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GEOMETRÍA INTEGRADA
GIX 14-82
Andrés Mauricio Sierra Estrada
DOCENTE;
JUAN DAVID BUILES
Instituto Tecnológico Metropolitano
Institución Universitaria
(ITM)
MEDELLIN
2008
GUIA DE APRENDIZAJE No 1.
NÙCLEO / ASIGNATURA: Geometría Integrada
UNIDAD DE APRENDIZAJE: Geometría Plana
ACTIVIDADES E/A/E: Definiciones y conceptos generales
ACADÈMICO / DOCENTE: Juan David Builes
1. INTRODUCCIÓN / JUSTIFICACIÓN:
La geometría plana es una rama de las matemáticas que estudia la relación
que existe entre los lados, los ángulos y los lados y los ángulos de objetos en
el plano. Es importante que el educando conozca todas estas relaciones para
la resolución de problemas reales que involucran dichos objetos.
2. COMPETENCIA:

Aplicar las nociones de dimensión y medida a figuras geométricas,
para resolver situaciones problema en distintos contextos.
3. INDICADORES DE LOGROS:
En una situación problema concreta:
Utiliza los conceptos básicos de la geometría y la trigonometría,
reconociendo la dimensión, las propiedades y las relaciones de los
elementos que constituyen el objeto que representa dicha situación.
 Determina la medida del objeto o de sus elementos, para resolver el
problema.

4. CONCEPTOS DESARROLLADOS:
SABER:
Punto, plano, recta, segmento, polígono regular, polígono no regular,
triángulos, cuadrilátero, semejanza, congruencia, perímetro área.
 Aportes de de Isaac Newton a la Física Mecánica

SABER HACER:

Aplicar esta serie de conceptos de geometría plana en la resolución
de problemas reales.
SER:

Reconocer y valorar la importancia de la geometría plana para la
resolución de problemas reales que involucran objetos en el espacio.
5. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS:
Para el docente:
Explicación – demostrativa.
 Propuestas de situaciones problemáticas.
 Formulación de preguntas.
 Entrevistas personales, que le permitan planear, ejecutar y controlar
su trabajo de orientador y facilitador del proceso de aprendizaje
del aprendiz.

Para el alumno:
Análisis y resolución de problemas.
 Propuestas de situaciones problemáticas.
 Consultas.

6. MEDIOS DIDÁCTICOS Y RECURSOS EDUCATIVOS:
Guías de aprendizaje.
 Correo electrónico.
 Textos técnicos.
 Internet.

7. EVALUACIÓN:
TÉCNICA:
Formulación de preguntas y situaciones problema sobre los conocimientos
incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.
INSTRUMENTO:
Cuestionario.
TÉCNICA:
Formulación de preguntas y situaciones problema sobre los conocimientos
incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.
INSTRUMENTO:
Consulta y taller.
8. DURACIÓN:
4 horas.
9. ORIENTADOR:
Juan David Builes
10. BIBLIOGRAFÍA:

.
GUIA DE APRENDIZAJE No 2.
NÙCLEO / ASIGNATURA: Geometría Integrada
UNIDAD DE APRENDIZAJE: Geometría Plana
ACTIVIDADES E/A/E: Ángulos
ACADÈMICO / DOCENTE: Juan David Builes
1. INTRODUCCIÓN / JUSTIFICACIÓN:
El ángulo es uno de los elementos de estudio más importante en la geometría
ya que a través de él se determinan la mayoría de relaciones entre los lados
de muchas figuras geométricas; por lo tanto, es importante que el educando
interprete y a su vez aplique todas estas relaciones en la solución de
problemas reales que involucren dicho objeto de estudio
En geometría, se define ángulo como el sector del plano contenido entre dos
semirrectas de origen común y a dicho punto lo llamamos vértice del ángulo.
También se puede definir como el conjunto de puntos determinados por dos
semirrectas, que tienen el mismo punto de partida; o se puede definir como
dos segmentos finitos con un punto extremo común.
2. COMPETENCIA:

Aplicar las nociones de dimensión y medida a figuras geométricas,
para resolver situaciones problema en distintos contextos.
3. INDICADORES DE LOGROS:
En una situación problema concreta:
Utiliza los conceptos básicos de la geometría y la trigonometría,
reconociendo la dimensión, las propiedades y las relaciones de los
elementos que constituyen el objeto que representa dicha situación.
 Determina la medida del objeto o de sus elementos, para resolver el
problema.

