Download 1.- Introducción

PROGRAMACIÓN DE MATEMÁTICAS
5º EDUCACIÓN PRIMARIA
CURSO 2015 / 2016
1º BLOQUE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Operaciones con números naturales.
Propiedades de las operaciones.
Jerarquía de operaciones.
Redondeo y aproximación.
Múltiplos y divisores.
Números primos.
Criterios de divisibilidad.
Potencias.
2º BLOQUE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto y términos de las fracciones.
Fracciones equivalentes.
Comparación de fracciones.
Fracción de una cantidad.
Sumas y restas de fracciones (con igual y diferente denominador).
Multiplicaciones de fracciones.
Divisiones de fracciones: números mixtos (transformar un número decimal a fracción).
Porcentajes: definición y aplicación.
3º BLOQUE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Concepto de los números decimales: representación en la recta numérica.
Comparación de números decimales.
Redondeo de números decimales.
Sumay resta de números decimales.
Multiplicación de números decimales
División de números decimales: cuando hay coma en el dividendo.
División de números decimales: cuando hay coma en el divisor.
Multiplicación y división de números decimales seguido por la unidad seguida de ceros.
BLOQUE 1
1.- OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
1- INTRODUCCIÓN.
1.1. Lee el siguiente texto y contesta.
Una máquina que permite ganar tres horas al día
El l7 de noviembre se abrió el III Salón de los Inventos. El primer premio lo ganaron tres hermanos con su
invento Duchalav. Se trata de un artefacto mitad ducha y mitad lavadora que permite lavar en diez minutos
la ropa y la persona.El Duchalav cuenta con dos cabinascomunicadas entre sí. En la primera se desarrollael
enjabonado y el aclarado. En la segunda, el secado y planchado.El resultado final es que, en poco tiempouna
persona puede ducharse y salir limpia, secay con la ropa planchada. El único inconvenientees el tamaño de
la máquina: una longitud demás de tres metros y una altura de dos metros.El premio consistió en un cheque
de 750€que se entregará en cuatro plazos.
1.2. Rodea al menos 10 palabras que se refieren a números y cantidades.
Escribe los siguientes números del texto:
a) Dos números ordinales. ›
b) Dos números referidos a la medida del tiempo. ›
c) Dos números referidos a la medida del espacio. ›
d) Un número referido a dinero. ›
e) Dos números que aparezcan en el dibujo. ›
1.3. Vuelve a leer el texto en voz alta sin leer ningún número. ¿Se entiende?
1.4. Recorta una noticia de un periódico y trata de contarla sin citar ningún número.
2- TEORÍA.
SUMA



Concepto: Sumar se define como añadir una cantidad determinada a otra.
Sinónimo: Adición.
Signo: +


Mecánica: Es muy importante que antes de empezar a operar nos fijemos en que los números estén
bien alineados, es decir, que coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas…
Términos: Cada término se denomina sumando y el resultado se llama suma o total.
RESTA





Concepto: Restar se define como quitar una cantidad determinada a otra.
Sinónimo: Sustracción.
Signo: Mecánica: Al igual que en la suma es muy importante que los números esten bien alineados y que
coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas…
Términos: los terminos de una resta son los siguientes: minuendo, sustraendo y diferencia.
MULTIPLICACIÓN






Concepto: Una multiplicación se puede definer como una suma de varios sumandos iguales.
Sinónimo: Producto.
Signo: x
Mecánica: Para multiplicar un número de una cifra por otro de dos cifras, se pondrá el número de dos
cifras en la parte de arriba y el de una cifra en la parte de abajo. Se empieza por multiplicar el
número de abajo por las unidades del de arriba, despues las decenas y así sucesivamente. Cada vez
que multipliquemos un número, las que nos llevemos, se pasarán al siguiente número.
Para multiplicar por números de dos cifras se seguirá la mecánica anterior, prestando atención a que
al empezar a multiplicar el segundo número se debe mover la fila un lugar hacia la izquierda de tal
forma que las unidades de la segunda fila coincidan con las decenas de la primera y así
correlativamente.
Términos: Factores (números a multiplicar) y Producto (resultado).
DIVISIÓN




Concepto: Una división se puede definir como el reparto de una cantidad determinada en partes
iguales.
Sinónimo: Repartición.
Signo: ÷
Mecánica: para dividir un número (dividendo) entre otro (divisor), se seguirán los siguientes pasos:
o Elegir números que sean mayores o iguales que el divisor. (Señalarán con unarco).
o Buscar el cociente, es decir, un número que multiplicado por el divisor sea igual o menor que
el dividendo.
o Hacer el resto con el número resultante, restándolo al dividendo.
Si el dividendo tiene más de un número, al terminar de dividir el primer número se repetirán los
pasos 1 y 2, hasta llegar al 3.
En función del resto obtenido consideraremos dos tipos de divisiones:
División exacta, aquella en la que el resto es 0.
División entera, aquella en la que el resto es distinto de 0.

Términos:
o Dividendo:número que va a ser dividido.
o Divisor: número entre el que se divide el dividendo.
o Cociente: el número que resulta de la division.
o Resto: la cantidad que queda sin repartir.
3- PRÁCTICA
1. Completa las siguientes sumas y restas.
a) 39.765 + .......................... = 43.034
b) 54.916 - ........................... = 35.283
c) .......................... + 28.391 = 67.524
d) .......................... – 35.278 = 27.641
2. Completa las siguientes sumas, restas y multiplicaciones
c) 76 –(25+43)+95 =
d) 6+2x3–(9–4) =
a) 45 +28–59 =
b) (5+4)x(7–2)=
3. Completa las siguientes divisiones
a) 30 :2 =
b) 15 :3 =
c) 30 :5 =
d) 60 :4=
e) 30 :6 =
f) 90 :15 =
4. Calcula
a) 170 - (30 + 120) =
b) (415 + 180) - 20 =
c) 540 + 125 - 160 =
d) 38 + 75 - 25 =
e) 8 - 3 x 2 =
5. Calcula.
a) 5 x 6 - 2 =
b) (7 - 4) x 5 =
6. Operaciones
a) 10 x (19 - 4) =
b) 15 - 8 + 25 =
c) 7 + 3 x (35 + 48) =
7. Observa los resultados de estas operaciones y coloca los paréntesis donde corresponda.
a) 3 + 4 x 5 = 23
b) 5 x 8 - 3 = 25
8.
a)
b)
c)
d)
Calcula.
70 : 10 =
80 : 20 =
90 : 30 =
120 : 60 =
c) 12 x 6 + 9 = 81
d) 13 - 7 + 6 = 0
e) 320 : 80 =
f) 630 : 70 =
g) 1.000 : 50 =
h) 2.000 : 40 =
i) 3.000 : 60 =
j) 80.000 : 80 =
k) 60.000 : 20 =
l) 40.000 : 40 =
2.- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
1. INTRODUCCIÓN
Un hombre se sentía mayor para seguir trabajando sus tierras. Decidió ponerlas en manos de algunos de sus
dos hijos. La cuestión es que, ambos, eran orgullosos y soberbios. No sabía cuál de los dos sería el más
indicado para cuidarlas.
Un buen día reunió a los dos y les pidió a cada uno que contará el número total de árboles frutales presentes
en sus tierras. Para ello les enseño un dibujo con la disposición de los mismos:
CALLE 
X XXXXXXXXXX
X XXXXXXXXXX
X XXXXXXXXXX
X XXXXXXXXXX
X XXXXXXXXXX
X XXXXXXXXXX
HILERA
El padre dijo:
-Quiero que contéis el total de árboles que hay en la finca de la forma más fácil posible.
Ambos hijos se pusieron a ello. Al acabar el día se reunieron con su padre:
-¿Y bien?
El hijo más mayor dijo:
-Lógicamente, he contado los árboles usando las calles.
-¡Qué burro eres! Las calles son muy largas que las hileras. ¡Es mucho más difícil! –dijo el hijo más joven.
-¿Y tú qué has hecho? –preguntó el padre al hijo más joven.
-Claramente, he contado los árboles utilizando las hileras.
-¡Pero, qué zoquete! Hay muchas más hileras que calles. Es una pérdida de tiempo. –dijo el hijo mayor.
-¿Cuál ha sido el resultado de vuestro conteo?- preguntó el padre.
Ambos hijos contestaron que el total de árboles de la finca del padre era 66 árboles. El resultado sorprendió
a los dos, incrédulos de que su respectivo hermano fuera capaz de saber el resultado correcto.
-Vuestra arrogancia no os ha dejado ver que hay diferentes formas de realizar una tarea y que esta sea
exitosa. Os dejaré la tierra a ambos con la condición de que os respetéis y os consultéis la mejor forma de
cuidar mis tierras.-dijo el padre.
Desde entonces ambos hijos dejaron de ser tan soberbios y ambos colaboraron, respetando el criterio de cada
uno, en la mejor manera para cuidar las tierras de su padre.
2. TEORÍA
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS
1º) SUMA:
1. Propiedad conmutativa: si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado de la suma sigue siendo
el mismo.
17 + 13
30
13 + 17
30
2. Propiedad asociativa: para sumar tres números, sumamos primero dos de ellos cualesquiera, y el
resultado los sumamos con el tercero.
12 + 5 + 9
12 + 5 + 9
17 + 9
12 + 14
26
26
2º) RESTA:
Propiedad fundamental de la resta: si sumamos o restamos un mismo número al minuendo y sustraendo, el
resultado final de la resta no cambia.
35 --
42
47 --
42
19
19
- 24 --- 31 - 28 --- 23
19
19
3º) MULTIPLICACIÓN:
1. Propiedad conmutativa: si cambiamos el orden de los factores el resultado del producto sigue siendo
el mismo.
14 x 8
8 x 14
112
112
2. Propiedad asociativa: cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin
importar como se agrupan los factores.
6 x (3 x 10)
(6 x 3) x 10
6 x 30
18 x 10
180
180
3. Propiedad distributiva
A. Respecto de la suma: el producto de una suma por un número es igual a la suma de los productos
de cada uno de los sumandos por ese número.
(7 + 6) x 3
7x3 + 6x3
13 + 3
21
39
+ 18
39
B. Respecto de la resta: el producto de una diferencia por un número es igual a la diferencia de los
productos de cada término por ese número
(6 - 2) x 3
6x3 - 2x3
4 x 3
18 - 6
12
12
4º) DIVISIÓN:
Propiedad fundamental de la división:
A. En una división exacta, si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por un mismo
número, el cociente no varía.
60 : 5 = 12
180 : 15 = 12
B. En una división inexacta, el resto queda dividido o multiplicado por ese mismo número.
87 ¡_14__
3 6
174 ¡_28__
6
6
3. PRÁCTICA
3.- JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES (Operaciones combinadas)
1.- Introducción
2.- Teoría
Para resolver una expresión con varias operaciones debemos seguir el siguiente orden:
1.- Si hay corchetes [ ], resolvemos primero las operaciones que están dentro de los corchetes.
2.- Si hay paréntesis ( ), resolvemos primero las operaciones que están dentro de los paréntesis.
3.- Las multiplicaciones y divisiones que encontremos siempre de izquierda a derecha.
4.- Las sumas y restas que aparezcan de izquierda a derecha.
Ejemplo:
Sin paréntesis
Con paréntesis
9 – 5 + 3 – 2=
5 + 6 : (7 – 4) =
4+3–2=
5+6:3=
7–2=5
5+2=7
3.- PRÁCTICA
5.- Escribe en tu cuaderno que orden hay que seguir en las operaciones combinadas y, después calcula.
4.- REDONDEO y APROXIMACIÓN
1. INTRODUCCIÓN
Desde el principio de los tiempos el ser humano ha intentado economizar en todo lo que le rodea, incluido el
tiempo y la comprensión de las matemáticas. Así suele ser habitual que redondeemos el precio de unas
zapatillas, de un coche o incluso, de una casa, para recordar mejor su precio. Asumimos que hay un pequeño
error, pero nos facilita su memorización y por eso lo hacemos:
Dibujamos en la pizarra estos objetos y los alumnos dicen a qué precio se aproxima.
299€
14.999€
129.887€
(300€)
(15.000€)
(130.000€)
2. TEORÍA
Hay dos caminos para el aprendizaje de la aproximación. La comprensión del concepto mediante rectas
numéricas y el método mecánico observando que número es el siguiente del que se quiere redondear.
I.
Comenzamos por el primero. Los alumnos copian estas tres rectas numéricas en su cuaderno
y sitúan los números donde crean que van. No tiene que ser exacto, pero sí que tiene que estar
claro si están antes o después de la mitad:
Colocamos la mitad de cada recta
y después colocamos:



