Download actividad de evaluacion unidad 3

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CELAYA
ESTADISTICA ADMINISTRATIVA
ACTIVIDAD PARA LA UNIDAD 3 “DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD”
Objetivo: Realizar una investigación práctica donde se apliquen los conceptos de distribuciones
discretas de probabilidad.
Especificaciones:
1) Introducción.
2) Identificar un tema de interés particular (aceptación de un producto, número de accidentes
donde fallecen jóvenes en el último año, género de música, etc.), éste debe cubrir los siguientes
requisitos:
a) tiene que ser del ámbito local o regional.
b) Pueda ser tratado como una distribución discreta (binomial o poisson).
3) Realizar una investigación (primaria o secundaria) para obtener la probabilidad.
4) Generar un enunciado que describa el problema a resolver.
5) Tabular y graficar la información obtenida
6) Dar solución al problema
7) Encontrar la media, varianza y desviación estándar.
8) Presentar un análisis de cambios de variables.
Condiciones de presentación:
1) El trabajo se realiza en equipo
2) Se presentara en un documento de power point, que debe contener los todos los puntos
especificados anteriormente.
3) Será evaluado bajo la hoja de cotejo de “exposición”.
4) El producto final presentado será un disco con el contenido de la investigación.
Anexo algunos ejemplos:
Ejemplo 2: De acuerdo a una encuesta, la probabilidad de que un cliente compre un nuevo
producto que se está introduciendo en el mercado, es de 0.6. Hallar la probabilidad de que
al entrar 10 clientes a una tienda lo compren 5 clientes. ¿Cuál será la probabilidad de que lo
compren al menos 5 clientes? Grafique las probabilidades y vea como se afectan si p = 0.7.
Solución:
Nuestra p = 0.6. Usemos los datos de la tabla de la distribución binomial, o calculemos con
Excel. Voy a dar los datos de esta última opción, pero es igual utilizar la tabla:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F p=0.6 F p=0.7
0.00010
0.00001
0.00168
0.00014
0.01229
0.00159
0.05476
0.01059
0.16624
0.04735
0.36690
0.15027
0.61772
0.35039
0.83271
0.61722
0.95364
0.85069
0.99395
0.97175
1.00000
1.00000
P(x)(p=0.6) P(x)(p=0.7)
0.00010
0.00001
0.00157
0.00014
0.01062
0.00145
0.04247
0.00900
0.11148
0.03676
0.20066
0.10292
0.25082
0.20012
0.21499
0.26683
0.12093
0.23347
0.04031
0.12106
0.00605
0.02825
La primera pregunta la resolvemos restando lo acumulado hasta 4 (resaltado en azul) a lo
acumulado hasta 5, que nos da la probabilidad de que lo compren 5 clientes, lo que arroja
0.20066, o sea un 20.1 % de probabilidad de que 5 clientes lo compren. La respuesta a la
2da pregunta es muy sencilla, es el valor de lo acumulado hasta 5 clientes que es 0.3669, o
sea un 36.7 %.
Graficando las columnas de las probabilidades se obtiene:
La gráfica muestra que al aumentar la aceptación, la probabilidad máxima de compra se
desplaza de 6 a 7 clientes.
La media de una distribución probabilística binomial con parámetros n y p es = np. La
desviación estándar de una distribución probabilística binomial con parámetros n y p es
Problema 2. El gimnasio El primo de sumosol ha comprobado que el 20% de sus alumnos se dan
de baja durante el primer mes y el 80% restante permanecen todo el año. Supongamos que este
año se inscribieron 20 alumnos.
(a) Explica con brevedad qué es una variable aleatoria. Identifica la variable aleatoria del
problema e ndica qu´e distribuci´on sigue.
(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que 2 o menos se den de baja?
(c) ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente se den de baja 4 alumnos?
(d) ¿Cu´al es la probabilidad de que se den de baja m´as de 3 alumnos?
