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LOGARITMO
En matemáticas lo que es un logaritmo de un número es el exponente al cual otro valor fijo, la
base, debe llegar para producir este número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 para base 10
es 3, porque 10 a la potencia de 3 es 1000. Teniendo que 10×10×10=1000 y por lo tanto
es 103.
Qué es un Logaritmo?
Para ser más precisos: para cada dos números reales positivos que pueden ser b y x,
donde b no es igual a 1, el logaritmo de x con base de b, se escribe como logb(x) y es un
número real único tal como: by=x. Esto es la definición de logaritmo.
Vamos a ver un ejemplo práctico para saber qué es un logaritmo y cómo hacer el cálculo de
logaritmos. Tenemos 64, que es igual a 43, entonces, para obtener el logaritmo de 64 se puede
escribir de esta manera: log4(64)=3
Entonces un logaritmo es una forma de representar un exponente y si vemos otro ejemplo del
concepto de logaritmo, notaremos que estas dos ecuaciones son equivalentes, es decir, que las
dos ecuaciones que siguen tienen el mismo valor numérico y matemático:
34=81
log3(81) =4
Ahora veremos una definición de logaritmos que puede resultar más completa y científica: la
idea de logaritmo es revertir la operación de la potenciación, lo cual es, elevar un número a una
potencia. Por ejemplo, el poder de tres o cúbico de 2 es 8, porque 8 es el producto de tres
factores de 2, tal como sigue.
23=2×2×2=8
Y si se sigue a esta ecuación para elaborar un logaritmo con base 2, entonces es 3. De tal forma
que log28=3.
En la potenciación la potencia cúbica de un número es el producto de 3 factores del mismo
número. Pero en otras situaciones, elevar tal número a la n potencia, donde n es un número
natural, se hace multiplicando al número por n factores del mismo número. Con esto se quiere
decir que los logaritmos pueden tener una base con cualquier de los positivos números reales.
logax ⇔⇔ ay=xay=x a, x ϵ R+, a ≠ 1
Lo anterior quiere decir que el logaritmo de a con base x es igual a a elevado a la potencia y
para obtener x.
Entonces un logaritmo de un número positivo real x con respecto a su base b, un número
positivo real que no es igual a 1, es el exponente por el cual b debe ser elevado para llegar
a xx. Siendo esto logbx o nombrado como logaritmo de x con base b.
Logaritmos
Además de los logaritmos con base en nn, pudiendo ser reemplazado por cualquier número
real positivo que no sea igual a 1, existen bases que se encuentran con bastante normalidad en
las operaciones y problemas matemáticos, estos son:
El logaritmo con base 10 que es muy común en ciencias de la computación, teorías de la
información, teoría musical y fotografía. Esto se debe a que es fácil de usar para los cálculos
manuales en el sistema de numeración decimal. Por otro lado, a este logaritmo se le llama
común o, logaritmo vulgar, y es acel cuyo exponente debe tener un número para obtener el
logaritmo, es 10. Su fórmula se escribe abajo, siendo yy el número del cual se obtiene el
logaritmo: logxlog⁡x ⇔⇔ 10y=x10y=x
Imagen: Logaritmo con base 10, f(x) = log(x)
El siguiente logaritmo es el logaritmo natural o logaritmo neperiano, y está representado por los
logaritmos con base ee, que es un número irracional pero parte de los números reales positivos
que equivale aproximadamente a 2,71828182845904523536. Se utiliza mucho en matemáticas,
física, química, estadística, economía, teoría de la información y algunos campos de la
ingeniería, su fórmula se indica abajo:
lnxln⁡x ⇔⇔ ey=xey=x
Imagen: Logaritmo Natural, f(x) = ln(x)
Y finalmente, el último de los logaritmos comunes es el logaritmo binario, que por asociación,
tiene su base 2, es más usado en informática, algunos campos de la ingeniería, tablas
logarítmicas, calculadoras portátiles, espectroscopia, entre otros. Su fórmula se puede leer
como:
lgxlg⁡x ⇔⇔ 2y=x2y=x
Imagen: Logaritmo binario, f(x) = log2(x)
Ejemplos de Logaritmos
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base
para obtener el número.
Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y ”, pero debe cumplir con la condición general de
que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de uno :
Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la
potenciación, como en este ejemplo:
Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2
Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar
como potencia.
El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia
al expresarla como logaritmo:
Entonces, podemos preguntar: ¿Que es el logaritmo?
El logaritmo es " el exponente " por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia .
Ejemplos:
1)
El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (4):
2 2=
4
2)
El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (1):
2 0=
1
3)
El resultado (y) es el exponente por el cual debemos elevar la base (1/2) para obtener la potencia
(0,25):
, pero en este caso debemos despejar el exponente y:
4)
5)
Cuidado con esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone que ésta
es 10:
, el 10 que indica la base, no se coloca, se supone, así:
6)
Aquí, otra nota importante, para no olvidar: Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos
neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L . La base e está implícita, no se
escribe:
7)
Con lo ya expuesto, podemos empezar a establecer las:
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo de a en base a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 31_2010
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 17_2005
El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la
raíz:
Cambio de base:
Logaritmos decimales:
Son los que tienen base 10 . Se representan por log (x) (ya vimos que la base 10 no se escribe,
queda implícita).
Logaritmos neperianos o naturales:
Son los que tienen base e . Se representan por ln (x) o L(x) (ya vimos que la base e tampoco se
escribe, s e subentiende cuando aparece ln ) .
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0 ; puesto que e 0 = 1
ln e 2 = 2 ; puesto que e 2 = e 2
ln e −1 = −1 ; puesto que e −1 = e −1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos
números enteros) y su valor, con seis cifras decimales, es
e = 2,718281...