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Prueba Única
Tema N° 1
8  7n
, donde n   , (siendo Z el conjunto de números
2n  5
Considerando la fracción
enteros).
a) ¿Cuál es el menor valor de “n” para el cual la fracción es positiva?
b) ¿Cuál es el mayor valor de “n” para el cual la fracción es positiva?
Resolución
8  7n
0
2n  5
2n  5  0
8  7n  0
8  7n
n8
n  5
2
7
para n  0

 0 ( si )

el menor valor de n es :  2
el mayor valor de n es :
1
Tema N° 2
Demuestre que el producto de tres números enteros consecutivos sumado al
número intermedio es un cubo perfecto.
Resolución
x , x 1 , x  2
; x Z
N  x ( x  1) ( x  2 )  ( x  1)
 ( x  1) x ( x  2 ) 1 
 ( x  1) ( x 2  2 x  1)
 ( x  1) ( x  1) 2  ( x  1) 3  N
P.D. que N es cubo perfecto
Tema N° 3
Dada la siguiente configuración de números naturales:
1
5
2
3
4
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Halle la suma de números situados en la n-ésima fila.
Resolución
( 2)
1
2
2
3
_____ fila 1
4
( 1 término )
_____ fila 2 ( 3 términos )
(
32)
5
6
7
8
9
_____ fila 3 ( 5 términos )
( 2)
4
10
11
12
13
14
15
16
........................................................................................( n – 1 )2
( n – 1 )2 + 1 ................................................................................... n2
_____ fila 4
( 7 términos)
_____ fila (n – 1)
_____ fila n ((2n – 1) términos )
para la ultima fila tenemos una progresión
aritmética con d  1 , a1  (n  1) 2  1 , an  n 2
 S n  (a1  a n )
n
(2n  1)
(2n  1)
 (n  1) 2  1  n 2
 ( n 2  2n  1  1  n 2 )
2
2
2


S n  (n 2  n  1)( 2n  1)
Tema N° 4
Considérese un triángulo oblicuángulo (no tiene ángulos rectos) con ángulos
 ,  ,  . Demuestre que:
tan   tan   tan   tan  . tan  . tan 
Resolución
Sabemos que para todo triángulo :
      180 0
 sen(     )  sen (180 0 )
sen
(    )  0
sen (   ) cos   cos(   ) sen  0
sen cos   cos  sen  ) cos   (cos  cos   sensen )
sen  0
sen  cos  cos   cos  sen cos   cos  cos  sen  sen  sen sen
sen  cos  cos   cos  sen cos   cos  cos  sen 
sen  sen sen
dividiendo ambos miembros para (cos  cos  cos  ) , considerando que
  90 0 ,   90 0 ,   90 0 ( para evitar in det er min aciones ) , tenemos :
sen cos  cos  cos  sen cos  cos  cos  sen sen sen  sen



cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos 
cos  cos  cos 
tan   tan   tan   tan  tan  tan 
Tema N° 5
n 0 0 


Sea la matriz A  n n 0 , y n   .
n n n
Halle
An (potencia n-ésima de la matriz A).
Resolución
 n 0 0
 1 0 0




A =  n 0 0  n  1 1 0 
 n 0 0
111




n
  1 0 0 


n 
 A  n  1 1 1   n n
  1 1 1 
 1 0 0


1 1 0
111


n
 1 0 0


Observamos el comportamiento de las potencias de la matriz  1 1 0 
111


1
 1 0 0
 1 0 0




1 1 0  1 1 0
111
111




=0
 1 0 0


1 1 0
111


2

 1 0 0


1 1 0
111


 1 0 0
 1 0 0




 1 1 0  =  2 1 0
111
 3 2 1




3
 1 0 0
 1 0 0
 1 0 0  1 0 0






 
 1 1 0    2 1 0  1 1 0  =  3 1 0 
 6 3 1
111
 3 2 1  1 1 1 






 
Continuando con este proceso, se concluye:
 1 0 0


1 1 0
111


n
1


n

  n(n  1)

2


0 0
1 0
n 1







Por lo tanto:

 1
n
n 
A n
n
 n(n  1)

 2

0 0
1 0

n 1

Tema N° 6
Dado el gráfico adjunto con las
características
AB  BC  DB  DE .
Bajo estas condiciones, halle la
magnitud del ángulo “x”.
Resolución
AB  BC  DB  DE
Considerando que
AB  BD   DAB   ADB
  DAB   ADB  60 0  180 0
  DA B   A DB  60 0 con lo que el triángulo  ABD, es equilátero
 AB  AD  BD
Debido a que el triángulo  ABD  60 0   DBC  120 0 ya que son suplementarios
Por otro lado  BDC   DCB  120 0  180 0
  BDC   DCB  30 0
Con lo que
 ADC es recto (90 0 )
Tomando el triángulo  ADE y consideran do que AD  DE , podemos decir que
 DAE   DEA  450
Finalmente considerando el  DEF , tenemos que :  FDE   DEF   DEF  180 0
30 0  450    180 0
  105 0
Tema N° 7
Halle todas las ternas de números enteros positivos que satisfacen
simultáneamente las siguientes ecuaciones:
 xy  yz  143