3–6–9–1
23 – 59 – 88 – 40
950 – 230 – 432 - 609
Deducimos entre todos de donde
están más cerca.
II.
La segunda forma es más mecánica. Veamos un video para explicarla.
Video explicación teoría
3. PRÁCTICA
1. Aproxima estos números a la decena más cercana:
a)
6 =
c) 3=
e) 17=
g) 239=
b)
7 =
d) 12=
f) 28=
h) 521=
2. Redondea estos números a la centena más cercana:
a)
36 =
c) 480=
e) 917=
g) 1239=
b)
207 =
d) 120=
f) 289=
h) 5219=
3. Aproxima estos números al millar (Unidad de millar) más cercano.
a)
936=
c) 5480=
e) 9217=
g) 1539=
b)
2207 =
d) 8120=
f) 2989=
h) 25719=
4. Relaciona cada número con su aproximación a las centenas.
16.025
14.965
13.496
17.995
15.000
18.000
16.000
13.500
5. Completa
Número
Aproximación Decenas
Aproximación Centenas
Aproximación u. Millar
1.026
13.588
159.781
6. Relaciona cada número con su aproximación a las decenas.
16.025
11.865
13.496
17.995
18.000
11.870
16.030
13.500
7. Calcula
Número
41.126
18.888
239.981
Aproximación Decenas
Aproximación Centenas
Aproximación u. Millar
8. Aproxima estos números y después calcula:
5.- LOS MÚLTIPLOS Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
1.- INTRODUCCIÓN
LECTURA 1: Múltiplos y divisores revoltosos y primos divertidos.
Te propongo un pequeño juego, para que veas que pensar puede ser divertido y que buscar el truco mágico
que hay detrás puede convertirse en una aventura interesante.
Empieza por elegir un número de tres cifras, por ejemplo el: 345
Los escribes dos veces seguidas: 345345.
Lo divides entre 7. El resultado lo divides por 11. Y el nuevo resultado por 13. (Puedes utilizar una
calculadora)
¿Qué te da? ¿No me digas que te vuelve a dar el número pensado?:
345
Prueba con otro, no sea que te haya engañado.
¿Te da con cualquier número lo mismo? Prueba con otro número de más o menos cifras. ¿Otra vez te vuelve
a dar el número propuesto?
Mi reto está en que expliques en esta página
¿Por qué ocurre esto? ¿Tendrá que ver con los múltiplos y divisores que estamos estudiando?
LECTURA 2: La escalera del castillo
Para subir al viejo castillo, hay que subir una escalera larga, larga….
Tres amigos quieren llegar al castillo.
Pedro sube los escalones, despacio y de uno en uno.María de dos en dos.Pablo, veloz, salta los escalones de
tres en tres.
Pedro empieza a subir en el escalón primero, María en el segundo escalón y Pablo en el tercero.
¿Cuáles son los escalones que sólo pisan dos personas?
2.- TEORÍA
LOS MÚLTIPLOS
Los múltiplos de un número son todos aquellos números enteros que se obtienen de multiplicar un número
entero por cualquier otro número entero natural. Existen algunas reglas y características básicas que
debemos conocer:

Todos los números son múltiplos de 1.

Todos los números pares son múltiplos de 2.

