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ENCUENTROS Nº 4 Y 5: PROMEDIOS Ó MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E INDICADORES DE POSICIÓN.
LAS MEDIDAS Ó PROMEDIOS DE TENDENCIA CENTRAL CORRESPONDEN A VALORES QUE GENERALMENTE SE UBICAN EN LA PARTE CENTRAL DE UN
CONJUNTO DE DATOS. ELLAS PERMITEN ANALIZAR LOS DATOS EN TORNO A UN VALOR CENTRAL.
PROMEDIO: ES UN VALOR CENTRAL Y NO EXTREMO PERO REPRESENTATIVO Y PREDOMINANTE DENTRO DE UN CONJUNTO DE DATOS, EL CUAL
PERMITE SINTETIZAR LA INFORMACIÓN.
CLASIFICACIÓN DE LOS PROMEDIOS:
A)
PROMEDIOS MATEMÁTICOS: SON AQUELLOS QUE SE PRESTAN A OPERACIONES DEL ÁLGEBRA. ENTRE ELLOS:
̅)
1. LA MEDIA O PROMEDIO ARITMÉTICO. DENOTADA POR EL SIGUIENTE SÍMBOLO (𝑿
2. LA MEDIA O PROMEDIO GEOMÉTRICO. DENOTADA POR (G)
3. LA MEDIA O PROMEIO ARMÓNICO (H)
4. LA TASA, RATA DE CRECIMIENTO GEOMÉTRICA, DENOTADA POR (r) Ó ECUACIÓN DEL INTERÉS COMPUESTO (i)
B)
PROMEDIOS NO MATEMÁTICOS: NO SON SUSCEPTIBLES DE TALES OPERACIONES ALGEBRAICAS. ENTRE ELLOS:
1) LA MEDIANA, DENOTADA POR LA SIMBOLOGÍA (Md) , (Ma), (Mdn)
2) LA MODA O EL MODO, DENOTADA POR EL SÍMBOLO (Mo).
DEFINICIONES Y FÓRMULAS DE LAS MEDIDAS O PROMEDIOS DE TENDENCIA CENTRAL PRINCIPALES O MÁS IMPORTANTES
1.A) LA MEDIA ARITMÉTICA Ó PROMEDIO ARITMÉTICO): ES LA SUMA DE TODOS LOS VALORES DE UNA VARIABLE DIVIDIDA ENTRE EL NÚMERO
TOTAL DE DATOS DE LOS QUE SE DISPONE O SE CUENTA EN EL ESTUDIO. ES LA CIFRA QUE SE OBTIENE AL DIVIDIR LA SUMA DE TODOS LOS
VALORES OBSERVADOS POR EL NÚMERO DE OBSERVACIONES.
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA: PARA ELLO HAY QUE CONSIDERAR LO SIGUIENTE:
ECUACIONES Ó FÓRMULAS DE (𝐗̅ ) PARA SERIE DE DATOS SIMPLES Ó NO AGRUPADOS (MÉTODO DIRECTO)
̅=
𝒂) 𝑺𝑰𝑵 𝑭𝑹𝑬𝑪𝑼𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑺 𝒙
𝚺𝒙𝒊
̅=
𝒃) 𝑪𝑶𝑵 𝑭𝑹𝑬𝑪𝑼𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑺 𝒙
𝒏
𝚺(𝒇𝒊 𝒙𝒊 )
𝚺𝒇𝒊
DONDE 𝚺(𝒇𝒊 𝒙𝒊 ) ES LA SUMATORIA DEL PRODUCTO DE MULTIPLICAR
CADA FRECUENCIA ABSOLUTA POR CADA VALOR DE LA SERIE Y
𝚺𝒇𝒊 ES LA SUMATORIA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS
DONDE 𝚺𝒙𝒊 ES LA SUMA DE TODOS LOS DATOS DE LA VARIABLE Y
( N ) ES LA MUESTRA Ó TOTAL DE DATOS
ECUACIONES Ó FÓRMULAS DE (𝐗̅ ) PARA SERIE DE DATOS AGRUPADOS EN CLASE EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS (MÉTODO DIRECTO)
̅=
𝑪) 𝒙
𝚺(𝒇𝒊 𝒙𝒊 )
𝚺𝒇𝒊
DONDE 𝚺(𝒇𝒊 𝒙𝒊 ) ES LA SUMATORIA DEL PRODUCTO DE MULTIPLICAR CADA FRECUENCIA ABSOLUTA POR CADA PUNTO MEDIO O MARCA DE
CLASE, EL CUAL, SE DEFINE COMO LA SEMISUMA DE LOS LÍMITES DE CLASES Y SE INTERPRETAN COMO VALORES REPRESENTATIVOS DE LOS DATOS
COMPRENDIDOS DENTRO DE LOS LÍMITES DE CADA CLASE, SU FÓMULA ES LA SIGUIENTE: 𝒙𝒊 =
𝑳𝑰 +𝑳𝑺
𝟐
Y 𝚺𝒇𝒊 ES LA SUMATORIA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS.
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA:
A) LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS DESVÍOS CON RESPECTO A LA MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO ARITMÉTICO ES SIEMPRE IGUAL A CERO
EN ESTADÍSTICA SE ENTIENDE COMO DESVÍO, A LA DIFERENCIA ENTRE UN VALOR DE LA SERIE EN ESTUDIO Y OTRO TOMADO COMO PATRÓN DE
REFERENCIA, EL CUAL POR LO GENERAL VIENE SIENDO EL PROMEDIO.
̅) = 𝐎 𝐘
𝐄𝐍 𝐃𝐀𝐓𝐎𝐒 𝐒𝐈𝐌𝐏𝐋𝐄𝐒 𝚺(𝒙𝒊 − 𝒙
̅)] = 𝟎
𝐄𝐍 𝐃𝐀𝐓𝐎𝐒 𝐂𝐎𝐍 𝐅𝐑𝐄𝐂𝐔𝐄𝐍𝐂𝐈𝐀𝐒 𝚺[𝐟𝐢 (𝒙𝒊 − 𝒙
U.N.E.S CARABOBO. POR: LICDA.: ALICIA RODRÍGUEZ
FUENTE: UNES (MATERIAL DIDÁCTICO) / ARMANDO SOTO (PRINCIPIOS ESTADÍSTICOS) /FAYAD CAMEL (ESTADÍSTICA MÉDICA)/ HENRY GARRETT (ESTADÍSTICA EN PSICOLOGÍA Y EDUCACIÓN
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B) LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS DESVÍOS CON RESPECTO A LA MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO ARITMÉTICO ES SIEMPRE UN VALOR
MÍNIMO
USO DE LA MEDIA ARITMÉTICA: COMO INDICADOR DE CENTRALIZACIÓN DE MAYOR IMPORTANCIA, DEBE APLICARSE EN:
1) SERIE DE DATOS QUE TIENDAN HACIA UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA, LA CUAL DE DEFINE COMO AQUELLA EN QUE LAS PRIMERAS
DIFERENCIAS (DIFERENCIAS ENTRE UN TÉRMINO Y SU ANTERIOR), TIENDAN A SER O APROXIMARSE A UNA CONSTANTE.
2) SERIE DE DATOS QUE EXISTAN VALORES NEGATIVOS O IGUALES ACERO YA QUE EL USO DE OTROS PROMEDIOS SE DIFICULTA.
