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El conjunto de los números reales
Haciendo un repaso de los números que usamos habitualmente podríamos agruparlos según
algunas características que cada uno de esos números tienen.
Si por ejemplo vamos al quiosco a comprar una lapicera, para indicarle cuánta cantidad de
lapiceras quiero voy a utilizar números “redondos” como: 1, 2, 3, 4, 1000 lapiceras. A estos
números como son de uso cotidiano y son los que expresan la cantidad de algo indivisible, los
llamamos naturales. Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y así infinitamente. Un perro, tres pájaros, 1000
camiones, 350 escuelas., etc. Esto siempre que hablemos de cantidades que existen, o que hay,
pero si por ejemplo hacemos un análisis de la cantidad de escuelas que hay en este momento y las
comparamos con las que debería haber nos dicen, -3 escuelas por barrio. ¿Y esto? Bueno, a no
alarmarse, es sólo un número negativo. Significa que faltan 3 escuelas por barrio, asi como cuando
una cuenta bancaria figura -1000 significa que estamos debiendo 1000 pesos al banco y no
quisiera estar en esa situación… Si seguimos con el ejemplo de las lapiceras, en el momento que el
quiosquero nos va a cobrar nos damos cuenta que, no siempre, utiliza este tipo de números.
Puede salir 1 peso una lapicera, pero a veces también puede salir 0,99 centavos y ahora sí que nos
encontramos con un tipo de números nuevos: los racionales. 1,50; 3,20; 0,50 son ejemplos de este
tipo de números aplicados en la vida diaria, aunque también el 2,345006758 es un número
racional que no usamos mucho. Y… ¿Por qué racionales? Bueno, sencillo, se llaman RACIONALES
porque se pueden escribir como una RAZÓN entre dos números naturales. 1,50 es lo mismo que
3
5
decir y 2,345006758 es lo mismo que decir
1172503379
500000000
(ya sé, es una fracción horrible). Así
también podríamos tener una deuda en el quiosco de 1,75 pesos. Eso quiere decir que en nuestra
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cuenta que tiene el quiosquero en el cuadernito es de -1,75 o dicho de otra forma − 4 .
Entonces hasta acá tenemos los números naturales, también llamados enteros positivos, los
números enteros negativos y los números racionales (abarcan positivos y negativos). ¿Y acá se
terminó? Pero, ¿cómo? No habíamos visto en clase el conjunto de los reales…. ¿y ese donde está?.
Bueno falta un poquito más.
Resulta que un día Pitágoras y sus discípulos en su escuela estaban trabajando en geometría y se
dieron cuenta de que si dibujaban un triángulo rectángulo con los catetos iguales a uno, su
hipotenusa iba a medir un número particular. (Recuerden, tema de principio de año)
Los pitagóricos dijeron: “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
Entonces agarraron la misma formulita, que ustedes dos milenios después también agarraron e
hicieron esta simple cuenta:
𝐻 = √12 + 12 = √1 + 1 = √2
Perfecto y ahora vamos a la calculadora y la calculadora me dice que √2=1,414213562
Hasta acá todos tenemos razón y todos estamos en lo cierto, pero hay un tema más. La cuestión es
que la calculadora no tiene una pantalla infinita, tiene una pantalla que puede mostrarme
solamente 10 dígitos entonces ¿cómo se si este número sigue o termina ahí? Bueno, los
pitagóricos y otros matemáticos se mataron años demostrando que esto sigue, y no solo que sigue
un par de dígitos más, sigue infinitamente. Esto quiere decir que √2 es un número que en su parte
decimal tiene dígitos que se repiten infinitamente. Pero…Pará!! 1.333333333333 también se
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repite infinitamente y sin embargo puedo decir que es igual a 3. Y acá viene la diferencia con los
racionales. El 1,333333; el 0,66666, el 0,272727 el 0,654654654 son números racionales que su
parte decimal se repite infinitamente pero con un determinado período. Era lo que llamábamos
números periódicos. Y estos también están dentro de los racionales porque había una forma de
pasarlos a fracción (tema de 2do año). Eso lo podía hacer gracias a que tenían un período que se
repetía infinitamente. Pero, volviendo a √2. ¿Entonces qué es esto? Bueno, √2 es un número que
tiene una parte decimal infinita que no sigue con ningún patrón específico, o sea que no tiene un
período que repetir. Es por eso que √2 (también llamado constante pitagórica) es un número
IRRACIONAL. ¿Y por qué no otro nombre? Bueno, es irracional porque claramente no cumple la
definición de los racionales, es decir, NO puede escribirse como una RAZÓN entre dos números
enteros, o de otra forma, no existe una fracción que represente a ese número.