Todo número es múltiplo de sí mismo.
Los números primos sólo son múltiplos de 1 y de sí mismos.
Los múltiplos de un número que es resultado de una multiplicación, es múltiplo de los dos factores. Por
ejemplo:
1. Un número múltiplo de 6, también es múltiplo de 2 y de 3.
2. Un número múltiplo de 8, será múltiplo de 2 y de 4.
3. Un número múltiplo de 12, será múltiplo de 3 y de 4
Ejemplos de múltiplos:
. Múltiplos de 1: 1, 2, 3, 4, 5, 13, 25, 37, 9875…. Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 18, 26, 32, 124, 896,
11112…
. Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 33, 42, 69, 96, 123, 231, 321, 456, 546, 564…
. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 48, 96, 132, 200, 1996, 2004…
Para lograr el múltiplo de un número entero cualquiera, tenemos que multiplicarlo por cualquier otro número
entero natural.
Los múltiplos de un número son infinitos, dado que también son infinitos los números naturales.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.
¿Qué es un "múltiplo común"?
Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos
son los múltiplos comunes a los dos números.
Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son
los que están en las dos listas:
Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...
Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...
¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos
comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)
¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los
múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.
3.- PRÁCTICA
1.- Calcula los 10 primeros múltiplos de estos números:
3:
5:
10:
11:
2.- Halla cinco números que sean múltiplos de 5 y menores que 60.
3.- Contesta:
¿Es40múltiplode8?
¿Es7múltiplode1?
¿Es34múltiplode6?
¿Es63 múltiplode9?
4.- Clasifica estos números en múltiplos de 5 y en múltiplos de 9:
0, 5, 36, 45, 18, 100, 9, 81, 21, 10
MÚLTIPLOS DE 5
MÚLTIPLOS DE 9
5.- Indica con una V si es Verdadero y una F si es falso.
a. 124 es múltiplo de 2 ___
d. 999.009 es múltiplo de 3 ___
b. 345 es múltiplo de 6 ___
e. 39 es múltiplo de 5 ___
c. 50.000 es múltiplo de 4 ___
6. Begoña y Susana han ido a ver a sus abuelos. Begoña los visita cada 2 días y Susana cada 6 días.
¿Cuántas veces los visitará cada una durante ese mes?¿Cada cuántos días coincidirán ambas?
7.- Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 180 minutos y
un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la
señal.
a) ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir?
b) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?
8.- Hay 3 líneas de teléfono: la A, la B y la C. La A tiene un poste cada 4 metros, la B cada 3 metros y la C
cada 6 metros.
a) ¿Cada cuántos metros se juntan las líneas B y C?
b) ¿Cada cuántos metros se juntan las líneas B y A?
c) ¿Cada cuántos metros se juntan las líneas A y C?
d) ¿Cada cuántos metros se juntan las 3 líneas?
6.- NÚMEROS PRIMOS
1.- INTRODUCCIÓN
CIENCIA
Día 17/01/2014
Periódico: El País
El enigma de los números primos, más cerca de resolverse
Un joven matemático de tan solo 26 años es, hasta ahora, el que más se ha acercado a la resolución
de la «conjetura de los primos gemelos», un problema en el que los científicos ya trabajan en comunidad.
Los matemáticos intentan resolver la conjetura de los números primos gemelos
Es uno de los problemas matemáticos más antiguos del mundo. El griego Euclides (325-265 años
a.C.) fue el primero en mencionar la existencia de los números primos, solo divisibles por sí mismos y por
uno (2, 3, 5, 7, 11...). Se consideran infinitos, pero a medida que crecen, la distancia que los separa es cada
vez mayor y por lo tanto más complicado dar con ellos. Por si fuera poco, entre este grupo ya raro por sí
mismo, existe otro aún más peculiar si cabe, el de los primos gemelos: pares de números primos separados
por dos unidades (por ejemplo, 3 y 5, 11 y 13, 41 y 43...). También se supone que son infinitos, pero se trata
de una conjetura, nadie ha podido confirmarlo hasta la fecha. Quizás el momento esté cerca. Hasta ahora, el
que más se ha acercado a su resolución es James Maynard, un estudiante postdocoral de tan solo 26 años del
Centro para la Investigación Matemática de la Universidad de Montreal (Canadá), que ha realizado
interesantes progresos en este campo y cuyas conclusiones serán pronto publicadas en una revista científica.
En abril de 2013, Yitang Zhang, un matemático de la Universidad de New Hampshire, presentó una
«versión débil» de esta conjetura. Según sus resultados, existen infinitos pares de primos gemelos que se
encuentran como mucho a 70 millones de unidades de distancia con su pareja. Podía parecer, y lo era, un
número gigantesco, pero al menos era finito.
Una aproximación más simple
Poco después, el joven James Maynard fue aún más lejos y redujo la diferencia a 600, un paso
importante en el intento de aclarar la conjetura de los primos gemelos y que revive una cuestión sobre la que
no se había progresado en años. A través del trabajo en su tesis, encontró una manera de mejorar y
simplificar el método de Zhang, sustituyendo una herramienta que estima la probabilidad de que un número
sea primo. «Yitang Zhang y yo empezamos desde el mismo punto, pero tomamos caminos completamente
diferentes. El método que utilizo es mucho más simple», afirma Maynard en un comunicado de la
Universidad de Montreal.
Desde entonces, cientos de investigadores han estado trabajando para reducir la diferencia de 600 a
dos y así poder confirmar la validez de la famosa conjetura. Muchos de ellos presentan sus resultados de
investigación en una plataforma de colaboración online llamada Polymath. En una disciplina donde los
investigadores están acostumbrados a trabajar solos, Maynard reconoce que supone un cambio beneficioso.
«Hoy en día, la brecha sigue disminuyendo a través de este esfuerzo de colaboración», anuncia.
Fundamentales en criptografía
En un alarde de franqueza, Maynard reconoce que su método no es suficiente para resolver el
enigma. Eso sí, el matemático está convencido de la hipótesis «es verdadera, hay buenas razones para
pensar así». En cualquier caso, el enfoque matemático propuesto por Maynard pronto será publicado en una
revista científica, según la universidad en la que investiga, y las reacciones de sus compañeros matemáticos
han sido positivas. De hecho, su método será útil en la solución de otros problemas matemáticos.
Los números primos no solo son una rareza o un juego para matemáticos, tienen una gran utilidad en
la vida diaria. Se utilizan en el campo de la criptografía para garantizar la seguridad y la protección de
datos. Por ejemplo, la banca online se basa en los números primos, que están detrás de cada compra
protegida en internet. Además, conocer mejor los números primos permitirá resolver problemas complejos
en otras disciplinas, como la ingeniería y la química.
2.- TEORÍA / PRÁCTICA
NÚMEROSPRIMOS
• Un número natural distinto de 1es un número primo si sólo tiene dos divisores, él
mismo y launidad.
• Un número natural es un número compuesto si tiene otros divisores además de él
mismo y launidad.
Ejemplos:
3es un número primo porque sus únicos divisores son 1y3.
4es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2 y4.
1
Halla los divisores de los siguientes números y después completa la tabla.
• Divisores de 2 = 1,2
• Divisores de 9=
• Divisores de 6=
• Divisores de 10=
• Divisores de 7=
• Divisores de 13=
• Divisores de 8=
• Divisores de 17=
2
6
7
8
9
10
13
17
Númeroprimo
Númerocompuesto
2
Construye la tabla de los números primos menores que 100.
1°A partir del 2, tacha los múltiplos de 2.
2° A partir del 3, tacha los múltiplos de 3.
3° A partir del 5, tacha los múltiplos de 5.
4° A partir del 7, tacha los múltiplos de 7.
5°A partir del 11, tacha los múltiplos de11.
2 3 4 5 6 7
11 12 13 14 15 16 17
21 22 23 24 25 26 27
31 32 33 34 35 36 37
41 42 43 44 45 46 47
51 52 53 54 55 56 57
61 62 63 64 65 66 67
71 72 73 74 75 76 77
81 82 83 84 85 86 87
91 92 93 94 95 96
99100
●¿Qué observas al aplicar el 5° paso?
________________________________________________
●¿Cuántos números primos hay menores que100?
________________________________________________
8
18
28
38
48
58
68
78
88
97
9
19
29
39
49
59
69
79
89
98
10
20
30
40
50
60
70
80
90
CÓMO AVERIGUAR SI UN NÚMERO ESPRIMO
Para averiguar si un número es primo o compuesto, se divide por la serie de números
primos 2, 3, 5, 7, 11... hastallegar a una división cuyo cociente sea igual o menor que