4. CONCEPTOS DESARROLLADOS:
SABER:





Interpretación de ángulo.
Sistemas de medición.
Conversión de ángulos.
Clasificación de ángulos.
Ángulos formados entre paralelas y una transversal.
SABER HACER:

Aplicar esta serie de conceptos de geometría plana en la resolución
de problemas reales.
SER:

Reconocer y valorar la importancia de la geometría plana para la
resolución de problemas reales que involucran objetos en el espacio.
5. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS:
Para el docente:
Explicación – demostrativa.
 Propuestas de situaciones problemáticas.
 Formulación de preguntas.
 Entrevistas personales, que le permitan planear, ejecutar y controlar
su trabajo de orientador y facilitador del proceso de aprendizaje
del aprendiz.

Para el alumno:
Análisis y resolución de problemas.
 Propuestas de situaciones problemáticas.
 Consultas.

6. MEDIOS DIDÁCTICOS Y RECURSOS EDUCATIVOS:
Guías de aprendizaje.
 Correo electrónico.
 Textos técnicos.


Internet.
7. EVALUACIÓN:
TÉCNICA:
Formulación de preguntas y situaciones problema sobre los conocimientos
incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.
INSTRUMENTO:
Cuestionario.
TÉCNICA:
Formulación de preguntas y situaciones problema sobre los conocimientos
incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.
INSTRUMENTO:
Consulta y taller.
8. DURACIÓN:
4 horas.
9. ORIENTADOR:
Juan David Builes
10. BIBLIOGRAFÍA:

. GELTNER, Meter B y PETERSON, Dale. Geometría. Tercera edición.
Mexico. Thomson, 1998.
URIBE CALAD, Julio. Geometría analítica y vectorial. Sexta edición.
Medellín 2005. Universidad Nacional de Colombia sede Medellín.
 STEWART, James. REDLIN Lothar y WATSON Saleem. Precálculo.
Tercera edición. Mexico, Thomson learnig.
 MESA BETANCUR, Orlando. URIBE VÉLEZ. Consuelo y FERNANDEZ
BETANCUR,León Dario. Matemáticas integradas, algebra y
geometría. Medellín. ITM, 2002.

FLEMIG, Walter. Álgebra y trigonometría con geometría analítica.
Mexico. Prentice Hall hispanoamerica, 1991.
 SWOKOWSKI, Earl W .Álgebra y trigonometría con geometría
analítica. Mexico. Internacional Thompson, 2002.
 SWOKOWSKI, Earl W .Cálculo con geometría analítica. Segunda
edición. Mexico. Grupo editorial Iberoamérica, 1979.
 BALDOR, Aurelio. Geometría Plana y del espacio y trigonometría, 17ª
edición. Mexico. Publicaciones Cultura S.A..,2001.

Punto (geometría)
De Wikipedia, la enciclopedia libre
La intersección de los ejes de coordenadas cartesianas es un punto
denominado origen.
El punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la
recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es
posible describirlos en relación a otros elementos similares. Se suelen
describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las
relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico;
describe una posición en el espacio, determinada en función de un sistema
de coordenadas preestablecido.
Suele representarse con una pequeña "equis" (x), una cruz (+), un círculo (o),
un cuadrado o un triángulo. En relación a otras figuras, suele representarse
con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta,
semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc.
Algunas conceptos relacionados con los puntos


Dos puntos determinan una recta y sólo una.
Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.
Plano (geometría)
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica
de dos planos perpendiculares.
Representación gráfica informal de un plano.
El plano, es un espacio geometrico que sólo posee dos dimensiones, y
contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos
fundamentales, junto con el punto y la recta.
Solamente puede ser definido o descrito, en relación a otros elementos
geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados
característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos
fundamentales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:




Tres puntos no alineados.
Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas paralelas.
Dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una
figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una
parte de una superficie infinita).
Ecuación del plano
Un plano se puede definir mediante un punto y dos vectores.
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (a1, b1, c1)
Vector v = (a2, b2, c2)
Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es
la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos
vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera
la ecuación del plano es:
Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto
vectorial de los vectores u y v. la formula para hallar la ecuacion cuando no
esta en el origen es a(x-h)al cuadrado+b(y-k)al cuadrado+c(z-j)=0
Recta
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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Para otros usos de este término, véase Recta (desambiguación).
La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una
dimensión, y contiene infinitos puntos; esta compuesta de infinitos
segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se
describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola
dimensión.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano.
Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es
posible a partir de la descripción de las características de otros elementos
similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados
característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales.
La rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta
Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,1 establece varias
definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:



Un línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que
están en ella (Libro I, definición 4).
También estableció dos postulados relacionados con la línea recta:


Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1).
Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos
interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos
rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I,
postulado 5).
Características de la recta
Algunas de las características de la recta son las siguientes:



La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la
geometría euclidiana.
La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de
dos planos.
Ecuación de la recta
Tomados dos puntos de una recta, la pendiente
, es siempre constante. Se
calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la
pendiente:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se
conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se
conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la
recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente
m es la tangente de la recta con el eje de abscisas.
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de
ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de
la recta, y2 − y1 = m(x2 − x1):
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se
conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se
puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al
origen a partir de una ecuación dada.
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen
se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de
una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos
puntos de la recta los cuales son los siguientes:
y
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe
calcular la pendiente:
Después se sustituye en la ecuación y2 − y1 = m(x2 − x1), usando cualquiera
de los dos puntos, en este caso (a, 0):
Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término
independiente ab:
Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se
suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus
intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se
desean conocer los puntos donde dicha recta intersecta a los ejes.
Forma normal de la ecuación de la recta
Esta es la forma normal de la recta:
La recta en coordenadas cartesianas
La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r
responde a la fórmula general:
La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:

m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del
ángulo (α) que forma la recta con el eje x.


m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de
abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta.
n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de
ordenadas).
Rectas notables

La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación
general x = xv (constante).

La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación
general y = yh (constante).

Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0),
cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación:

.
Dos rectas cualesquiera:
serán paralelas si y solo si
. Además, serán coincidentes cuando
PUNTO
El punto es la unidad mínima de información visual, y está
caracterizado por su forma (generalmente circular, pero también
puede ser rectangular, como ocurre en los monitores, triangular o
una mancha sin forma definida), por su tamaño, por su color y por la
ubicación que tenga dentro de la composición gráfica.
El punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto
con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o
sea, que sólo es posible describirlos en relación a otros elementos
similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados
característicos, que determinan las relaciones entre los entes
geométricos fundamentales.
El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto
físico; describe una posición en el espacio, determinada en función
de un sistema de coordenadas preestablecido.
Suele representarse con una pequeña "equis" (x), una cruz (+), un
círculo (o), un cuadrado o un triángulo. En relación a otras figuras,
suele representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando
pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C,
etc.
LINEA
La línea es el elemento básico de todo grafismo y uno de los más
usados, teniendo tanta importancia en un grafismo como la letra en
un texto. Representa la forma de expresión más sencilla y pura,
pero también la más dinámica y variada.
Está formada por la unión de varios puntos en sucesión, pudiéndose
asimilar a la trayectoria seguida por un punto en movimiento, por lo
que tiene mucha energía y dinamismo. Su presencia crea tensión y
afecta al resto de elementos cercanos a ella.
Una línea es una sucesión continua de puntos. La línea, es el
elemento más básico de todo grafismo y uno de los más utilizados.
Representa la forma de expresión más sencilla y pura, pero también
puede ser dinámica y variada. Cada línea tiene dos sentidos y una
dirección. Puede ser de varios tipos:
Recta (una dimensión)
Por tener una sola dimensión se denominará:

Línea recta, el lugar geométrico de la sucesión continua de
puntos en la citada dimensión.
Planas (dos dimensiones)
Una sucesión continua de puntos contenidos en un plano, aunque siga
cualquier criterio, se denomina línea. Puede ser:




Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma
dirección.
Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros
de curvatura.
Línea quebrada o poligonal, formada por segmento rectos
consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último
segmentos.
o poligonal cerrada, si cada segmento esta unido a otros
dos
Línea mixta, una combinación de las anteriores.
Espaciales (tres dimensiones)
También, una línea es el lugar geométrico de una sucesión continua
de puntos en un espacio tridimensional, aunque siga cualquier
criterio. Puede ser:




Línea recta, curva o quebrada, similares a las anteriores.
Línea curva alabeada, la que presenta formas redondeadas y
no puede ser contenida en un plano.
Línea quebrada tridimensional, la que presenta puntos
angulosos y no puede ser contenida en un plano.
Línea mixta tridimensional, una combinación de las anteriores
PLANO
El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos
dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los
entes geométricos fundamentales, junto con el punto y la recta.
Solamente puede ser definido o descrito, en relación a otros
elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en
los postulados característicos, que determinan las relaciones entre
los entes geométricos fundamentales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:




Tres puntos no alineados.
Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas paralelas.
Dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización,
como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que
el dibujo es una parte de una superficie infinita).
POSICIONES RELATIVAS ENTRE LINEAS



Secantes (tienes un punto y solo un punto en común)
Paralelas (coplanares con intersección vacía o coincidentes)
No coplanares (alabeadas, se cruzan)
LÍNEAS PARALELAS Y TRANSVERSALES
Líneas paralelas. Se llaman líneas paralelas las que se hallan en un
mismo plano y no se intersectan por mas que se prolonguen y, por
tanto, las parejas de puntos más próximos de ambas guardan
siempre la misma distancia.
Lineas transversales. Cuando una línea n interseca a dos líneas
paralelas, n se llama la transversal, y se forman ocho ángulos con
varias propiedades especiales.
PERPENDICULAR
Una figura es perpendicular a otra cuando al cortarla, determina
todas sus secciones ( en el plano que las contiene, según los casos)
un ángulo recto. Esto se da en:




Rectas: cuando dos rectas se cortan (estando así en el mismo
plano), originan no sólo uno, sino cuatro ángulos rectos. Al
punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le
llama pie de cada una de ellas en la otra.
Semirrectas: dos semirrectas con el mismo punto de origen
originan un ángulo de 90 grados (o sea, recto) y otro de
270°, aunque esta última parte no se suele nombrar.
Planos: similar a las rectas. Son perpendiculares cuando
originan cuatro ángulos diedros de 90 grados cada uno; ver
diedro para mayor información.
Semiplanos: dos semiplanos compartiendo la misma recta de
origen delimitan un ángulo diedro de 90° y otro de 270º,
aunque esta última parte no se suele nombrar.
POSICIONES RALATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CURVA
(Secante y tangente)
Se denomina secante de una circunferencia a toda recta que la
intersecta en dos puntos. Si una
recta la intersecta en un y sólo un punto se llama tangente de la
circunferencia.
SEGMENTO
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está
comprendido entre dos puntos.
SEMIRRECTA
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida
una recta por cualquiera de sus puntos, o la parte de una recta
formada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un
punto fijo de la recta.
Luego, una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y,
por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Considerando la biyección entre una recta y los números reales, los
reales positivos corresponden a una semirrecta, los reales
negativos corresponden a otra semirrecta y el cero corresponde al
punto frontera entre las dos semirrectas, también llamado origen.
RECTA
La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee
una dimensión, y contiene infinitos puntos; esta compuesta de
infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos
puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida
de puntos en una sola dimensión.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el
plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su
definición sólo es posible a partir de la descripción de las
características de otros elementos similares. Así, es posible
elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos
que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las
rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
LONGITUD
El término longitud (del latín longitudo) puede tener diversos
significados, según el contexto:





Básicamente, la longitud es la magnitud con que se mide la
distancia entre dos puntos.
En cartografía, longitud es la coordenada este-oeste utilizada
para expresar una ubicación geográfica.
En cálculo integral y geometría diferencial, longitud de arco
es la medida de la distancia a lo largo de una curva o
dimensión lineal..
En mecánica ondulatoria, longitud de onda es la distancia
entre dos crestas consecutivas de una onda;
En geometría, longitud dimensional es el largo de un objeto,
es decir, la medida lineal de su eje tridimensional Y.
MEDIDA
En matemáticas, una medida es una función que asigna un número,
es decir, un "tamaño", un "volumen", o una "probabilidad", a los
subconjuntos de un conjunto dado. El concepto es importante para
el análisis matemático y para la teoría de la probabilidad.
La medida de cualquier magnitud se expresa mediante un número
seguido de una unidad. Cuando decimos que un coche lleva una
velocidad de 30 km/h, la magnitud es la velocidad del coche, km/h
es la unidad en que se mide dicha velocidad y 30 es la medida de la
velocidad.
Ángulo
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Se denomina ángulo, en el plano, a la porción de éste comprendida
entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado
vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos rayos
con origen común. Así, un ángulo determina una superficie abierta
(subconjunto abierto de puntos del plano), al estar definido por dos
semirrectas, denominándose medida del ángulo a la amplitud de
estas semirrectas.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas
que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.
Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una
relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que
describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo
por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio
entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer
concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y
obtusos son cuantitativas.
Las unidades de medida de ángulos
Transportador de ángulos.
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:



Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de
unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el
goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el
transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Clasificación de ángulos planos
Ángulo agudo
Ángulo recto
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0
rad y menor de rad (mayor de 0º y menor de 90º).
Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice.
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a rad (equivalente a
90º).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que
coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a
rad (mayor a 90º y menor a 180º).
Ángulo llano o extendido
El ángulo llano tiene una amplitud de rad (equivalente a 180º).
Ángulo cóncavo
Ángulo completo
Ángulo cóncavo o reflejo
El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de rad y
menos de rad (esto es, más de 180º y menos de 360°)
Ángulo completo o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de
(equivalente a 360º)
rad
Ángulos en el espacio vectorial
Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los
números reales y en el que existe un producto escalar entre
vectores, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos por
la expresión:
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son
ortogonales.
Ángulos complementarios
Dos ángulos complementarios son aquellos cuya suma de medidas es
90º (grados sexagesimales).
Si dos ángulos complementarios son adyacentes, los lados no
comunes de los dos forman un ángulo recto.
Así, para obtener el angulo complementario de α que tiene una
amplitud de 40°, se restará α de 90°:
β = 90° – 40º = 50º
el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa).

360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400
grados centesimales.
La diagonal de un rectángulo configura ángulos complementarios con
los lados adyacentes.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es
180º (grados sexagesimales).
Así, para obtener el angulo suplementario de α, que tiene una
amplitud de 120°, se restará α de 180°:
β = 180° – 120º = 60º

360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400
grados centesimales.
Propiedades
Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos
congruentes, también son congruentes entre sí.
Ángulos conjugados
Ángulos conjugados se denomina a dos ángulos cuyas medidas
suman 360º (grados sexagesimales).
Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus
lados comunes.
Así, para obtener el angulo conjugado de α que tiene una amplitud
de 250°, se restará α de 360°:
β = 360° – 250º = 110º
el ángulo β (beta) es el conjugado de α (alfa).

360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400
grados centesimales.
Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no
comunes son semirrectas opuestas.
Tendrán el vértice común y dos de sus lados sobre una misma recta.
α y β son adyacentes
Propiedades



Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Son consecutivos y su suma es de 180º
El seno de los dos ángulos tendrá el mismo valor.
Ángulos congruentes
Ángulos congruentes se denominan aquellos ángulos que tienen la
misma medida.
Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos
congruentes.
Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por
el vértice congruentes.
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados de uno
son semirrectas opuestas a los lados del otro.
Los vértices de ambos ángulos son comunes y sus lados están en un
par de rectas que se cortan en el vértice común, pero no poseen
ningún punto interior común.
Teorema
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales (demostración
atribuida a Tales de Mileto)
Siendo y dos ángulos opuestos por el vértice, y un ángulo
adyacente y suplementario de los dos, tenemos:
por ser suplementario, luego:
Corolario
Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice, son
semirrectas opuestas.
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Sistema sexagesimal
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada
una de estas partes constituyen un grado sexagesimal.
Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’)
que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.
Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales
(60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.
Mediana de un triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera, y A', B' y C' los centros
respectivos de sus lados [BC], [AC] y [AB].
Las medianas son las tres rectas que unen cada vértice del
triángulo con el centro del lado opuesto. En el ejemplo, son (AA'),
(BB') y (CC').
Las tres medianas se cortan en un único punto llamado centro de
gravedad o centro de masa del triángulo. Corresponde al
isobaricentro de los tres puntos A,B y C. Está ubicado a los dos
tercios de la distancia a partir de los vértices.
En un triángulo equilátero, las medianas se confunden con las
mediatrices de los lados, con las alturas del triángulo, y con las
bisectrices de los tres ángulos.
Mediatriz
figura 1
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de los extremos del segmento. Este lugar
geométrico resulta ser la recta perpendicular al segmento por su
punto medio.
En efecto, sea AB el segmento determinado por los puntos A y B
(véase la figura 1). Sea M el punto medio del segmento y r la recta
perpendicular al segmento por dicho punto. Sea P un punto sobre la
recta r. En la simetría axial respecto de la recta r, el punto P es
invariante y los puntos A y B son uno el simétrico del otro. Por
tanto, en esta simetría, el segmento AP se transforma en el
segmento BP, ambos segmentos son congruentes y el punto P
equidista de los puntos A y B. En consecuencia, todo punto que se
encuentre sobre la recta r pertenece a la mediatriz del segmento
en cuestión.
figura 2
Recíprocamente, (véase figura 2) sea AB un segmento y sea P un
punto que equidista de A y de B, esto es que los segmentos AP y BP
son iguales. Consideremos la bisectriz rdel ángulo APB y sea M la
intersección de dicha bisectriz con el segmento AB. Por
construcción, los ángulos APM y BPM son iguales y en la simetría
axial respecto de la recta r se transforman uno en el otro. Como los
segmentos PA y PB son iguales, en esta simetría, los puntos A y B
son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto M es punto
medio del segmento AB y que dicho segmento es perpendicular a la
recta r.
Aplicación
En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se cortan en
un único punto, el circuncentro (O en la figura) que es centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
En efecto, consideremos las mediatrices del lados AB y BC. Dichas
mediatrices se cortan porque sus perpendiculares son rectas
secantes. El punto de corte O equidista de los puntos A, B y C. En
particular de los puntos A y C y se halla por tanto sobre la
mediatriz del tercer lado.
El punto O, al ser equidistante de los tres vértices es centro de una
circunferencia que pasa por estos tres puntos. Esta circunferencia
es la circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que divide el ángulo en dos
partes iguales.
Propiedad : los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos
lados (rectas) del ángulo.
Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos
cóncavos. Cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices
resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las
dos rectas. Este resultado se establece fácilmente observando que
cada bisectriz es el eje de simetría de su ángulo: la simetría axial
respecto de una bisectriz deja el ángulo invariante.
En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es
(zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto.
En efecto, si llamemos a la medida de xOz, y b la de yOw,
observamos que 2a + 2b es la medida del ángulo xOx' , que es plano.
Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.
Aplicación
Construcción gráfica con compás
La bisectriz es la recta que divide al angulo en 2 partes iguales con
el transportador. Las tres bisectrices de los ángulos internos de un
triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados.
Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es
tangente a cada uno de los lados del triángulo.
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser
paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver
figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y
(AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las
rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante
de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es
decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la
circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del
punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los
lados.
Otras propiedades
Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La
mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio.
Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM
y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo
BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del
triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se
halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del
ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A.
Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un
lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se
intersectan sobre la circunferencia circunscrita
Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve
puntos
Triángulo
Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados; está
determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados,
o tres puntos no alineados que se llaman vértices.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o
trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si
está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo
esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie
terrestre, se llama triángulo geodésico.
Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría
euclidiana.1
Propiedades de los triángulos

En los triángulos contenidos en un plano, la suma de todos los
ángulos internos, es igual a 180°.

