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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 15: MOVIMIENTO EN EL PLANO (II) -MOVIMIENTO CURVILÍNEODiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1









Temas
Introducción
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Ejemplo sobre movimiento curvilíneo plano
Movimiento circular: Definiciones básicas de las variables angulares
Relaciones entre variables angulares y variables lineales
Representación vectorial de las variables angulares
Movimientos circulares especiales
o Movimiento Circular Uniforme (MCU)
o Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
Ejemplos sobre movimiento circular
Transmisión de movimiento
Introducción
En la primera parte de este módulo se analizará la cinemática de una partícula que describe en su
movimiento una curva plana. En este caso es muy útil emplear como base ortonormal para escribir los
vectores cinemáticos los versores
uˆ T ,uˆ N  . En cada punto de la trayectoria el primero es tangencial a ésta
y apunta en la dirección en la que s (el arco de la trayectoria) aumenta; el segundo es normal y apunta
hacia el centro de curvatura de ésta, Figura 1. Cada uno de estos versores da la dirección de sus
respectivos ejes coordenados (eje tangencial y eje normal). A esta base se le conoce con el nombre de
base intrínseca.
Algo que es necesario observar es que la curva (trayectoria) seguida por la partícula está fija a un marco
de referencia y además se deben considerar estos vectores unitarios fijos en cada punto, así sus
direcciones varíen de un punto a otro: NO son vectores unitarios fijos a un marco de referencia móvil que
viaja con la partícula.
En el módulo se hará énfasis en las componentes normal y tangencial de la aceleración. En la segunda parte
del módulo se aplicará los resultados obtenidos para el movimiento curvilíneo plano al caso del movimiento
circular.
2
Figura 1
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Considerar que una partícula se mueve en una trayectoria curva (línea roja de la Figura 2). Por simplicidad
se supondrá que la curva es plana, Figura 2, sin embargo los resultados obtenidos son de validez general. La
aceleración de la partícula es,
a=
dV
dt
Figura 2
Como,
V = V uˆ T
Entonces,
a =
d  Vuˆ T 
dt
=
duˆ
dV
uˆ T + V T
dt
dt
[1]
¿Cuál es el resultado de la derivada temporal del versor tangencial?
duˆ T
=?
dt
3
û T =  cosφ  ˆi +  senφ  ˆj
duˆ T
dφ
dφ
=  -senφ  ˆi +  cosφ  ˆj
dt
dt
dt
Pero,
  π 
  π 
û N = cos  +φ   ˆi + sen  +φ   ˆj =  -senφ  ˆi +  cosφ  ˆj
  2 
  2 
Entonces puede concluirse que,
duˆ T
dφ
=
uˆ N
dt
dt
Ahora, ds = ρdφ ,
duˆ T
1 ds
=
uˆ
dt
 dt N
En donde la rapidez V es,
V=
ds
dt
Obteniéndose,
duˆ T
V
= uˆ N
dt
ρ
Reemplazando en [1],
a =
dV
V2
uˆ T +
uˆ N
dt
ρ
Interpretación:
[2]

Se denomina aceleración tangencial al cambio en el tiempo de la magnitud de la velocidad, es decir,
al cambio temporal de la rapidez,
aT =

dV
dt
[3]
Se denomina aceleración normal o o aceleración centrípeta al cambio en el tiempo de la dirección de
4
la velocidad,
aN =
V2
ρ
[4]
Esta aceleración apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria en el punto de la curva donde se
encuentra la partícula.

