contenencia
entre los conjuntos numéricos, ubica en la región que corresponda cada uno de los
siguientes números
I
Q
Z
N
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2.5
6
-3
18
1.41
0
h. √11
3
i. 4
√7
j. 3
k. 5
8
3
3. Indica cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas.
Explica.
a. Ningún numero entero es racional
b. Algún número entero es racional
c. Todo número irracional es entero
d. Todo número natural es entero
e. Al menos un número racional es irracional
f. Algún número racional no es irracional
g. Ningún número irracional es entero.
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Números Reales. Taller 2
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Números Reales. Taller 2B
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Números Reales. Taller 3
1.
Clasifica los números:
2. Representa en la recta:
1
−2 3
0.1
5
-1.5
4
3. Representa en la recta real y expresa como intervalos los números que verifican las
siguientes relaciones:
-8<x <3
|x| ≤ 1
1
|x −2| < 4
-5x ≤√2
x4
2
≤x≤ √5
|x| ≥ 1
1
x≥0
4. Escriba como intervalo el conjunto definido sobre la recta real.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. Escriba, si es posible, como intervalo o unión de intervalos los siguientes
conjuntos de números reales:
a) A  { x / 5  x  9}
b) B  { x / 1  x  3}
c) C  { x / x  2  x  2}
d) D  { x / 4  x  2  x  1}
6. Escriba en notación conjuntista los siguientes intervalos de números reales:
a)
d)
b) ( , 1]
e)
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c) (7, 2]
f) [4, 9]
7.
Calcula
8. Completa cada cuadro con los signos >, <, = según corresponda
9.
Escribe Falso o Verdadero y justifica con un ejemplo
10. Calcula:
a.  + (-) =
b. —(- 0.75) + 0.5 =
c. −√2 +(-(-√2)) =
2
5
d. 3 +(-4)
e. 8— (−14) =
f. −10-15=
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g.
h.
i.
j.
k.
l.
— 2 + (-5)=
-7-(-4)-5=
√4 − √9 − √25 =
32 − 32 + (−3)2 =
5
6
—
−4 =
4
3
90−174 =
11. Usando el Teorema de Pitágoras encuentra la medida de la magnitud señalada
9
a.
¿
b.
c.
6
¿
4
6
?
8
5
12. Efectúa las siguientes operaciones
a. 2𝑎 √𝑡 + 3𝑎 √𝑡 − 4𝑎 √𝑡 + 𝑎√𝑡
2
1
7
3
b. 3 √𝑏 + 3 √𝑏 + 3 √𝑏 − 3 √𝑏
7
1
1
2
c. 9 √𝑚 + 5 √𝑚 − 6 √𝑚 + 8 √𝑚
d. −3 × 15
e. −7 × (−8)
9
f.
× 20
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
25
3
4
8
×9
1
10 ÷ 2
0,168 × 19
3,4 ÷ (-2)
7,5 ÷2,82
12,63 ×0,18
3 ×√3 (aproximando)
13. Halla las sumas:
14. Calcula los valores de las siguientes potencias:
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n. 10 ×π (aproximado)
o. −5 × (−√5)
6
3
p. − 5 ÷ 10
q.
9
6
7
−
11
3
r.
8
s. 2,37 + 18,5
t. √3 + (−√2)(representa en la
recta)
u. −2 + √2 (representa en la
recta)
v. √5 ÷ 2 (representa en la
recta)
15. Usa propiedades y simplifica:
a. 52 + 59 + 5−18
239
b.232
410 ×417
c. 421 ×49
d. 3−8 × 3−14 × 317
e. (63 )7 × (64 )−14 × (62 )18
f. [(−2)5 ]8 × [(−2)−6 ]9 ×
[(−2)2 ]−5
g.
h.
4
7
(102 )41
√23 × 𝑎3
× 𝑏6
(109 ) × (107 )
3
16. Realiza las operaciones:
17. Opera:
18. Efectúa:
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5
i. √45 × 𝑥10 × 𝑦15
j.√2𝑎4 × 53 × 𝑏 5
k. √75𝑎5 𝑏10
81𝑎3 𝑏 4
l. √
48𝑎2
𝑥 6 𝑦 10
m. √25𝑥 4 𝑦 6
3
n. √(−125)𝑥 3 𝑦 9
19. Calcula:
20. Racionalizar
Desafíos matemáticos 8. Ed Norma
Nueva matemática constructiva 8. Ed libros & libros.
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