el divisor. Si todas las divisiones tienen el resto distinto de cero, el número
propuesto es un número primo.
Ejemplo:
Vamos a ver si el número 101es un número primo.
• 101 no es divisible por2.
• 101 no es divisible por3.
• 101no es divisible por5.
101 7
; 101no es divisible por7.
Como 14 > 7, hay que seguirprobando.
31 14
Ahora probamos por7.
3
101 11
02 9
1
; 101no es divisible por11.
Como 9 < 11, el número 101es un número primo.
Averigua cuáles de los siguientes números son primos y cuáles son compuestos.
97
107
221
Es un número
Es un número
Es un número
311
481
601
Es un número
Es un número
Es un número
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO ENPRODUCTO
DEFACTORESPRIMOS
Para descompone un número, por ejemplo 36, en producto de factores primos se
siguen estospasos:
1°Se escribe el número a la izquierda de una raya
vertical y a su derecha el menor númeroprimo
(2, 35, 7,...) por el cual dicho número seadivisible.
36 = 22 x32
36
18
9
3
1
El cociente obtenido se coloca debajo del número
propuesto(36).
2°Se procede como en el paso anterior con el
2
2
3
3
cocienteobtenido (18), y así sucesivamente
hasta llegar a un cociente igual a1.
El número es igual al producto de los factores primosobtenidos.
1
Haz la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números.
24
2
24=
54
54=
70
70=
126
539
728
126=
539=
728=
2
3
Haz la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números.
1400
2560
3475
1400 =
2560 =
3475=
Observa la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números:
A = 22 x 3 x 52
B = 22 x 3 x 5
C = 23 x 32 x 52 x 7
a) Calcula el valor de cada uno de estosnúmeros
A=
B=
C=
b) Calcula el número por el cual hay que multiplicar el número A para obtener C.
• ¿Es el número C múltiplo de A?
c) Calcula el número por el cual hay que multiplicar el número B para obtener A.
• ¿Es el número B divisor de A?
d) Calcula el número por el cual hay que multiplicar el número B para obtener C.
• ¿Es el número B divisor de C?
CONJUNTO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
Para hallar los divisores naturales de un número, por ejemplo 60, se siguen
estospasos:
60 2
1°Se descompone el número en productode
1° 30 2
2
15 3
factores primos. 60 = 2 x 3 x5
5 5
1
60 = 22 x 3
2°Se hace una tabla poniendo en la primera
x5
fila el 1 y las potencias sucesivas del primer
2°
factor primo (21 = 2; 22 = 4); así se obtiene
A 1 2 4
la filaA.
3°Se multiplica cada número de la fila A por
el siguiente factor primo (3); asíse
obtienela filaB.
4°Se multiplica cada número de las filas A yB
por el último factor primo 5; así se obtienen
las filas C yD.
El conjunto de divisores naturales de 60esel
formadopor los números de las filas A, B, C yD.
3°
A
1
2
4
B
3
6 12
A
1
2
B
3
6 12
C
5 10 20
x5
D 15 30 60
x5
x3
4°
4
Divisores de 60: 1, 2, 4, 3, 6, 12, 5, 10, 20, 15, 30,60
1
Halla los divisores naturales de cada uno de los siguientes números.
36
45
52
Divisoresde 36:
Divisoresde 45:
Divisores de52:
2
3
Halla los divisores naturales de cada uno de los siguientes números.
100
216
415
Divisoresde 100:
Divisoresde 216:
Divisores de415:
Observa la descomposición en producto de factores primos de los siguientes
números.
A = 22 x 32 x 5
B = 2 x 33 x 5
C = 22 x 33 x 5
a) Calcula los divisores naturales de cada número.
A = 22 x 32 x5
B = 2 x 33 x5
C = 22 x 33 x5
b) Mira las tablas de divisores que has hecho y completa.
Mayor divisor de A:
Menor divisor de A: ______
Mayor divisor de B:
_
Menor divisor de B: ______
Mayor divisor de C:
_
Menor divisor de C: ______
7.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
1.- INTRODUCCIÓN
2.- TEORÍA
Los criterios de divisibilidad son pautas que nos permiten saber rápidamente si un número es divisible entre otro.
Loscriterios de divisibilidad son muy útiles. Nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número. Nos sirven
especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos o saber si un número es primo o compuesto.
Nos dan pistas cuando tenemos que simplificar fracciones, entre muchas otras cosas…
https://www.youtube.com/watch?v=tXi9Fi-JE04
Criterio del…
Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.
http://www.smartick.es/matematicas/criterios-de-divisibilidad/criterio-de-divisibilidad-del-2.html
Por Ejemplo:
a) 28 es divisible entre 2, pues su última es par.
b) 27 876 es divisible entre 2, pues su última cifra es par.
c) 678 897 no es divisible entre 2, pues su última cifra es impar.
d) 980 989 450 es divisible entre 2, pues su última cifra es cero.
Criterio del…
Lo más intuitivo es dividir ese número entre 3, y si el resto es igual a cero entonces el número sí es divisible
entre 3.
Por ejemplo, ¿45 es divisible por 3? Una forma de saberlo es dividir 45 entre 3:
Como el resto de la división es cero, podemos decir que 45 es divisible por 3.
Pero…
Hay una forma más sencilla. Sumamos las cifras del númeroy si el resultado de la suma es un
número múltiplo de 3, entonces el número sí es divisible por 3.
http://www.smartick.es/matematicas/criterios-de-divisibilidad/criterio-de-divisibilidad-del-3.html
Criterio del…
Para saber si un número es divisible por 5, ese número tiene que acabar en 0 o 5.
Si acaba en otra cifra entonces no es divisible por 5.
Por ejemplo:
¿5815 es divisible por 5?
Miramos el último número y es un 5, por lo tanto, 5815 sí es divisible por 5.
http://www.smartick.es/matematicas/criterios-de-divisibilidad/criterio-dedivisibilidad del-5.html
Otros Criterios Interesantes
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
Ejemplos: 36, 400, 1 028...
Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
Ejemplo: 81
3 663
8+1=9
3 + 6 + 6 + 3 = 18
18 es múltiplo de 9
Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.Ejemplo: 72, 324, 2 400…
3.- PRÁCTICA
1.-
2.- Clasifica estos números en múltiplos de 5 y múltiplos de 9, usando los criterios de divisibilidad.
1, 0, 36, 5, 48, 100, 9, 28, 81,10
3.- Calcula, usando los criterios de divisibilidad, si los siguientes números son divisores de 3.
321.-
1032.-
1257.-
1212.-
441.-
2511.-
4.- Si en la playa hay 268 niños que quieren participar en el concurso de castillos de arena por equipos…
¿Podrían formarse 2 equipos con la misma cantidad de niños cada uno y que ningún niño se quede sin equipo?
¿Podrían formarse 5 equipos…?
… ¿y 10 equipos?
5.- ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?
6 es divisor de 36.
8 es divisor de 164.
15 es divisor de 450.
6.- Observa el dibujo y contesta a las preguntas.
a. ¿El número de muñecos es múltiplo de 2?
b. El número 4, ¿es divisor del total de muñecos? ¿Y de 9?
c. ¿Cuántos muñecos hay que añadir para que el número 2 sea un divisor? ¿Y para que lo sea el 3?
7.- ¿Qué cifra puede ocupar la posición de las unidades del siguiente número, si sabemos que el 2 es su
divisor?
152?
8.- El artículo que ha comprado Jesús tiene un precio cuyos divisores son 3 y 5. ¿Cuál es?
9.- Rodealasafirmacionesqueseancorrectas.
10.-
11.- Completala tabla,encada caso, con cuatro númerosquecumplanlascondicionesindicadas
12.- Lee estaspistasy averiguaelnúmerodevacasque tieneElviraen la granja. Escríbeloenelrecuadro.
8.- POTENCIAS
1.- INTRODUCCIÓN
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/100507_potencia.elp/
2.- TEORIA
https://www.youtube.com/watch?v=JhXkQulf9MM
3.- ACTIVIDADES
BLOQUE 2
1.- CONCEPTO Y PARTES DE UNA FRACCIÓN
1. INTRODUCCIÓN
Fracciones e impuestos
Las fracciones han aparecido desde siempre en el lenguaje cotidiano. Aparte de las más comunes, como la
mitad, un cuarto…, existen otras que formaban parte de la vida diaria de otras épocas. Hace muchos años, en
España y en otros países se utilizaba una fracción para indicar los impuestos que había que pagar al rey: el
diezmo. El diezmo era un impuesto que consistía en pagar la décima parte de la cosecha o de las ganancias y
mercancías. Así, un campesino tenía que entregar una parte de cada diezde su cosecha, y un mercader que
entrase a una ciudad abonaba la décima parte de sus mercancías. Como ves, las fracciones han sido y son
algo de lo más normal.
Lee y contesta.
 Explica qué es el diezmo.
 ¿Cuál es el diezmo de una cosecha de 50 melones?
 Si un campesino recogiera 90 melones y debiera entregar un diezmo,
 ¿cuántos melones entregaría? ¿Y si la cosecha fuera de 200 melones?
 ¿Pagaría en ambos casos la misma cantidad? ¿Por qué?
2. TEORÍA
Una fracción representa alguna o algunas de las partes iguales en que se ha dividido la unidad.
Los términos de una fracción son: numerador y denominador.