Estas dos aceleraciones son ortogonales. El resultado vectorial es,
a = aT + a N
a = a T uˆ T + a N uˆ N
a=
aT 
2
+ a N 
2
La aceleración resultante se dirige hacia la concavidad de la trayectoria.
En la Figura 3 se ilustra esto.
Figura 3
Ejemplo sobre movimiento curvilíneo plano
Una partícula se mueve en el plano XY de tal manera que sus coordenadas en m después de t s son
y =  2t - 3 
x = 4t 2
2
¿Cuál es la aceleración tangencial de la partícula y el radio de curvatura de su trayectoria cuando su
rapidez vale
5
4 5 m.s-1?
Solución:
Las componentes rectangulares de la velocidad son,
Vx =
dx
= 8t
dt
Vy =
dy
= 4  2t - 3
dt
La rapidez es,
V = Vx2 + Vy2 = 128t 2 - 192t + 144
La aceleración tangencial es,
aT =
 256t - 192 
dV
=
dt
2 128t 2 - 192t + 144
La rapidez es igual a
4 5 m.s-1 en instante,
128t 2 - 192t + 144 = 4 5
128t 2 - 192t + 144 = 80
t = 0,5 s y t = 1,0 s
Para estos instantes la aceleración tangencial es respectivamente,
aT = -
8 5 m
5 s2
aT =
8 5 m
5 s2
Se analizará para el instante t= 1,0 s (se deja al lector el análisis para t=0,5 s). Para este instante la
posición correspondiente es,
x=4 1,0  = 4,0 m
2
y=  2 1, 0   3 = 1,0 m
2
r = 4,0 ˆi + 1,0 ˆj m
Para calcular el radio de curvatura en ese instante se debe calcular primero la aceleración total en estos,
ax =
dVx
m
=8 2
dt
s
a = a 2x + a 2y = 8 2
ay =
dVy
dt
=8
m
s2
m
s2
6
Ahora,
a N = a 2 - a T2
Por lo tanto la aceleración normal en ese instante es,
8 2 
aN =
2
2
8 5 
m
- 
 = 10,7 2
s
 5 
Adicionalmente la rapidez en ese instante es,
V=4 5
m
s
Como,
aN =
V2
ρ
Se tendrá que el radio de curvatura de la trayectoria de la partícula en ese instante es,
V2
ρ=
aN
ρ=
80
m = 7,4 m
10,7
Movimiento circular: Definiciones básicas de las variables angulares
Posición angular 
Sea una circunferencia de radio R, centro C fija en un marco de referencia. Se elige un origen O sobre la
circunferencia, Figura 4. Si una partícula se mueve sobre esa trayectoria circular, su posición general en un
punto P puede darse mediante la posición angular  (expresado en radianes), ángulo medido respecto a una
línea de referencia CO:  es una función del tiempo, (t).
7
Figura 4
Velocidad angular 
Se define como,
ω=
dθ
dt
Sus unidades en el SI son rad.s-1.
Aceleración angular 
Se define como,
α=
dω
dt
Sus unidades en el SI son rad.s-2.
Por analogía con el movimiento rectilíneo, en el movimiento circular también se presentan tres ecuaciones
diferenciales fundamentales,
ω=
α=
dθ
dt
[1]
dω
dt
[2]
y la tercer de la combinación de estas dos,
ωdω = αdθ
[3]
El análisis de la cinemática de una partícula en movimiento circular debe pasar por la integración de estas
ecuaciones.
Relaciones entre variables angulares y variables lineales
Como la rapidez de una partícula que se encuentra en movimiento curvilíneo es,
V=
ds
dt
Y en el caso del movimiento circular,
s=θR
[4]
Se obtiene,
V =
d  Rθ 
dθ
=R
dt
dt
Es decir,
V=ωR
[5]
Si se deriva de nuevo respecto al tiempo,
aT =
d  ωR 
dV
dω
=
=R
dt
dt
dt
Es decir,
a T = α R [6]
Resumiendo, la relación entre las variables lineales y angulares son,
s=θR
[4]
V=ωR
[5]
a T = α R [6]
Ver regla nemotécnica en la Figura 5.
8
9
Figura 5
Adicionalmente se deduce del movimiento curvilíneo que la aceleración centrípeta es,
aN =
V2
R
[7]
O reemplazando [5],
a N = ω2 R
[8]
Un comentario sobre las variables lineales y angulares
Como consecuencia de la propiedad de los ángulos que expresa que el valor de éstos no depende de la
longitud de sus lados sino de su apertura, si un cuerpo rígido está en rotación respecto a un eje, todos sus
puntos rotarán haciendo los mismos desplazamientos angulares, con la misma velocidad y aceleración
angular independientemente de que tan cerca o lejos se encuentren del centro de rotación, es decir,
independientemente del radio de su trayectoria circular. Sin embargo, el valor de la longitud del arco
recorrido, de la velocidad y de la aceleración lineal es mayor entre los puntos que estén más alejados del
centro: varían proporcionalmente al radio de la trayectoria circular, Figura 6
Figura 6
Representación vectorial de las variables angulares
La posición, la velocidad y la aceleración angular en el sentido estricto no son vectores. Esto se debe a que
no cumple la propiedad conmutativa. Para comprender se puede realizar el siguiente experimento:

Ubicar un libro sobre una mesa y definir un sistema de coordenadas cartesiano XYZ. Para facilitar el
experimento colocar un eje en la dirección del lomo del libro, por ejemplo el eje X estando el plano XY
sobre la pasta del libro.

Rotar el libro alrededor del eje Z y luego alrededor del eje Y.

Repetir pero conmutar las rotaciones, es decir, primero alrededor del eje Y y luego alrededor del eje
Z.

El resultado es diferente. Es decir la rotación no conmuta
Sin embargo el comportamiento de las variables angulares es muy similar a la de un vector, por lo que en
muchas aplicaciones se les trata como tal: a este tipo de comportamientos se les denomina pseudovectores.
En este curso no se ahondará en este asunto y en el fondo de este se tiene que estos pseudovectores
tienen su origen en productos vectoriales, que como bien se debe recordar, el producto vectorial NO
CONMUTA, sin embargo su resultado se comporta como un vector. Ejemplos de pseudovectores: torque,
desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, momento angular (este, se tratará en la
última unidad del curso).
Habiendo realizado la anterior aclaración, se tratarán las variables angulares como vectores y para el caso
de movimiento circular, considerando como eje de rotación el que pasa por el centro de la trayectoria
circular, estos vectores angulares tienen la siguiente orientación:

El desplazamiento y la velocidad angular están en la dirección del eje de rotación y apuntan hacia donde
se desplaza un tornillo de rosca derecha, Figura 7.
Figura 7

La aceleración angular apunta en el mismo sentido del cambio de velocidad angular.
En la Figura 8 se ilustran los vectores velocidad lineal, aceleración centrípeta y velocidad angular en una
partícula que se mueve con movimiento circular uniforme.
10
11
Figura 8
Para aclarar un poco más sobre la discusión del concepto de pseudovector observar que para el sistema de
coordenadas de la Figura 8 se cumple que la ecuación [5] se puede escribir vectorialmente como sigue,
V = ω×r
operación que no conmuta.
Movimientos circulares especiales
Análogamente al movimiento rectilíneo, se presentan dos movimientos circulares muy especiales:

MCU (Movimiento Circular Uniforme): La partícula se mueve con velocidad angular constante, es
decir la aceleración angular es nula.

MCUV (Movimiento Circular Uniformemente Variado): La partícula se mueve con aceleración angular
constante.
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Integrando las ecuaciones diferenciales de movimiento [1], se obtiene la ecuación general para el MCU,
θ = θo +ω t
En donde se ha supuesto, como casi siempre se hace, que t o=0.
Adicionalmente este movimiento es PERIÓDICO, es decir se repite idénticamente cada vuelta o revolución.
A este tipo de movimientos se les define un PERIODO (P) y una FRECUENCIA (f):

El periodo es el tiempo que emplea la partícula para dar una vuelta completa.