Al hacer la inscripci´on se realiza un ´unico pago anual de 600 euros. Cada alumno que permanece
todo el
a˜no genera un gasto anual de 150 euros.
(e) ¿Cu´al es el beneficio anual esperado?
(f ) ¿Cu´antos alumnos se han dado de baja el primer mes si al final del a˜no el gimnasio ha
obtenido el
beneficio esperado?
Soluci´on: (a) Una variable aleatoria es una aplicaci´on X que hace corresponder un n´umero real a
cada
suceso b´asico del espacio muestral. Despues de leer detenidamente todo el enunciado, para este
problema
elegimos la variable aleatoria
X = ”n´umero de alumnos que se dan de baja el primer mes”.
Los posibles valores que puede tomar la variable X son 0, 1, . . . , 20, luego X es una variable
aleatoria
discreta (V.A.D).
El experimento que a cada alumno le asocia un 0 si este alumno permanece durante todo el a˜no;
o un
1 si este alumno se da de baja el primer mes es un experimento de Bernouilli de par´ametro p =
0.2. De
esta forma, X es la suma de 20 experimentos de Bernouilli independientes de igual p, por tanto X
sigue
una distribuci´on binomial de par´ametros n = 20 y p = 0.2, esto es
X ∼ B(20, 0.2).
(b) Nos piden la probabilidad de que el n´umero de alumnos que se den de baja el primer mes sea
igual o
menor de 2. En lenguaje matem´atico esto es P (X ≤ 2). Este valor es el de la funci´on de
distribuci´on de
la binomial en el punto 2. Mirando en las tablas tenemos que P (X ≤ 2) = 0.2061.
(c) Nos piden calcular P (X = 4), esto es, la funci´on de probabilidad de la binomial en 4. La funci´on
de probabilidad se puede expresar como resta de la funci´on de distribuci´on en dos puntos
consecutivos,
entonces
P (X = 4) = P (X ≤ 4) − P (X ≤ 3).
Mirando la tabla de la distribuci´on binomial tenemos que P (X ≤ 4) = 0.6296 y P (X ≤ 3) = 0.4114.
Por
tanto
P (X = 4) = 0.6296 − 0.4114 = 0.2182.
(c) Hemos de calcular P (X > 3). Utilizando la probabilidad del suceso complementario tenemos que
P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3)
= 1 − 0.4114 = 0.5886.
(d) Por cada alumno tenemos un ingreso de 600 euros. Como se han inscrito 20 alumnos tenemos
un
ingreso total de I = 20 × 600 = 12000 euros. Cada alumno que permanece todo el a˜no genera un
gasto
anual de 150 euros. Si X es el n´umero de alumnos que se dan de baja el primer mes, entonces el
n´umero
de alumnos que permanecen todo el a˜no es 20 − X. Por tanto, el gasto anual es G = 150 × (20 − X).
As´ı,
el beneficio anual es B = I − G = 12000 − 150(20 − X). Operando obtenemos
B = 9000 + 150X.
3El beneficio anual esperado es E(B). Aplicando que E(a + bX) = a + bE(X), tenemos que
E(B) = E(9000 + 150X)
= 9000 + 150E(X).
Como la variable X sigue una distribuci´on binomial de par´ametros n = 20 y p = 0.2, entonces E(X)
=
np = 4. As´ı,
E(B) = 9000 + 150 × 4 = 9600.
(e) Si el beneficio obtenido es el esperado, esto es B = 9600, despejando X en la expresi´on B =
9000+150X
se sigue que
X=
9600 − 9000
150
= 4,
luego se han dado de baja 4 alumnos.
Otra forma de resolver este apartado es la siguiente. Notemos que de E(B) = 9000 + 150E(X), esto
significa que si hemos obtenido el valor esperado para el beneficio, es porque se han dado de baja
el
n´umero esperado de alumnos, E(X) = 4.