La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre
mayor que la longitud del tercer lado.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que
establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos»:
El teorema de Pitágoras gráficamente.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que
demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de
los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto
de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y
b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de
Pitágoras:
Centros del triángulo
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:




Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de
las medianas, y equivale al centro de gravedad
Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita,
aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se
encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados.
Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella
que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la
intersección de las bisectrices de los ángulos.
Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección
de las alturas.
El único caso en que estos tres centros coinciden en un único punto
es en un triángulo equilátero.
Clasificación de los triángulos
Por la longitud de sus lados se clasifican en:



Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma
longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó
radianes.)
Triángulo isósceles: si tiene dos lados y dos ángulos iguales
Triángulo escaleno: si todos sus lados y ángulos son distintos.
Equilátero
Isósceles
Por la amplitud de sus ángulos:
Escaleno


Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°).
A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina
catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando no tiene un ángulo interior
recto (90°).
o Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso
(mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de
90°).
o Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son
menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso
particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Además, tienen estas denominaciones y características:
Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos,
siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es
simétrico respecto de su altura diferente.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos
y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.
Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos
agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el
otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos,
y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la
altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos
sus lados y ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y
dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el
otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y
todos sus lados son diferentes.
Triángulo
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
equilátero
isósceles
escaleno
Cálculo de la superficie de un triángulo
Área del triángulo: equivalencia gráfica.
La superficie de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la
altura (donde la altura es un segmento perpendicular que parte de
la base hasta llegar al vértice opuesto) y dividiendo en dos. Siendo
b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia
perpendicular entre la base y el vértice opuesto a esa base la
superficie S queda expresada del siguiente modo:
Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es
posible calcular la superficie empleando la fórmula de Herón.
donde p = ½ (a + b + c) es el semiperímetro del triángulo.
Reescribiendo la fórmula anterior obtenemos: (suponiendo a ≥ b ≥
c)
Otra forma de calcular el área es:
donde a y b son dos lados del triangulo y es el ángulo comprendido
entre ellos.
Triángulos oblicuángulos
Para resolver triángulos oblicuángulos se utiliza el Teorema del
seno y el del coseno.
Altura de un triángulo
La altura del triángulo, respecto de un lado, es la distancia más
corta entre la recta que contiene al lado y el vértice opuesto.
Equivale a un segmento perpendicular a dicho lado con un extremo
en el vértice opuesto y el otro en dicho lado, o en su prolongación.
En la figura, las alturas respecto de sus tres lados BC, CA y AB"
son AA", BB" y CC".
La magnitud de la altura sirve para calcular el área de un triángulo,
siendo su valor: a = b·h/2, donde a es el área, b la base –la
longitud del lado "inferior"–, y h su altura correspondiente.
En la figura, pueden ser BC·AA"/2, AB·CC"/2 o AC·BB"/2.
Ésta fórmula se puede demostrar, geométricamente, trazando un
rectángulo cuya área es el doble del área del triángulo, con la misma
base y la misma altura.
Características y propiedades
En todo triangulo:





al menos una de las alturas se encuentra dentro del triangulo;
la altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado
menor del triangulo;
las tres alturas se cortan en un punto, llamado ortocentro del
triángulo (H en el gráfico);
las alturas contienen a las mediatrices del triángulo A'B'C'
(que se construye trazando paralelas a los lados por los
vértices opuestos);
el ortocentro del triángulo ACD es el circuncentro del
triángulo A'B'C'.
Vértice (geometría)
Para otros usos de este término véase Vértice.
Vértices de un icositetraedro pentagonal
En geometría, vértice es el punto donde concurren las dos
semirrectas que conforman un ángulo.
También, en el plano, un vértice será:
El punto donde concurren dos o más rectas.
El punto común entre dos lados consecutivos de una figura
geométrica.
El punto de algunas curvas, en que se existe un eje de
simetría.
En tres dimensiones, será:
El punto en que concurren tres o más planos.
La unión de tres o más aristas, conforman un vértice en un
cuerpo geométrico.