Frecuencia es el número de vueltas en una unidad de tiempo (por ejemplo 1 s).
Con base en estas definiciones se puede concluir que,
P=
t
n
f=
n
t
P  f =1
12
En donde n es el número de vueltas y t el tiempo empleado en hacerlas.
El periodo se mide en el SI en s y la frecuencia en vueltasxs-1 o simplemente s-1.
Una expresión muy USADA en el MCU se deduce a continuación:
Como,
θ = θo +ω t
ω=
θ-θ o
Δθ
=
t
t
y si =2, t=P se obtiene,
ω=
2π
P
que también puede adoptar la forma,
ω = 2π f
Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
Integrando las ecuaciones diferenciales de movimiento [1], [2] y [3] de forma análoga a como se hizo en el
MUV se obtiene las siguientes ecuaciones generales para el MCUV,
θ = θ o + ωo t +
1 2
αt
2
ω = ωo + α t
ω2 = ωo2 + 2 α θ - θo 
Ejemplos sobre movimiento circular
Ejemplo 1
¿Cuál es la velocidad angular en rad.s-1 de una rueda que gira a 330 RPM?
Solución:
revolucion 1 min
6,28 rad
rad
ω = 330
×
×
= 34,5
min
60s 1 revolución
s
Ejemplo 2
Calcular la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de un punto en la línea del ecuador del planeta Tierra
(R=6370 km).
En la Figura 9 se ilustra la escena física.
Figura 9
Solución:
La tierra considera como cuerpo rígido, cada punto de la misma gira con MCU con un periodo de 24 h. Todos
los puntos giran con la misma velocidad angular , pero los puntos ubicados en el ecuador giran con la mayor
rapidez lineal V.
P = 24 h 
ω=
3600 s
= 86400 s
1h
2π
6,28rad
rad
=
= 7,27x10-5
P
86400s
s
La velocidad lineal,
13
V=ωR
V = 7,27×10-5
rad
m
×6370×103 m = 464
s
s
En km/h es,
V = 464
m 1 km 3600 s
km
× 3 ×
= 1670
s 10 m
1h
h
¡Si el planeta dejara de rotar “instantáneamente”,
14
saldríamos tangencialmente con esta velocidad!
Compararla con la de un auto de fórmula 1, que son del orden de 350 km/h. En los polos esta velocidad es
nula. Como dato interesante: la Tierra se traslada con una velocidad de 30 km/s es decir, 108000 km/h
(Uyyy…).
La aceleración centrípeta es,
a N = ω2 R
2
rad 
m