NOTA: NO ES POSIBLE USARLA CUANDO SE TRATE DE SERIES DE CLASES ABIERTAS (INTEVALOS ABIERTOS) YA QUE ÉSTOS CARECEN DEL LÍMITE
̅ ), SE HALLAN
INFERIOR Y SUPERIOR DE LA PRIMERA Y SEGUNDA CLASE. YA QUE DENTRO DE LA ESTRUCTURA DE LA ECUACIÓN O FÓRMULA DE (𝑿
LOS PUNTOS MEDIOS O MARCAS DE CLASES, LOS CUALES SE DIFICULTA LA TOTALIDAD DE LOS MISMOS.
1.B) LA MEDIANA: ES AQUELLA ONSERVACIÓN QUE DIVIDE LA SERIE EN DOS (2) PARTES IGUALES, ES DECIR, (50 Y 50 %) EN TAL FORMA, QUE LA
MITAD DE LAS OBSERVACIONES SON IGUALES O MENORES QUE DICHO VALOR Y LA OTRA MITAD, IGUALES O MAYORES QUE ÉL. EN RESUMEN, LA
MEDIANA ES LA OBSERVACIÓN EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS DE UNA SERIE, ES DECIR, ES EL PUNTO MEDIO DE LA SERIE.
CÁLCULO DE LA MEDIANA: CONSIDERAR LOS SIGUIENTES CASOS:
A)
SERIES DE DATOS SIMPLES SIN FRECUENCIAS Ó CUANDO LOS DATOS NO ESTÁN AGRUPADOS: EN ESTE CASO SE PRESENTAN DOS
SITUACIONES A CONSIDERAR:
A.1) CUANDO N = ES PAR: SE ORDENAN DE MENOR A MAYOR LOS DATOS Ú OBSERVACIONES DEL ESTUDIO. EN ESTE CASO HABRÁN DOS
(2) VALORES CENTRALES Y FINALMENTE LA MEDIANA SERÁ LA MEDIA DE LAS DOS PUNTUACIONES CENTRALES.
A.2) CUANDO N = ES IMPAR: PARA ELLO, ES NECESARIO ORDENAR DE MENOR A MAYOR LOS DATOS Ú OBSERVACIONES DEL ESTUDIO Y
PARA DETERMINAR LA POSICIÓN DE LA MEDIANA SE EMPLEA LA SIGUIENTE ECUACIÓN Ó FÓRMULA: 𝑴𝒅 =
𝑵+𝟏
𝟐
CUYO RESULTADO SERÁ
LA POSICIÓN EN LOS DATOS PREVIAMENTE ORDENADOS, SIENDO LA MEDIANA, EL TÉRMINO AL CUAL LE CORRESPONDE TAL POSICIÓN.
B)
C)
SERIES DE DATOS SIMPLES CON FRECUENCIAS: SE REALIZAN LOS SIGUIENTES PASOS:
1) SE ORDENAN LOS DATOS CORRESPONDIENTES A LA VARIABLE
𝚺𝐟𝐢
2)
SE DETERMINA LA POSICIÓN DE LA MEDIANA A TRAVÉS DE ESTA ECUACIÓN: 𝑴𝒅 =
3)
4)
SE CALCULAN LAS FRECUENCIS ACUMULADAS (Fi) Ó (Fa)
SE LOCALIZA LA POSICIÓN ANTERIOR SEGÚN PASO Nº 2 EN LA FRECUENCIA ACUMULADA QUE CONTENGA, SIENDO EL DATO DE LA
VARIABLE CORRESPONDIENTE A ESA FRECUENCIA ACUMULADA, EL VALOR DE LA MEDIANA
SERIES AGRUPADOS EN CLASES: 𝑴𝒅 = 𝑳𝒊 +
𝚺𝑭𝒊
− 𝑭𝒂𝒂
𝟐
𝑭𝒊
𝑵
∗ 𝑰𝒄 𝑴𝒅 = 𝑳𝒊 + ( 𝟐
− 𝑭𝒊
𝒇𝒎
𝟐
) 𝑰𝒄
EN DONDE,( Li) ES EL LÍMITE INFERIOR DE LA CLASE DONDE SE HALLA LA MEDIANA.