¿√2 es el único irracional? Pfff…claro que no….existen infinitos números irracionales, hay algunos
que son más conocidos que otros. Ejemplo: π es un número irracional, aunque la calcu me
diga que vale 3,141592654 estas no son sus únicas cifras sino que tiene infinitas no
periódicas. Otro irracional es el número e (de Euler) que también está en la calcu si lo
buscan y vale 2,718281828 pero otra vez la misma historia, este sigue infinitamente sin
seguir un período. Otro es el número áureo Φ que vale 1,618033989 etc.
Ahora sí, entonces tenemos los enteros (compuestos por los naturales y los negativos), los racionales
(compuesto por las fracciones) y los irracionales que forman el conjunto de los números REALES.
En la página 41 del cuadernillo tienen un esquema sobre los diferentes conjuntos numéricos:
El conjunto más chico es el de los Naturales N (el que encierra al 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Después le sigue el de los
enteros Z (que encierra a los N y al -5, -4, -3, -2 y -1). Después sigue el de los Racionales Q (que contiene a
los Z y a los decimales y fracciones). Luego se encuentra el de los Irracionales I (que contiene a los números
irracionales como esas raíces que no dan un número entero y también los números que mencionamos
antes). Por último el conjunto más grande es el de los Reales R (que contiene a todos los subconjuntos
numéricos antes mencionados).
El objetivo de este trabajo es poder realizar ejercicios con estos números sin utilizar su
aproximación decimal (porque tendríamos un margen de error, pequeño, pero existiría)
Ejemplo: Si alguien quiere hacer un cálculo sobre el triángulo que vimos anteriormente, sería
correcto decir que su hipotenusa vale √2 antes que decir 1,4142…. ¿Por qué? Simplemente
porque 1,4142 es un numero decimal que se acerca a √2 pero que nunca lo alcanza. Entonces a
partir de ahora cuando tengamos un irracional en algún ejercicio, lo mejor va a ser dejarlo como
tal, y no tratar de aproximarlo.
Así como √2 es un número irracional, existen otras raíces que son números irracionales. ¿Cuáles
son? Sencillo!! Son todas aquellas raíces que no tienen un resultado entero.
Por ejemplo √4=2, entonces este NO es un número irracional, porque 2 es un número RACIONAL
2
1
porque todos los enteros son racionales porque 2 es igual a . Entonces una raíz que en la
calculadora no me dé un número entero, es IRRACIONAL.
Primera ejercitación:
Resolver los siguientes cálculos llegando a un resultado exacto (sin aproximación).
𝑥2 − 4 = 4
𝑥2 = 4 + 4
𝑥 = √8
Y acá es donde me quiero detener. Generalmente resolverían esa raíz y me pondrían:
𝑥 = 2,82
Bueno, eso es lo que quiero evitar ahora. Eso que venían haciendo hasta ahora está bien, es una
aproximación, en matemática vale, generalmente lo hacemos cuando queremos hablar de
medidas, porque es obvio que no tengo una regla que me dice acá es √2. Pero cuando hablamos
de cálculos con ecuaciones o con funciones más adelante en preferible trabajar con los radicales.
Es decir con estos irracionales.
¿Pero qué pasa si un ejercicio me da √1734? SERÍA ESPANTOSO!!! Por eso vamos a aprender un
par de cositas sobre los radicales y algunas propiedades para poder convertir ese radical horrible
en uno más amigable.
Hecha la introducción a irracionales. Vamos a empezar con las lecciones.