Download Energía potencial - Biblioteca de la UNS

MODULO DE APRENDIZAJE
CINETICA PLANA DE CUERPO RIGIDO: MÉTODOS ENERGETICOS
1.- ENERGÍA CINETICA
Consideramos los métodos energéticos a problemas que implican fuerza, velocidad y
desplazamiento relacionados con el movimiento plano de un cuerpo rígido.
Se analiza el movimiento de un cuerpo rígido plano para obtener la energía cinética del cuerpo
cuando está sometido a traslación, rotación con respecto a un eje fijo, o movimiento plano general.
2.- Traslación.
Cuando un cuerpo rígido de masa m está sometido
a traslación rectilínea o curvilínea, la energía cinética
debida a la rotación es cero, ya que  = 0.
A partir de la, la energía cinética del cuerpo es:
T = ½ mv2G
donde vG es la magnitud de la velocidad de
traslación en el instante considerado.
3.- Rotación con respecto a un eje fijo.
Cuando un cuerpo rígido esta girando con
respecto a un eje fijo que pasa por el punto O.
el cuerpo tiene energía cinética trasnacional
y rotacional como esta definida por la ecuación
T = ½ mv2G + ½ IG2
Para el caso de rotación alrededor de un eje fijo se cumple que: vG = rG
la energía cinética del cuerpo puede ser reformulada:
T = ½ (IG + mr2G)2
de acuerdo al teorema de los ejes paralelos, los términos dentro del paréntesis representan el
momento de inercia IO del cuerpo con respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento y que
pasa por el punto O. Por consiguiente:
T = ½ IO2
4.- Movimiento plano general.
Cuando un cuerpo rígido está sometido a
movimiento plano general tiene velocidad
angular  y su centro de masa tiene velocidad
vG. Por consiguiente, la energía cinética
T = ½ mv2G + ½ IG2
La energía cinética total del cuerpo consta de la suma escalar de la energía cinética trasnacional del
cuerpo, ½ mv2G, y que la energía cinética rotacional con respecto a su centro de masa, ½ IG2.
5.- El trabajo de una fuerza
En problemas de cinética plana que implican un cuerpo rígido, a menudo son encontrados varios
tipos de fuerzas. Se presentan el trabajo de cada una de las fuerzas.
5.1.- Trabajo de una fuerza variable.
Si una fuerza externa F actúa sobre
un cuerpo rígido, el trabajo realizado
por la fuerza cuando se mueve a lo
largo de la trayectoria s, se define
como

U=F.dr = F cosds
r
Aquí  es el ángulo entre las “colas”
del vector fuerza y del diferencial de
desplazamiento. En general, la
integración debe tener en cuenta la
variación de la dirección y la magnitud de la fuerza.
5.2 Trabajo de una fuerza constante.
Si una fuerza externa Fc actúa sobre un
cuerpo rígido, y mantiene una magnitud
constante Fc y una dirección constante ,
mientras el cuerpo experimenta una
traslación s, la expresión anterior puede
ser integrada:
UFc = (Fc cos) s
5.3.- Trabajo de un peso.
El peso de un cuerpo efectúa trabajo
solo cuando el centro de masa G del
cuerpo experimenta un desplazamiento
vertical y. Si este desplazamiento es
hacia arriba, el trabajo es negativo
puesto que el peso y el desplazamiento
están en direcciones opuestas.
UW = -Wy
Si el desplazamiento es hacia abajo el trabajo resulta positivo.
5.4.- Trabajo de una fuerza de resorte.
Si un resorte elástico lineal está unido a un cuerpo, la fuerza en el resorte Fs = ks que actúa sobre el
cuerpo efectúa trabajo cuando el resorte se alarga o comprime desde s1 hasta otra posición s2.
US = - ( ½ k s22 - ½ k s21 )
En ambos casos el trabajo será negativo ya que el desplazamiento del cuerpo es en la dirección
opuesta a la fuerza.
6.- El trabajo de un par
Si el cuerpo experimenta una rotación diferencia d con respecto a un eje que es perpendicular al
plano del par e interseca el plano en el punto O, entonces cada fuerza tendrá un desplazamiento ds =
(r/2)d en la dirección de la fuerza. Por consiguiente, el trabajo total realizado es
r
r
d) + F( d) =( Fr) d
2
2
= M d
dUM = F(
Cuando el cuerpo gira en el plano un ángulo finito  medido en radianes, desde 1 hasta 2, el trabajo
de un par es
2
UM =
 Md
1
si el momento de par M tiene magnitud constante, entonces
UM = M (2 -1)
Aquí el trabajo es positivo si M y (2 -1) están en la misma dirección.
7.- Principio del trabajo y la energía
El principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido:
T1 +  U1-2 = T2
Esta ecuación establece que la energía cinética de traslación y rotatoria inicial del cuerpo, más el
trabajo realizado por todas la fuerzas y momentos de par externos que actúan sobre el cuerpo cuando
este se mueve desde su posición inicial hasta su posición final, es igual a la energía cinética
traslación y rotacional final del cuerpo.
8.- Conservación de la energía
Cuando un sistema de fuerzas qué actúa sobre un cuerpo rígido está constituido solo por fuerzas
conservativas, el teorema de la conservación de la energía puede ser usado para resolver un
problema. Este teorema resulta más fácil de aplicar ya que el trabajo de una fuerza conservativa es
independiente de la trayectoria y depende solo de las posiciones inicial y final del cuerpo.