(IC) INTERVALO DE CLASE
𝚺𝑭𝒊
𝟐
Ó
𝑁
2
ES LA SEMI SUMA DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS DE UNA CLASE, ES LA POSICIÓN DE LA MEDIANA
Faa: ES LA FRECUENCIA ACUMULADA ANTERIOR A LA CLASE QUE CONTIENE A LA MEDIANA
USO DE LA MEDIANA: DEBE APLICARSE EN:
1) EN SERIES DE CLASES ABIERTAS, YA QUE LA ESTRUCTURA DE LA FÓRMULA NO CONTIENE A LOS PUNTOS MEDIOS
2) EN SERIES DE DATOS EN QUE LAS MAGNITUDES DE LOS VALORES EXTREMOS DIFIEREN SIGNIFICATIVAMENTE DEL RESTO DE LOS DATOS
AFECTANDO A LA MEDIA ARITMÉTICA.
3) CUANDO SE DESEA EL PUNTO MEDIO EXACTO DE LA DISTRIBUCIÓN, EL PUNTO CORRESPONDIENTE AL 50%.
U.N.E.S CARABOBO. POR: LICDA.: ALICIA RODRÍGUEZ
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OBTENCIÓN GRÁFICA DE LA MEDIANA: PARA ELLO SE SIGUEN LOS PASOS SIGUIENTES:
1)
SE CONSTRUYE EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
2)
SE CALCULA LA POSICIÓN DE LA MEDIANA 𝑴𝒅 =
3)
𝚺𝑭𝒊
𝟐
Y SE LLEVA AL EJE VERTICAL DE LAS FRECUENCIAS ACUMULADAS, POR DONDE SE
TRAZA UNA RECTA PERPENDICULAR AL MISMO QUE CORTE O TOQUE AL POLÍGONO.
LUEGO SE BAA POR ÉSTE UNA RECTA PERPENDICULAR AL EJE HORIZONTAL (EJES DE LAS CLASES) DONDE SE OBTENDRÁ EL RESULTADO
DE LA MEDIANA, LA CUAL PUEDE IDENTIFICARSE CLARAMENTE DE ACUERDO A LA ESCALA COSNTRUIDA LA CUAL DEBE COINCIDIR
CLARAMENTE CON EL RESULTADO OBTENIDO POR MEDIO DE LA FÓRMULA ANLÍTIC AO ECUACIÓN.
2.B) LA MODA O EL MODO: EL VALOR DE MODA, ES AQUEL QUE SE OBSERVA CON MAYOR FRECUENCIA.
ES EL VALOR QUE MÁS SE REPITE, EL MÁS TÍPICO, EL MÁS FRECUENTE EN UNA SERIE DE DATOS.
ES EL VALOR DE LA VARIABLE QUE PRESENTA UNA MAYOR FRECUENCIA DENTRO DE UN CONJUNTO DE DATOS.
ES MODO EMPÌRICO ES AQUELLA MEDIDA O PUNTAJE INDIVIDUAL QUE SE PRESENTA CON MAYOR FRECUENCIA.
DESDE EL PUNTO DE VISTA GRÁFICO, ES EL EJE DEL VALOR HORIZONTAL (EJE DE LAS ABSCISAS), AL CUAL LE CORRESPONDE LA ORDENADA
MÁXIMA (EL MÁXIMO VALOR EN EL EJE DE LAS ORDENAS O EJE “YE”).
CÁLCULO DEL MODO O MODA: AL IGUAL QUE EN LAS MEDIDAS DE TENDENCIAS CENTRALES ANTERIORES CONSIDERAR LOS SIGUIENTES CASOS:
A)
B)
C)
SERIES DE DATOS SIMPLES SIN FRECUENCIAS: POR DEFINICIÓN DE MODA O MODO, NO EXISTIRÁ COMO TAL, YA QUE HAY AUSENCIA DE
FRECUENCIA.