Denominador: indica el número de partes iguales en las que se divide la unidad.

Numerador: indica el número de partes que se toman de la unidad.
Para representar una fracción elegimos una unidad, la dividimos en tantas partes iguales como indica el
denominador y marcamos las partes que nos señala el numerador.
El número 3/10 es un ejemplo de fracción. Se lee “tres décimos”. Observamos que para su lectura, se
nombra primero el número que ocupa el numerador (número cardinal), y a continuación se expresa el
denominador (número ordinal).
Si el numerador de una fracción es igual al denominador, esa fracción representa la unidad.
Debemos de tener en cuenta que el denominador de una fracción nunca puede ser 0, ya que al representar la
división de la unidad si fuese así no estaríamos dividiendo por nada.
2.- COMPARACIÓN DE FRACCIONES
1.- INTRODUCCIÓN
2.- TEORÍA
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
 Fracciones con igual numerador
Es mayor la que tiene menor denominador y menor la que tiene el denominador mayor.
y
 Fracciones con igual denominador
Es mayor la que tiene menor denominador y menor la que tiene el denominador mayor.
y

Fracciones con diferente numerador y denominador
Para ello buscamos por qué números tenemos que multiplicar el numerador y el denominador de
cada fracción para que los denominadores sean iguales. Usaremos el Mínimo Común Múltiplo
(M.C.M) como denominador común de ambas fracciones.
Ejemplo:
7
3
y
1M.C.M (7, 2) = 14
2
3 x 2 ->61 x 7 -> 7
7x 2
14
2x7
14
Ahora tenemos ambas fracciones con el mismo denominador y las podemos comparar.
Otra forma de convertir los denominadores de las fracciones en iguales es usando los productos cruzados, es
decir, los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra fracción.
3.- PRÁCTICA
3.- FRACCIONES EQUIVALENTES
1.- INTRODUCCIÓN
¿Es magia? No, Matemáticas
Granada acoge a más de 200 estudiantes de 4º y 5º de Primaria en el XI certamen Matemático También
se imparten charlas
Reunir a 200 niños y niñas de 4º y 5º de Primaria en un concurso de cocina, de baile o de fútbol es
relativamente sencillo. Lograr que dediquen la mañana de sábado a hacer fracciones y resolver problemas
puede parecerse más a un truco de magia. Quizá por eso el certamen organizado por los colegios granadinos
del grupo Attendis, que va ya por su undécima edición, se llame Matemágico. Un año más Monaita y
Mulhacén lo han logrado, y con un éxito contrastado que va in crescendo.
Cada año el certamen gana más adeptos.
En esta ocasión han sido 21 los centros públicos, privados y concertados procedentes de toda Andalucía y
Extremadura que se han inscrito en esta competición. Los decimales, la geometría, las potencias y las
fracciones son las tareas a desenmarañar en sus inquietas cabezas y en decenas de operaciones que se
reparten por los folios en sucio que han escrito los asistentes en esta nueva convocatoria.
Isabel y Clara estudian en el colegio Adharaz de Sevilla. Han pasado la noche en el mismo hotel y los
últimos días repasando juntas la asignatura. Sofía viene de Las Chapas, en Marbella. Trinidad, su madre,
asegura estar más nerviosa que la niña: "las mates son lo suyo, ha salido a su padre", comenta entre risas.
Alejandro viene de Málaga, de El Romeral. Superada la primera parte de las pruebas asegura que le ha
parecido más fácil de lo que creía "aunque ha habido una de buscar triángulos que yo no he encontrado por
ninguna parte". Los alumnos del colegio Sagrada Familia, de Granada, es el primer año que participan y
saltan de alegría junto a sus profesores al saber que han pasado la primera ronda y que van de los primeros.
El certamen Matemágico se divide en dos partes. La primera es una batería de 20 preguntas. Nivel
Arquímedes para los más pequeños. Pitágoras para los mayores. Esta parte es clasificatoria y cuando dan los
resultados se ve ya alguna mamá dando consuelo a los que no han pasado la prueba. Perder también forma
parte del aprendizaje. Cinco grupos de cada nivel pasan a la segunda ronda. Ahora toca inventarse un
problema. Cuanto más complejo mejor. Cuanto más ingenioso mejor. Cuanto más divertido mejor.
Es la hora del Problemix. Griegos y Troyanos que se matan en el campo de batalla se mezclan con los
metros cuadrados que mide La Malagueta. Las camisetas que hay de rebajas y cuyo precio hay que calcular
compiten con el IVA que hay que descontar de las entradas a un espectáculo.
Todo vale menos volverse locos. Porque el problema hay que inventarlo, sí. Pero también resolverlo y
defenderlo ante el medio millar de familiares que han acudido a apoyar a los concursantes y un exigente
jurado
que
viene
nada
menos
que
de
la
UGR
(Universidad
de
Granada).
Pascual Jara (Catedrático de Álgebra), Francisco José Olmo (Catedrático de Física Aplicada) y Arturo
Quirantes (Profesor de Física) tiene la difícil tarea de elegir los mejores 'problemix' de cada categoría, pero
los tres se muestran encantados de ver a tanto joven apasionado de las matemáticas. "La sociedad está
cambiando y con ella también la forma de relacionarse con la ciencia y con las matemáticas", afirma Jara.
"Es sensacional ver que son capaces de disfrutar a esta edad de las matemáticas y vivirlo como parte de su
diversión" apostilla el Profesor de Física Arturo Quirantes. Todo gira en torno a las matemáticas en un
ambiente familiar y festivo que va ganando adeptos. Los acompañantes participan en conferencias (Relación
entre Matemáticas y zombis) y talleres de ábaco o lógica matemática. Y los participantes disfrutan de una
asignatura que para muchos es un hueso duro de roer. En una obviedad decir… que todo suma.
En la categoría Pitágoras (5º EPO) el primer puesto fue para el colegio Grazalema de El Puerto de Santa
María y el segundo para Sagrada Familia de Granada. En la categoría Arquímedes (4º EPO) el primer puesto
fue para Altocastillo de Jaén y el segundo para Guadalete, también de El Puerto de Santa María.
En cuanto a Problemix los vencedores fueron Puerto Blanco del Campo de Gibraltar (4º EPO) y El Romeral
de Málaga (5º EPO). Los colegios Monaita y Mulhacén participan como anfitriones, pero lo hacen fuera de
concurso.
2.- TEORÍA
Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.
Estas fracciones son en realidad lo mismo:
1
2
=
2
4
=
4
8
● ¿Por qué son lo mismo?
Porque cuando multiplicas o divides a la vez el numerador y el denominador por el mismo número, la
fracción mantiene su valor.
La regla a recordar es la siguiente:
¡LO QUE HACES EN EL NUMERADOR (la parte de arriba de la fracción)
TAMBIÉN LO TIENES QUE HACER EN EL DENOMINADOR (la parte de abajo de la fracción)!
Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:
×2
1
2
=
×2
2
4
×2
=
4
8
×2
Y en un dibujo se ve así:
1/
2
2/
4
4/
8
=
=
Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:
÷3
÷6
18
36
=
÷3
6
12
=
1
2
÷6
Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción, es decir, la hemos
hecho lo más simple posible.
¡¡¡MUY IMPORTANTE!!!
Por otro lado, se tiene que considerar los siguientes aspectos:
a. Los números que representen al numerador y denominador, es decir, los números que se encuentran
en la parte superior e inferior de la fracción siempre deben ser números enteros.
b. Las operaciones que podemos hacer son: MULTIPLICAR y DIVIDIR (siempre las dos partes a la
vez).
× Si sumamos o restamos un número arriba y abajo, NO tendremos una fracción equivalente.
c. El número que elijas para dividir las dos partes no debe dejar ningún resto en las divisiones.
3.- PRÁCTICA
1.- Calcula fracciones equivalentes a
fracciones.
2.- Calcula las fracciones equivalentes a
3.- Calcula tres fracciones equivalentes a
4.- ¿Podría tomar como numerador para
ejercicio anterior?
pero que tengan el mismo número como denominador las nuevas
, teniendo el mismo denominador; en este caso, 24.
, de modo que tengan iguales los numeradores.
el número 25 en lugar de 12 como lo hemos hecho en el
II.- Teoría.
Para calcular la fracción de un número, se multiplica el número por el numerador de la
fracción y el producto obtenido se divide entre el denominador.
4.- FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD
1.- INTRODUCCIÓN
https://youtu.be/WX_vaFFHJrk
2.- TEORÍA
Para calcular la fracción de un número, se multiplica el número por el numerador de la
-+fracción y el producto obtenido se divide entre el denominador.
Ejemplo:
Para calcular 2/5 de 45 realizaremos los siguientes pasos:
1º.- Multiplicamos el número 45 por el numerador, 2.
45 x 2 = 90
2º.- Dividimos el producto obtenido entre el denominador, 5.
90: 5 = 18
3.-PRÁCTICA
1.- Calcula
2.- Completa
* 3/4 de 92 =
*2/9 de 135 =
*4/7 de 259 =
*5/12 de 576 =
3.- Marca la opción correcta en cada caso:
4.- Lee y resuelve.
5.- SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES(con igual y diferente denominador)
1.- INTRODUCCIÓN
2.- TEORÍA
Para la suma y resta de fracciones con distinto denominador tenemos que calcular la fracción o fracciones
equivalentes que tengan el mismo denominador:
½ + ¾ =multiplicamos a la primera por 2 y nos queda: 2/4 + 3/4 =6/4
2/3 + 1/5 = en este caso tenemos que cambiar a las dos fracciones y para ello usamos los denominadores que
ya tenemos, a la primera la multiplico por 5. Y a la segunda por 3. Observa:
2/3 x 5 =10/15
1/5 x 3 = 3/15 Ahora ya tenemos el mismo denominador y podemos sumar sin problemas: 13/15(solución)
Actividad grupal para afianzar teoría:
3.- PRÁCTICA
1
2. Calcula el término que falta:
3.
4.
5.
6. ¿Cuáles de las siguientes operaciones están mal resueltas?, corrígelas:
7.
8. Resuelve y si es posible, simplifica el resultado:
9.
10.
6.- MULTIPLICACIONES DE FRACCIONES
1.- INTRODUCCIÓN
2.- TEORÍA
3.- PRÁCTICA
7.- DIVISIONES DE FRACCIONES: NÚMEROS MIXTOS
1.- INTRODUCCION
2.- TEORÍA
●Un número mixto está formado por un número natural y una fracción.
● Todas las fracciones mayores que la unidad que no son equivalentes a un
número natural se pueden expresar en forma de número mixto.
Una fracción equivale a un número determinado de unidades:
Por ejemplo:
Para ver a cuantas unidades equivale esta fracción dividimos: 2 : 8 = 0,25
Equivale a 0,25 unidades
Una fracción puede equivaler a más o a menos de una unidad.
La fracción del ejemplo anterior equivale a menos de 1 unidad. En cambio la siguiente fracción equivale a
más de 1 unidad:
Esta fracción equivale a: 9 : 4 = 2,25 unidades
¿Cómo podemos saber si una fracción equivale a más o menos de 1 unidad?
Si el numerador es menor que el denominador equivale a menos de 1 unidad.
Si el numerador es igual que el denominador equivale justo a 1 unidad.
Si el numerador es mayor que el denominador equivale a más de 1 unidad.
Veamos un ejemplo:
La primera fracción equivale a: 3 : 5 = 0,60 unidades
La segunda fracción equivale a: 5 : 5 = 1,00 unidades
La tercera fracción equivale a: 7 : 5 = 1,40 unidades
https://youtu.be/ehv2QMQGSXU
https://youtu.be/J0wHR6xrTwk
Número mixto
Una fracción que equivalga a más de una unidad se puede representar como un número mixto.
Número mixto es aquel que tiene una parte entera y una parte en forma de fracción. Se puede representar de
dos formas:
¿Cómo se calcula el número mixto equivalente a una fracción?
Se calculan las unidades equivalentes.
La parte entera de las unidades equivalentes será la parte entera del número mixto.
La parte decimal de las unidades equivalentes será la fracción.
Veamos un ejemplo:
Calculamos las unidades equivalentes: 7 : 2 = 3,50
Tenemos una parte entera (3) y una parte decimal (,50).
La parte entera será la parte entera del número mixto.
La parte decimal será la fracción. Pero ¿qué fracción?:
El denominador será el mismo que el de la fracción original, en este caso el (2).
El numerador se calcula multiplicando el denominador (2) por la parte decimal que hemos obtenido (,50):
2 x 0,50 = 1
Ya tenemos el número mixto:
Y al contrario ¿cómo se calcula la fracción equivalente a un número mixto?
El denominador será el de la fracción del número mixto.
El numerador se calcula multiplicando la parte entera del número mixto por el denominador de la fracción y
sumándole el numerador de la fracción.
Veamos un ejemplo:
Para calcular la fracción equivalente:
El denominador será el mismo que el de la fracción del número mixto (3)
El numerador se calcula: 4 x 3 + 2 = 14
Luego la fracción equivalente es:
https://youtu.be/06ZJVhT3bos
https://youtu.be/h2eTeknzNpc
https://youtu.be/FjpED--B08w
3.- PRÁCTICA
1.- Representa gráficamente los siguientes números mixtos y las siguientes fracciones.
2.- Escribe el número mixto que representa la siguiente imagen.
3.-Calcula los números mixtos equivalentes a las siguientes fracciones.
4.- Calcula las fracciones equivalentes a los siguientes números mixtos
5.- Juan tiene que completar la balanza con 2 3⁄4 kg de arroz. ¿Cuántas cajas de 1⁄4 kg debería agregar Juan
para llegar a los 2 3⁄4 kg? ¿Cuántas cajas debería agregar si las mismas fueran de 1/8 kg
6.- Unir con flechas las siguientes fracciones impropias con su correspondiente número mixto.
7.- Encierra en un círculo los números que corresponden a fracciones impropias.
8.- Escribe en el recuadro de la derecha, la fracción que está representada en cada una de las siguientes
cuadrículas:
9.- Escribe las siguientes fracciones como números mixtos:
10.- Escribe los siguientes números mixtos como fracciones impropias:
11.- Calcula el cociente y resto de las siguientes divisiones para expresar como número mixto las siguientes
fracciones:
a) 12 :7
b) 9 : 2
c) 5: 3
d) 10:9
12.- Escribe la fracción que representa la parte coloreada. Después, expresa esa fracción en forma de número
mixto.
13.- Colorea la fracción que se indica y escríbela en forma de número mixto.
14.- Completa.
8.- PORCENTAJES
1.- INTRODUCCIÓN
LECTURA
¿POR QUÉ HAY TAN POCA GENTE QUE LEE EN E SPAÑA?
La respuesta es fácil: un 42% asegura que no le gusta o no le interesa. El segundo motivo ha sido la falta
de tiempo. Entre los que leen mucho, el perfil típico lee en casa (91%), para disfrutar y alejar su mente de
los problemas diarios (61,6%), y se vuelca principalmente a la lectura de novelas históricas. A la hora de
elegir una novela, el 64,3% se guía por la temática, por encima de quién escribió el libro, su título o la crítica
que ha recibido.
Pese a esta visión algo negativa que refleja el estudio, resulta sorpresivo que el formato papel continúa
siendo más popular, con un 79,7% de adherencia, es decir que 4 de cada 5 lectores prefieren el papel,
mientras que sólo el 11,1% opta por el ebook. De hecho, el 15% desconocía la existencia del ebook hasta
que se le consultó sobre ello, mientras que entre quienes lo conocían, 2 terceras partes nunca leyeron uno.
Pese a no utilizar los ebooks con demasiada frecuencia, el 42% de los encuestados considera que el futuro
de la lectura será de una convivencia entre el papel y lo digital. En cuanto a los periódicos, un 30%
afirma jamás leerlos, mientras que entre quienes lo leen, el papel continúa siendo el preferido (63,9%) frente
al formato digital (28,2%).
2. TEORÍA
Un tanto por ciento o porcentaje es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa añadiendo a la
cantidad el símbolo %.
Por ejemplo: La batería de mi móvil se está cargando y ya va por el 60%. Si dividimos esa batería en 100
partes IGUALES, 60 ya tienen carga, por lo que aún le faltan 40 por llenar (40%).
Un porcentaje es equivalente a una fracción de denominador 100, así como al número decimal
correspondiente. Ejemplo:
Porcentaje
Fracción
60%
60/100
Número decimal
0,60
Para calcular el tanto por ciento o porcentaje de una cantidad, escribimos el porcentaje en forma de fracción.
Posteriormente, se divide la cantidad entre 100 y el resultado se multiplica por el numerador.
Ejemplo: En un curso hay 25 estudiantes, de los cuales el 60% son alumnas. ¿Cuántas alumnas hay en ese
curso?
60% de 25 = 60/100 de 25 = 25/100 x 60 = 15
Hay 15 alumnas.
3.PRÁCTICA
Completa:
• Si al comprar una bicicleta me rebajan el 15 %, tengo que pagar el…...
• Un nadador ha recorrido el 60 % de una prueba, le falta el……
• Se ha usado el 7 % de los folios que teníamos en la clase, queda el.......
Expresa estos porcentajes en forma de fracción:
• 40 % =
• 65 % =
• 18 % =
Escribe con el símbolo de porcentajes las siguientes fracciones:
48 / 100 =
82 / 100 =
3 / 100 =
56 / 100 =
9 / 100 =
75 / 100 =
Escribe en forma de porcentajes:
0,25 =
0,75 =
1/2 =
1/4=
3/4=
0,80 =
1.- El vendedor de una rifa benéfica ha comprado unas papeletas por valor de 634 euros. Quiere obtener
unas ganancias del 6%, ¿cuánto dinero obtendrá por la venta realizada?
2.- Al comprar una bicicleta que vale 350 euros me hacen un descuento del 12%. ¿Cuánto dinero tengo que
pagar?
3.- En un colegio de 1.600 alumnos, el 40% son chicas y el resto chicos. ¿Qué porcentaje de chicos hay?
¿Cuántas chicas hay? ¿Y chicos?
4.- En una clase de 24 alumn@s, 6 de ellos han obtenido la calificación de sobresaliente. ¿Qué % de
alumn@s sacó sobresaliente?
5.- Una camión de fruta que pesaba 4.800 kg. Perdió en el transporte 144 kg porque se estropeó. ¿Cuál es el
% de pérdida?
6.- En una exposición de pintura hay 450 cuadros. El 28% son de paisajes, el 16% de plantas y el resto de
ciudades. ¿Cuántos cuadros hay de ciudades?
BLOQUE 3
1.- CONCEPTO DE LOS NÚMEROS DECIMALES: REPRESENTACIÓN EN LA
RECTA NUMÉRICA
1.- INTRODUCCIÓN
2.- TEORÍA
CONCEPTO:
Todo número decimal está situado entre dos números naturales.
Décimas: si dividimos una unidad en diez partes iguales, cada una de esas partes se llama “decimal”
-
= 0,1.
-
Centésimas: si dividimos una unidad en cien partes iguales, cada una de esas partes se denomina
“centésima” = 0,01.
-
Milésimas: si dividimos una unidad en mil partes iguales, cada una de esas partes recibe el
nombre de “milésima ” = 0,001.
Los números decimales tienen dos partes separadas por una coma. La parte entera está situada a la izquierda
de la coma y la forman las cifras de las unidades, decenas, centenas…
La parte decimal está situada a la derecha de la coma y la forman las cifras de las décimas, centésimas,
milésimas…
Los ceros detrás de la coma, al final de un número decimal, pueden suprimirse sin que éste varíe. De igual
modo, pueden añadirse ceros sin alterar su valor.
Los números decimales se pueden leer de dos maneras distintas:
1-
Leyendo por separado la parte entera y la parte decimal.
2-
Leyendo la parte entera y el decimal separado por la palabra “coma”.
COMPARACIÓN:
Para comparar dos números decimales, los representamos en una recta numérica.
123-
Situamos en la recta la cifra de las unidades y la unidad siguiente y dividimos ese tramo en diez
partes iguales, que son las décimas.
Dividimos cada decimal en diez partes iguales, que son las centésimas.
Señalamos los números decimales que queremos comparar. El mayor es el que está situado a la
derecha.
3.- PRÁCTICA
2.- COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
1.- INTRODUCCIÓN
LOS NÚMEROS DECIMALES
ALMUDENA GRANDES
10 FEB 2013 - 00:07 CET
Tardó algún tiempo en comprender lo que estaba pasando.
El encargado no le conocía de nada, pero una vieja amiga había conseguido conmoverle con su caso, una
historia vulgar, intercambiable por las de otros miles de jóvenes de su edad, y que precisamente por eso le
había afectado tanto. Llevaba mucho tiempo dejándose abrumar por los titulares de los periódicos como para
no hacer nada. Se había indignado tantas veces que, cuando se le presentó una posibilidad de actuar, no lo
dudó. Así había recomendado a aquel chico de 24 años que había dejado de estudiar antes de terminar la
Secundaria para trabajar en la construcción y ganar durante algún tiempo mucho más dinero que su padre,
luego sólo un poco más, después lo mismo, al final nada. Yo lo conozco desde que era pequeño, le había
contado su amiga, y es muy bueno, serio, responsable, te lo digo de verdad, pero hace más de dos años que
no trabaja y está desesperado…
Era el saldo de los pelotazos que habían arrancado a tantos estudiantes de sus pupitres”
Le hizo una entrevista y le gustó. A su jefa también le gustó, y decidió ponerle a prueba en un antiguo
almacén de mercería del centro de Madrid, el universo en miniatura de cintas y botones, galones y
cremalleras, hilos, y adornos, y encajes, que presume con razón, desde hace un siglo, de tener una
representación significativa de todas las mercancías del ramo. Por esa razón, al enseñarle el depósito, el
encargado le advirtió que el trabajo en la trastienda era exigente, complicado. Después le dio una bolsa con
20 gramos de plumas, le pidió que preparara 20 bolsas de un gramo y esperó. Aunque el aprendiz podía
utilizar una balanza de precisión, él sabía que aquel encargo era mucho más difícil de lo que parecía. La
mayoría de los aspirantes que le habían precedido habían logrado entregar 18, a veces 17, unos pocos 19
bolsas. Pero él llenó 20, ni una más, ni una menos, y siguió trabajando con la misma concienzuda disciplina,
un afán de perfección que, después de las plumas, resistió la prueba de las lentejuelas, tan livianas, y la
clasificación por tamaños o colores de toda clase de menudencias.
Entonces, el encargado respiró, convencido de que su protegido había hecho ya lo más difícil. Y el primer
día que hizo falta una persona más en el mostrador fue a buscarle, le dio una calculadora, una libreta, le
explicó que tenía que apuntar los precios en un papel, dárselo al cliente para que pagara en la caja, y se
olvidó de él. Cuando la cajera le llamó un momento, después de cerrar, no entendió por qué no cuadraban
los números. Ella tampoco acertaba a explicárselo. Los dos sabían que el problema tenía que estar en aquel
chico, porque los demás empleados llevaban mucho tiempo trabajando sin contratiempos, pero ninguno de
los dos lo dijo en voz alta. Tampoco habrían podido imaginar su causa, la confesión que el encargado le
arrancó, con mucho esfuerzo, a un chico consumido por la vergüenza.
–Pues va a haber que echarle –sentenció la jefa.
–No, por favor –insistió él–. Dele otra oportunidad.
–Lo que le doy es una semana.
Porque aquel chico honrado, concienzudo, trabajador, no sabía sumar ni multiplicar con decimales. Eso,
pensó el encargado, era el saldo de la bonanza económica española, de los años de las vacas gordas, los
pelotazos que habían arrancado a tantos estudiantes de sus pupitres para ponerles entre las manos la
manivela de una hormigonera. A él siempre se le habían dado mal las matemáticas y había dejado el
instituto de mala manera, demasiado pronto, con demasiadas asignaturas pendientes. A mano era incapaz de
calcular el precio de los pedidos y con la calculadora se ponía tan nervioso que se equivocaba la mitad de las
veces. Lo siento, dijo al final. No, no lo sientas. Lo que tienes que hacer no es sentirlo, sino es ponerte a
estudiar.
Tenía una semana, y no le dejaron desperdiciarla. Sus padres, la madre de su amiga, sus amigos, la cajera, el
encargado, estuvieron siete días encima de él. No le dejaron aprovechar el tiempo libre para comer, ni salir a
su hora, ni ver a sus amigos. Durante horas y horas, estuvo haciendo cuentas, resolviendo los problemas de
los que dependía el supremo problema de su futuro. Vamos a ver, 7 corchetes a 0,30 la unidad, 4 metros de
cinta de organza a 0,48 el metro y 12 botones a 0,80…
Ahora, cuando le ven despachar, acertar con las comas sin pararse a pensarlo, todos piensan que ha merecido
la pena. Él, además, maldice el día en el que se le ocurrió dejar de estudiar.
2.- TEORÍA
En el siguiente ejemplo queremos saber cuál número es mayor entre 0,2 y 0,85. Observa en la gráfica que lo
primero que se hace es igualar el número de cifras decimales agregando ceros a la derecha, para luego poder
compararlas.
Veamos otros ejemplos:
¿El número 35,78 es mayor o menor que 37,4?
35,78 < 37,4 porque su parte entera "35" es menor que "37"
¿El número 4,87 es mayor o menor que 4,85?
Como la parte entera es igual en ambos números hemos de fijarnos en la primera cifra decimal distinta.
4,87 > 4,85 porque 7 > 5
¿El número 5,63 es mayor o menor que 5,6?
5,6 = 5,60 por tanto 5,63 > 5,60, pues 3>0
¿El número 8,7 es mayor o menor que 8,68?
8,70 > 8,68
Por tanto, ten en cuenta:
Dados dos números decimales, es mayor el que tenga mayor parte entera.