8.1.- Energía potencial gravitatoria.
Como el peso total de un cuerpo puede considerarse concentrado en su centro de gravedad, la
energía potencial gravitatoria del cuerpo es determinada conociendo la altura del centro de gravedad
del cuerpo por arriba o por debajo de un plano de referencia. Midiendo yG como positiva hacia
arriba, la energía potencial gravitatoria del cuerpo es entonces.
Vg = W yG
Plano de referencia
Aquí la energía potencial es positiva cuando yG es positiva, si el cuerpo está ubicado por debajo del
plano de referencia (-yG), la energía potencial gravitatoria es negativa,
8.2.- Energía potencial elástica.
La fuerza desarrollada por un resorte elástico es también una fuerza conservativa. La energía
potencial elástica que un resorte imparte a un cuerpo unido a el cuándo el resorte es alargado o
comprimido desde una posición inicial no deformada (s = 0) hasta una posición final s, es
Ve = + ½ ks2
9.- Conservación de la energía.
En general, si un cuerpo esta sometido a fuerzas gravitatorias y elásticas, la energía potencial total
es expresada como una función potencial V representada como la suma algebraica
V = Vg + Ve
Aquí la medición de V depende de la ubicación del cuerpo con respecto al plano de referencia
seleccionado.
El trabajo de fuerzas conservativas puede ser escrito como una diferencia en sus energías potenciales,
esto es:
( U1-2 )cons = V1 - V2
Reemplazando en el principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido:
T1 + V1 = T2 + V2
Esta ecuación representa la conservación de la energía mecánica; y establece que la suma de las
energías potencial y cinética del cuerpo permanece constante cuando el cuerpo se mueve de una
posición a otra.
METODOLOGÍA DE ANALISIS
La ecuación de la conservación de la energía se usa para resolver problemas que implican velocidad,
desplazamiento y sistemas de fuerzas conservativas. En aplicaciones se sugiere usar el siguiente
procedimiento.
Energía potencial
 Dibuje los diagramas que muestren al cuerpo en sus posiciones inicial y final a lo largo de la
trayectoria.
 Si el centro de gravedad, G, está sometido a un desplazamiento vertical establezca un plano
de referencia horizontal fijo desde el cual se mida la energía potencial Vg gravitatoria del
cuerpo.
 Los datos pertinentes a la elevación yG del centro de gravedad del cuerpo desde el plano de
referencia y la extensión o compresión de cualquier resorte conectado pueden ser
determinados a partir de la geometría del problema y anotados en los dos diagramas.
 Recuerde que la energía potencial V = Vg+Ve Aquí Vg = WyG, que puede ser positiva o
negativa, y Ve = ½ ks2, la cual es siempre positiva.
Energía cinética.
 La energía cinética del cuerpo consta de dos partes: la energía cinética de traslación, T = ½
mv2G, y la energía cinética rotatoria, T = ½ IG2.
 Los diagramas cinéticos para la velocidad pueden ser útiles para determinar vG, y  y
establecer una relación entre estas cantidades.
Conservación de la energía
 Aplique la ecuación de la conservación de la energía T1 + V1 = T2 + V2.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Si la esquina A de la placa de 60 kg se aplica una
fuerza vertical P = 500 N y la placa está en reposo
cuando Ө= 0°, determine su velocidad angular
cuando Ө = 60
2.- Dos barras ligeras AB y BC, de masa “m”, se
sueldan entre si para formar un mecanismo en forma
de L, el cual se presiona contra un resorte en D y se
suelta desde la posición indicada. Si se sabe que el
ángulo máximo de rotación es de 900 en sentido
anti horario, determine la velocidad angular del
mecanismo cuando pasa por la posición en que la
barra AB forma un ángulo de 600 con la horizontal
3.- Una barra uniforme, que pesa 25 N y tiene una
longitud de 90 cm gira en un plano vertical bajo la
accion de un par M = 3,75 m.N. Si se suelta la
barra partiendo del reposo, determine:
a) la velocidad angular de la barra cuando esta
en la posicion vertical.
b)Las reacciones que el pasador B ejerce sobre
la barra en esa posicion
4.- El disco de 20 kg esta originalmente en reposo
y el resorte en estado de reposo. Un momento de
par de M = 35 N.m es aplicado al disco como se
muestra en la figura. Determine la velocidad
angular en el instante que el centro de masa G
se ha movido 0.5 m a lo largo del plano inclinado.
El disco se nueve sin deslizar. K= 150 N/m
5.- La barra AB tiene una masa de 5 kg y
la barra BC una masa de 3 kg.
Si el sistema se suelta del reposo en la
posición mostrada, determine las
velocidades angulares de las barras en
el instante inmediato anterior en que
la junta B toca el piso.
6.- El movimiento de la barra AB de 10 kg se
guía mediante collarines de masa despreciable,
los cuales se deslizan libremente sobre las barras
horizontal y vertical. Si la barra suelta desde el
reposo cuando θ = 200 , determine la velocidad
de los collarines A y B cuando θ = 600.
7.- Los extremos de la barra AB de 4 kg están
obligados a moverse, como se muestra, por las
ranuras abiertas en la vertical. Al extremo A se
sujeta a un resorte de constante k = 525 N/m ,
de tal modo que su longitud no alargada es
cuando θ = 00.
Si la barra se suelta desde el reposo cuando θ = 00,
hallar su velocidad angular y la velocidad del
extremo B cuando θ = 300.