SERIE DE DATOS SIMPLES CON FRECUENCIAS: EL MODO SÓLO ES ESTRICTAMENTE EXACTO PARA SERIE DE DATOS SIMPLES CON
FRECUENCIA. POR DEFINICIÓN, SI EXISTE MODA PARA ESTE CASO Y ES AQUEL VALOR DE LA VARIABLE AL CUAL LE CORRESPONDE LA
MAYOR FRECUENCIA ABSOLUTA.
SERIES DE DATOS AGRUPADO EN CLASES: PARA ELLO SE APLICA EL MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS, POR SER EL MÁS EXACTO EN EL
CÁLCULO DE LA MODA Y CUYA ECUACIÓN O FÓRMULA ES LA SIGUIENTE: 𝑴𝒐 = 𝑳𝒊 + (
𝑫𝟏
𝑫𝟏+𝑫𝟐
) 𝑰𝒄 .POR LO TANTO, EN ESTE CASO SE HABLA
LA CLASE MODAL, ES AQUELLA A LA CUAL LE CORRESPONDE LA MAYOR FRECUENCIA ABSOLUTA.
DONDE: (Li)= LÍMITE INFERIOR DE LA CLASE MODAL
(D1) = DIFERENCIA ENTRE LA MAYOR FRECUENCIA ABSOLUTA Y LA MENOR FRECUENCIA ABSOLUTA ANTERIOR A ELLA. 𝐷1 = 𝐹𝑖𝑀 − 𝐹𝑖𝑚
(D2) = DIFERENCIA ENTRE LA FRECUENCIA MODAL (CLASE CON MAYOR FRECUENCIA) Y LA FRECUANCIA ABSOLUTA POSTERIOR A ELLA. .
𝐷2 = 𝐹𝑖𝑀 − 𝐹𝑖𝑝𝑚
(IC) = AMPLITUD O INTERVALO DE CLASE.
USO DE LA MODA O MODO:
A)
B)
EN SERIES DE CLASES ABIERTAS DEBIDO A LA RAZÓN EXPLICADA EN EL USO DE LA MEDIANA.
CUANDO TODO LO QUE SE DESEA ES UNA MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL RÁPIDA Y APROXIMADA.
NOTA: ¡IMPORTANTE!




SI EN UNA SERIE DE DATOS, TODOS POSEEN EL MISMO VALOR DE FRECUENCIA ABSOLUTA, ENTONCES NO HAY MODA
PUEDE HABER MAS DE UNA MODA O MODO:
CUANDO HAY DOS SE DICE QUE ES BIMODAL
CUANDO HAY MÁS DE DOS MODAS, ES DECIR, TRES O CUATRO, SE DICE QUE ES POLIMODAL,
OBTENCIÓN GRÁFICA DE LA MODA: PARA ELLOS REALIZAR LOS SIGUIENTES PASOS:
1. SE CONSTRUYE UN HISTOGRAMA DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS DEL ESTUDIO
2. POR EL HISTOGRAMA DE MAYOR ALTURA SE TRAZAN DIAGONALES QUE TOQUEN O CORTEN A LOS HISTOGRAMAS ANTERIOR Y
POSTERIOR, BAJANDO LUEGO POR EL CORTE DE DICHAS DIAGONALES UNA LÍNEA PERPENDICULAR AL EJE HORIZONTAL, SIENDO ESTE
ÚLTIMO PUNTO EL VALOR DE LA MODA.
U.N.E.S CARABOBO. POR: LICDA.: ALICIA RODRÍGUEZ
FUENTE: UNES (MATERIAL DIDÁCTICO) / ARMANDO SOTO (PRINCIPIOS ESTADÍSTICOS) /FAYAD CAMEL (ESTADÍSTICA MÉDICA)/ HENRY GARRETT (ESTADÍSTICA EN PSICOLOGÍA Y EDUCACIÓN
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