Si tienen la misma parte entera, se compara la primera cifra decimal distinta.
Para evitar confusiones puedes ponerlos con el mismo número de cifras decimales añadiendo ceros.
Para ordenar los números decimales primero los ordenamos atendiendo a las unidades, después nos
fijamos en las décimas, después en las centésimas y así sucesivamente.
3.- PRÁCTICA
1. Escribe mayor, menor o igual (>, < o =) entre cada pareja de números decimales.
2.
3.
4.
5.
3. - REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES
1.- INTRODUCCIÓN
2.- TEORÍA
3.- PRÁCTICA
IV.
SOLUCIONARIO
4.- SUMAS Y RESTAS DE NÚMEROS DECIMALES
1.- INTRODUCCIÓN
2.- TEORÍA
La suma y resta con números decimales es exactamente igual que con números enteros. Lo único que hay
que vigilar es que cada tipo de cifra vaya en su columna: Las centenas en la columna de centenas, las
decenas en la de decenas, las unidades en la de unidades, las décimas en la de décimas, las centésimas en la
de centésimas... También las comas van todas en la misma columna.
Vamos a ver un ejemplo:
234,43 + 56,7 + 23,145
3.- PRÁCTICA
1.- Coloca y calcula las siguientes operaciones
6, 45 + 35, 7 =
87,53 - 37,04 =
C D U , d c
6 , 4 5
+ 3 5 , 7
C D U , d c
,
,
2.- Fíjate como están colocados los números y calcula
3.- Coloca los números y calcula
4.- Calcula al igual que haces con los números naturales
5.- Resuelve
a) Patricia quiere recorrer en bicicleta un circuito de 14,8 km. Ha recorrido ya 5,72 km. ¿Cuántos km le
faltan por recorrer?
b) Lola gastó 25,76€ el martes, y el miércoles gastó 9€ menos que el martes. ¿Cuánto gastó en total?
5.- MULTIPLICACIÓNES DE NÚMEROS DECIMALES
1.- INTRODUCCIÓN
2.- TEORÍA