3
a N =  7,27×10-5
 ×6370×10 m = 0,034 2
s 
s

Ejemplo 3
Una partícula inicia su M.C.U.V. con una velocidad de 6,00 m/s. Si su aceleración tangencial es 4,00 m/s2 y
su radio de giro es 9,00 m, determinar su velocidad lineal y su velocidad angular luego de 12,0 segundos.
Solución:
Las ecuaciones generales para las magnitudes angulares son,
θ = θ o + ωo t +
ω = ωo + α t
1 2
αt
2
[1]
[2]
ω2 = ωo2 + 2 α θ - θo  [3]
Adicionalmente están las relaciones de las magnitudes angulares con las lineales,
s=θR
[4]
V=ωR
[5]
aT = α R
[6]
aN =
V2
R
[7]
Empleando la ecuación [5] se calcula la velocidad angular inicial,
ω0 =
Vo
R
15
ω0 =
6,00 m.s
9,00 m
-1
= 0.67
rad
s
Empleando la ecuación [6] se calcula la aceleración angular,
α=
aT
R
4,00 m.s-2
rad
α=
= 0,44 2
9,00 m
s
Reemplazando en la ecuación [2] se calcula la velocidad angular a los 12 s,
ω = 0,67
rad
rad
rad
+ 0,44 2 x12 s = 5,98
s
s
s
Reemplazando en la ecuación [5] se obtiene la rapidez lineal a los 12 s,
V = 5,98
rad
m
×9,00 m = 53,8
s
s
Ejemplo 4
Una cuerda va enrollada sobre la periferia de una rueda de 20 cm de radio. La rueda gira desde el reposo
alrededor de un eje horizontal fijo bajo la acción de un bloque que está suspendido de la cuerda. Si este
bloque desciende con aceleración constante igual a 2,00 m.s -2, calcular en radianes el ángulo girado por la
rueda en los primeros 3,00 s y el módulo de la aceleración total de un punto sobre la periferia en ese
instante.
Solución:
En la Figura 10 se ilustra la escena física. También se ilustra el sistema de coordenadas elegido. El marco
de referencia es la base de apoyo del eje de la rueda.
16
Figura 10
En los puntos de la periferia de la rueda se cumplen las ecuaciones [4], [5] y [6] que relacionan las variables
angulares con las lineales que,
s=θR
1
V=ωR
 2
aT = α R
3
Para el bloque se cumplen las ecuaciones generales del MUV,
y  t2
 4
Vy = 2t
 5
Vy2 = 4y
 6
Los puntos de la cuerda descienden también cumpliendo estas ecuaciones (4), (5) y (6). Adicionalmente si la
cuerda no desliza sobre la rueda, los puntos de la periferia de la rueda tendrán su velocidad lineal igual la
velocidad de descenso de los puntos de la cuerda (es decir del bloque) y su aceleración tangencial igual a la
aceleración de descenso de los puntos de la cuerda (es decir del bloque).
Reemplazando en la ecuación [4] se obtiene la posición del bloque a los 3 s,
y   3, 00  = 9,00 m
2
esta corresponde a lo que ha descendido el bloque y a la longitud de la cuerda que se ha desenrollado y
también a la longitud del arco de la periferia que la rueda ha recorrido. Reemplazando en (1),
θ=
S
R
θ=
9,00 m
=45 rad
0,20 m
que en vueltas de la rueda equivale a ,
n = 45 rad×
1 vuelta
= 7,2 vueltas
6,28 rad
La aceleración tangencial de los puntos de la periferia es igual a la aceleración de descenso del bloque,
m
s2
a T = 2,00
Para calcular la aceleración centrípeta de los puntos de la periferia en el instante t=3,00 s, es necesario
calcular la rapidez lineal Vy del bloque en ese instante. Se puede emplear la ecuación [5],
Vy = 2  3,00  = 6,00
m
s
Esta rapidez es igual a la rapidez de los puntos de la periferia de la rueda en ese instante. Por lo tanto se
puede emplear la ecuación para la aceleración centrípeta,
V2
R
aN =
 6,00 m.s 
=
-1 2
aN
0,20 m
= 180
m
s2
Es decir del orden de 18 veces la aceleración de la gravedad.
La aceleración total es,
a
 aT    aN 
2
a =180,01
2
m
s2
Es decir, en este ejemplo, prácticamente la aceleración tangencial es despreciable frente al valor de la
aceleración centrípeta.
Tarea:
Repetir los cálculos si la aceleración de descenso del bloque es 0,05 m.s-2.
17
Transmisión de movimiento
El movimiento de rotación de una rueda se puede transmitir a otra rueda mediante el uso de una correa o
banda. El principio físico en el que se fundamenta esta transmisión es: “Las velocidades angulares de las
dos ruedas conectadas por una banda o correa de transmisión, son inversamente proporcionales a us
radios”.
18
Figura 11
En la Figura 11 se ilustra la situación física. Si la cuerda no desliza en las ruedas, la rapidez lineal de los
puntos de la periferia de éstas se mueven con la misma rapidez lineal que los puntos de la cuerda. Con base
en esto se cumple,
V1 = V2
Por lo tanto,
ω1R1 = ω2 R 2
ω1
R
= 2
ω2
R1
Es decir, las velocidades angulares de rotación de las ruedas son inversamente proporcionales a sus radios:
la de menor radio debe rotar proporcionalmente con mayor velocidad angular.
Taller:
Movimiento circular
1.
Resolver:

Un punto al borde de una gran rueda cuyo radio es de 3,00 m. Se mueve a través de un ángulo de 40,0°.
Encontrar la longitud del arco descrito por el punto.

