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UN RACIONAL AYUDA A LA DEMOSTRACION DE LA IRRACIONALIDAD DE
y
1) Para la irracionalidad de
2
3
2 esta demostración tradicional se
fundamenta en la propiedad de cerradura de la multiplicación de enteros
pares y de igual manera de los enteros impares .En efecto, el cuadrado
de un número par es par y el cuadrado un número impar es impar.
2n 2
 
 4n 2  2 2n 2 es par
2n  12
 4n 2  4n  1 es impar
Ahora,
supongamos
2
que
2
es
un
número
racional
es
decir,
a
a
, donde a y b son números enteros, ahora, se supone que
es
b
b
una fracción irreductible, lo que se supone que a y b no son números
pares, porque si lo fuesen, entonces la fracción se puede simplificar y no
sería irreductible elevando al cuadrado la ecuación anterior; se tiene que:
El término
2b 2
par, digamos
representa un número par, por lo tanto
a  2c , donde c
a 2 es un número
es entero reemplazamos el valor
a  2c ,
es la ecuación.
a 2  2b 2
2c 2
 2b 2
4c 2  2b 2  b 2  2c 2
Por lo tanto, el término 2c
ay b
2
representa un entero par. Se ha concluido que
son números pares en contradicción a la suposición que
expresión irreductible, es decir, que
2
es irracional.
a
es una
b
3
2. IRRACIONALIDAD DE
3
Para demostrar la irracionalidad de
es esencial conocer el criterio de
divisibilidad de 3. En efecto, se puede establecer, que el cuadrado de un
entero es divisible por 3 si y solo si el entero es divisible por 3. Es decir, que
un número divisible por 3 es de la forma
divisible por 3 es de la forma 3n  1 o
3n ,
en tanto que un entero no
3n  2
entonces podemos escribir
estas ecuaciones:
3n 2
 
 9n 2  3 3n 2

 12n  4  33n

n  12
 9n 2  6n  1  3 3n 2  2n  1
3n  22
 9n 2
Ahora, supongamos, que
3
a
b,
con
a
y
b
2

 4n  1  1
3 fuera un número racional, es decir:
son números enteros y
y además
expresión irreductible (mínima expresión), de manera que
a
b
que
a
b
es
no es divisible
por 3. Elevando al cuadrado, anterior expresión, se tiene que:
a2
3  2  a 2  3b 2 el entero
b
divisible por 3, digamos que
Reemplazando el valor
3n 2
3b 2
a2
es
b 2 es divisible por 3, por lo tanto, b
es
es divisible por 3, es decir,
a  3n , con n
un entero.
a  3n , en la ecuación a 2  3b 2
queda:
 3b 2
9n 2  3b 2  3n 2  b 2 , es decir
divisible por 3 y esto está en contradicción a la hipótesis que a b es una
expresión irreductible, es decir
3 es un irracional.