Para multiplicar un número decimal por otro número natural, multiplicamos como si los dos
fueron naturales. En el resultado, separamos con una coma desde la derecha tantas cifras decimales
como tenga el factor decimal.
57,1 =>solo hay un decimal
x 4
228,4 =>solo hay un decimal

Si ambos factores son números decimales, en el resultado separamos con una coma desde la
derecha tantas cifras decimales como tenga el factor decimal.
23, 06 =>hay dos decimales
x 3,5 =>hay un decimal
115, 3
+ 69,18
80,710 =>en total hay tres decimales
3.- PRÁCTICA
6.- DIVISIONES DE NÚMEROS DECIMALES(cuando hay coma en el dividendo)
1.- INTRODUCCIÓN
Lectura
El 14 de marzo se celebra el Día de Pi.
El 20 de noviembre de 2005, mientras una tormenta tropical dejaba 11 fallecidos en Honduras, o mientras el
tenista suizo Roger Federer perdía su primer partido tras ganar 24 finales consecutivas, el chino Chao Lu
recitaba números sin parar. Durante 24 horas y cuatro minutos, grabado por 26 cámaras y con decenas de
testigos de la Universidad de Agricultura y Ciencias Forestales del Noroeste, en la provincia china de
Shaanxi, Chao Lu dijo de memoria 67.890 decimales del número pi. Su hazaña fue certificada por el Libro
Guinness de los records. No falló ni uno.
“Cuando alguien escribe que pi es igual a 3,14 me lloran los ojos”, confiesa el matemático Javier Cilleruelo,
asombrado por los enigmas milenarios que oculta el número. Pi no es 3,14, como aprendimos en el colegio.
Ni siquiera es 3,141592653, la cifra que hace que el año pasado se celebrara el Día de Pi por representar,
según la notación anglosajona, del mes 3, el día 14, del año 15, a las 9 horas, 26 minutos y 53 segundos. Y
pi tampoco es el larguísimo número que memorizó Chau Lao; Pi es la razón entre el perímetro de una
circunferencia y su diámetro, es decir, la división entre la circunferencia (longitud exterior del círculo) y
el diámetro (longitud que divide el círculo en dos mitades iguales), la cual siempre da el mismo resultado: el
número π.
En el colegio, los alumnos calculan cuánto tiene que medir una valla para rodear un jardín circular. Lo
logran gracias a la famosa fórmula 2 x π x r, en la que la “r” es el radio, la distancia desde la valla al centro
del jardín. Bastan 39 cifras decimales para calcular la longitud de una circunferencia capaz de abarcar todo
el universo conocido.
En 2011, dos ingenieros calcularon los 10 primeros billones de decimales de pi. Su ordenador tardó casi un
año en completar las operaciones y a punto estuvieron de fracasar, cuando el 11 de marzo de aquel año un
terremoto y un tsunami golpearon la costa este de Japón, matando a unas 18.000 personas. La red eléctrica
de medio país quedó destrozada, pero el PC que conquistaba un nuevo mundo matemático estaba conectado
a otra red que no sufrió daños.
El nacimiento de pi se remonta a tiempos inmemorables. En el Antiguo Testamento aparece una
aproximación de 3. Y el matemático griego Arquímedes, célebre por haber supuestamente corrido por la
calle gritando “¡Eureka!” tras resolver un problema, calculó el valor de pi como 3,14 hace unos 2.265 años.
Desde entonces, el número no ha dejado de fascinar a los matemáticos. Y todavía genera problemas sin
resolver.
“Los matemáticos nos dedicamos a jugar con cosas como pi. Y, a veces, la tecnología avanza gracias a estos
juegos”, sostiene Raúl Ibáñez, director del portal de divulgación científica DivulgaMAT, de la Real
Sociedad Matemática Española.
2.- TEORÍA
● División de un número decimal
Cuando el dividendo tiene decimales operaremos de la siguiente manera:
a) Primero realizaremos la división como si el dividendo fuera un número entero, sin tener en cuenta que
algunas cifras son decimales.
b) Una vez resuelta la división, contaremos las cifras decimales que tiene el dividendo y serán las que lleve
el cociente.
Veamos un ejemplo:
El dividendo tiene 2 cifras decimales.
En principio dividimos sin tener en cuenta esto (como si el dividendo fuera un número entero):
Luego las cifras decimales que tiene el dividendo (2) serán las cifras decimales que tendrá el cociente:
Cociente con decimales
Si en una división el dividendo es menor que el divisor el cociente tendrá decimales.
Vamos a ver con un ejemplo cómo se hace esta división.
El dividendo (4) es menor que el divisor (8).
Para poder realizar la división pondremos un 0 en el dividendo y otro 0 en el cociente seguido de coma.
Ahora seguimos como en una división normal:
3.- PRÁCTICA
Calcula las siguientes divisiones:
4,326 : 3 =
4 : 25 =
32,156 : 4 =
14: 56 =
267,05 : 5 =
16 : 50 =
39,120 : 6 =
(4,32 + 18,2 + 36,49) : 3 =
124,2 : 23 =
(731,25 - 49,138) : 4 =
Realiza los cálculos que necesites para poder relacionar las tres columnas:
División
Cociente
Resto
10,96 : 7
0,342
5
3,087 : 2
1,56
7
2,743 : 8
25,5
1
408,5 : 16
1,543
4
María y Vanesa son vecinas, y todas las semanas van juntas a la compra. La semana pasada María gastó
45,75 euros, exactamente 3 veces más de lo que gastó Vanesa, que tenía poco que comprar. ¿Cuánto dinero
se gastó Vanesa?
Dos amigas consumieron en una cafetería 40,60 €. Si se dividieron en partes iguales la cuenta, ¿cuánto tiene
que pagar cada una?
Nieves quiere repartir los 29,6 kg de tomates que ha recogido de su huerto en 8 paquetes iguales para sus 8
sobrinos. ¿Cuánto pesará cada paquete?
En un depósito entran 310,5 litros de agua cada día que se reparten, a partes iguales, entre 5 huertos.
¿Cuántos litros de agua le corresponden a cada huerto en una semana?
7.-DIVISIONES DE NÚMEROS DECIMALES(cuando hay coma en el divisor)
1. INTRODUCCIÓN:
Recuerdas una propiedad que estudiamos con las divisiones.
(Lluvia de ideas de los alumnos sobre qué recuerdan sobre esta propiedad).
Podemos poner un ejemplo en la pizarra para ver si sacan que decía la propiedad en cuestión:
Ejemplo: 12 : 3 = 4
24 : 6 = 4
Podemos hacer que
copien la propiedad o
sólo hablar de ella para
recordarla, pues es la
base de lo que vamos a
hacer a continuación.
Video explicativo de la Propiedad
fundamental de la División AQUÍ
2. TEORÍA
Para poder hacer una división con coma en el divisor tenemos que obtener otra división equivalente usando
la Propiedad Fundamental de la División que no tenga coma en el divisor:
Ejemplos: 12 : 2,5 = no podemos hacerlo, necesitamos multiplicar ambos términos de la división por 10,
100, 1000 etc. En este caso concreto con multiplicar por 10 nos sirve:
120 : 25 (como se observa multiplicamos a los dos, y la coma del divisor ha desaparecido…)
Video explicativo
Otros ejemplos:
3. PRÁCTICA
8.- MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE LA UNIDAD SEGUIDA DE 0
1.- INTRODUCCION
2- TEORÍA
Observa cómo se multiplica un número decimal por 10, 100,1000… Es decir por la unidad seguida de ceros.
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la derecha
tantos lugares como ceros acompañen.
Ahora observa cómo hacemos la división entre 10, 100, 1000…
Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos
lugares como ceros acompañen a la unidad. Si faltan ceros se completan con ceros.
3.- ACTIVIDADES
1.- Realiza las siguientes multiplicaciones.
▪ 14 x 10 =
▪ 2 x 10 =
▪ 14 x 100 =
▪ 2 x 100 =
▪ 14 x 1.000 =
▪ 2 x 1.000 =
▪ 14 x 10.000 =
▪ 2 x 10.000 =
▪ 14 x 100.000 =
▪ 2 x 100.000 =
▪ 125 x 10 =
▪ 145 x 10 =
▪ 125 x 100 =
▪ 145 x 100 =
▪ 125 x 1.000 =
▪ 145 x 1.000 =
2.- Realiza las siguientes divisiones.
◦ 5 : 10 =
◦ 84 : 10 =
◦ 5 : 100 =
◦ 84 : 100 =
◦ 5 : 1.000 =
◦ 84 : 1.000 =
◦ 164 : 10 =
◦ 1.234 : 10 =
◦ 164 : 100 =
◦ 1.234 : 100 =
◦ 164 : 1.000 =
◦ 1.234 : 1.000 =
◦ 164 : 10.000 =
◦ 1.234 : 10.000 =
◦ 164 : 100.000 =
◦ 1.234 : 100.000 =
◦ 164 : 1.000.000 =
◦ 1.234 : 1.000.000 =
3.- Hazlo tú ahora.
◙ 3’4 x 10 =
◙ 45’5 x 10 =
◙ 2’345 x 10 =
◙ 3’4 x 100 =
◙ 45’5 x 100 =
◙ 2’345 x 1.000 =
◙ 3’4 x 1.000 =
◙ 45’5 x 1.000 =
◙ 0’0075 x 10 =
◙ 3’4 x 10.000 =
◙ 45’5 x 10.000 =
◙ 2’345 x 100 =
◙ 0’5 x 100 =
◙ 0’55 x 100 =
◙ 0’0075 x 100 =
× 7’5 : 10 =
× 86’4 : 10 =
× 7654’7 : 10 =
× 7’5 : 100 =
× 86’4 : 100 =
× 7654’7 : 100 =
× 7’5 : 1.000 =
× 86’4 : 1.000 =
× 765’87 : 1000 =
× 7’5 : 10.000 =
× 86’4 : 10.000 =
× 34’76 : 1.000 =
× 566’3 : 10 =
× 789’67 : 100 =
× 87’09 : 10.000 =
4.- Otra ronda.
5.- Completa la siguiente tabla
6.- Señala la respuesta correcta.
7.- Una moto A consume 8,2 litros de gasolina por cada 100 Km y otra moto B 8,9 litros de gasolina
también por cada 100 Km. Calcula la gasolina que consume cada moto en 1km.
8.- Completa la siguiente tabla.
9.- Resuelve
- ¿Cuánto cuestan 10 litros de gasolina súper?
¿y 100 litros?
10.-