Una volante parte del reposo y alcanza una velocidad rotacional final de 900 rpm en 4 s. Determinar la
aceleración angular y el desplazamiento angular después de 4,00 s.

Una pieza cilíndrica para almacenamiento de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm. ¿ Cuál es la
velocidad lineal en la superficie del cilindro?.

Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es la velocidad angular? ¿Cuál es el desplazamiento angular
después de 6,00 s?

Un satélite gira en una órbita circular alrededor de la Tierra, a una altitud de 500 km sobre el nivel del
mar, completando una vuelta respecto al centro de la tierra en 95,0 minutos. ¿Cuánto vale la
aceleración gravitatoria en el lugar donde se encuentra el satélite?
Rp. 8,38 m.s-2
2. ¿Qué velocidad angular, expresada en radianes por segundo, ha de tener una centrifugadora, para que
en un punto situado a 10,0 cm del eje de giro produzca una aceleración normal 100 veces mayor que la
de la gravedad?
Rp. 98,99 rad.s-1
3. Un motor gira a 2000 rpm y disminuye su velocidad pasando a 1000 rpm en 5,00 segundos. Calcular: (a)
La aceleración angular del motor; (b) El número de revoluciones efectuadas en ese tiempo; (c) la
aceleración lineal de un punto de la periferia si el radio de giro es de 20,0 cm.
Rp. (a) -20,94 rad.s-2, (b) 125, (c) -4,19 m.s-2
4. Un automóvil cuyas ruedas tienen un radio de 30,0 cm, marcha a 50,0 km.h -1. En cierto momento su
conductor acelera hasta alcanzar una velocidad de 80,0 km.h -1, empleando en ello 20,0 s. Calcular:
(a) la aceleración angular de las ruedas, (b) el número de vueltas que dio en esos 20,0 s.
Rp. (a) 1,39 rad.s-2, (b) 191,6
5. Una mujer que está de pie en una plataforma giratoria a 4,00 m del centro de rotación recorre una
distancia de 100 m en 20,0 s. Si partió del reposo ¿Cuál es la aceleración angular de la plataforma?
¿Cuál es la velocidad angular después de 20,0 s?
6. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de tal manera que el arco en cm girado en t s es
s  2t 3  3t 2 . Si la aceleración total de la partícula vale 30 2 cm.s-2 para t  2 s , ¿cuál es el radio de
la circunferencia?
Rp.43,2 cm
Movimiento general en dos dimensiones
8. Una partícula se mueve en el plano XY de tal manera que sus coordenadas en m después de t s son:
x = 4t 2
y =  2t - 3 
2
19
¿Cuáles son las coordenadas de la partícula cuando su rapidez vale
4 5 m.s-1? ¿Cuál es la aceleración
tangencial de la partícula cuando tiene esa rapidez?
Rp.
x  4 m , y  1 m ; aT 
8
5
m.s -2 en t=1 s.
9. La posición de una partícula se define como:
20
r = 4  t - sent  ˆi +  2t 2 - 3 ˆj m
donde t se expresa en s y el argumento del seno está en radianes. Determinar la rapidez de la partícula
y las componentes normal y tangencial de la aceleración en t=1 s.
Rp. 4,4 m.s-1; 1,39 m.s-2 y 5,04 m.s-2
10.
Un cohete sigue una trayectoria tal que su aceleración se define como:
a = 16 ˆi + 4t ˆj m.s-2


Si arranca desde el reposo en posición r  0 , determinar la rapidez del cohete y el radio de
curvatura de su trayectoria en el instante t=10,0 s.
Rp. 256 m.s-1, 5 250 m.
FIN.