 xz  yz  119
Resolución
xy  yz  143
xz  yz  119
Debido a que x , y , z son enteros positivos y que de la primera ecuación ( x  z ) y  143 , el
número 143 debe descomponerse en el producto de 2 números: 13 x 11 = 143
y sabemos que 13 y 11 son primos, de ahí que “y” puede ser 11 o 13 (única alternativa).
Por otro lado: ( x  y ) z  119
de la misma manera 7  17  119
y debido a que 7 y 17 son primos, “z” puede ser 7 o 17.
Si “z” toma el valor de 17, la suma ( x + z ) debe tomar el valor de 11 o de 13, lo cual es imposible
debido a que “x” sólo puede tomar valores enteros positivos, por lo tanto el único valor que puede
tomar “z” es 7 y con esto tenemos que:
x + y = 17
Si y = 11, entonces x = 6
Si y = 13, entonces x = 4
Por lo tanto las ternas son: ( 4, 13, 7 ) y ( 6, 11, 7 )
Tema N° 8
Halle el número de enteros positivos que dividen a 14!.
Justifique su respuesta.
Resolución
14! = 14 . 13 . 12 . 11. 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
14! = ( 7 . 2 ) . 13 . ( 22 . 3 ) . 11 . ( 2 . 5 ) . 32 . 23 . 7 . ( 2 . 3 ) . 5 . 22 . 3 . 2 . 1
14! = 211 . 35 . 52 . 72 . 11 . 13
De ahí que los divisores de 14! Tendrán la forma:
2a . 3b . 5c . 7d . 11e . 13f
donde:
0 < a < 11 , 0 < b < 5, 0 < c,d < 2, 0 < e,f < 1; a, b, c, d, e, f  Z+ U { 0 }
Analizando las posibles combinaciones de a, b, c, d, e, f, tenemos que:
a puede suceder de 12 formas
b puede suceder de 6 formas
c, d pueden suceder de 3 formas
e, f pueden suceder de 2 formas
Por regla de multiplicación, juntos pueden suceder de:
( 12 ) ( 6 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) = 2592 maneras
Por lo tanto 14! tiene 2592 divisores.
Tema N° 9
La Profesora Jéssica calificó un examen en un curso de Matemáticas con cinco
estudiantes. Ella digitó las notas al azar en una hoja electrónica, que calculaba
la nueva nota promedio del curso después de que se digitara cada nota. La
Profesora Jéssica se dio cuenta de que, después de digitar cada nota, el
promedio calculado era un número entero. Las notas de los cinco estudiantes
(dadas en orden ascendente) fueron 71, 76, 80, 82 y 91. ¿Cuál fue la última nota
que la Profesora Jéssica digitó? Justifique su respuesta.
Resolución
Según lo observado por la profesora Jessica, la suma de las dos primeras notas es múltiplo de 2, la
de las tres primeras es múltiplo de 3, de las 4 primeras es múltiplo de 4, de las 5 primeras es
múltiplo de 5.
Sumando las cinco cantidades obtenemos:
71 + 76 + 91 + 80 + 82 = 400
Como 400 es múltiplo de 4, y la suma de las 4 primeras notas es múltiplo de 4, la quinta nota
digitada también debe ser múltiplo de 4: es decir 80 o 76.
Dividiendo para 3 las cinco cantidades se obtienen los siguientes residuos:
( 71 deja residuo 2 ) ( 76 deja residuo 1 ) ( 80 deja residuo 2 ) ( 82 deja residuo 1 ).
Para que la suma de tres de ellas sea divisible para 3, se toman aquellas que dejan residuo 1; es
decir 76, 91 y 82.
Si recordamos que los dos primeros deben ser divisibles para 2, se seleccionan los dos pares: 82 y
76. Con esto la forma en que fueron digitadas las notas son:
82, 76, 91, 71, 80 o 76, 82, 91, 71, 80.
En ambos casos la última nota digitada fue 80.
Tema N° 10
Cuando se arreglan la media aritmética, la mediana y la moda de la lista:
10, 2, 5, 2, 4, 2, x
en orden creciente, los números forman una progresión aritmética no constante con valores
enteros positivos.
¿Cuál es la suma de todos los posibles valores enteros positivos para x?
Aclaración:
Moda:
Es la observación que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos,
es decir el número que más se repite.
Mediana:
Es la observación de la mitad después que se han colocado los datos en una
serie ordenada; es decir, ordenas los datos de mayor a menor o de menor a
mayor y la mediana es el término que ocupa la posición central.
Es el promedio de un conjunto de datos; es decir, el resultado de sumar todos
los datos y dividir dicha cantidad para el número de datos que sumaste.
Media Aritmética:
Resolución
La moda, sin importar el valor que tome “x” será 2. (Por lo que es el número que más se repite)
25  x
La media será x 
.
7
Arreglando los números para la mediana en orden creciente es:
_ , 2 , 2 , 2 , _ , 4 , _ , 5 , _ , 10 , _
En los espacios se podría ubicar “x” dependiendo del número que tome.
Los posibles valores de la mediana serán: 2, x, 4
Por la media aritmética “x” debe ser un número tal que sumado a 25 sea divisible para 7. Es decir
de la forma 3 + 7k; k > 0.
Para k = 0; x = 3
Moda = 2,
Sí cumple
Mediana = 3,
Media = 4
Para k = 1; x = 10
Moda = 2,
No cumple
Mediana = 4,
Media = 5
Para k = 0; x = 17
Moda = 2,
Sí cumple
Mediana = 4,
Media = 6
Para k > 4; x > 17, no se formará progresión aritmética.
Los únicos valores que cumplen serán 3 y 17.
La suma de valores de “x” será 20.