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Álgebra I
2014
Práctico Nº 3: Conjuntos
1) Determinar qué elementos forman los siguientes conjuntos, expresándolos por extensión
cuando sea posible. En cada caso, señale si el conjunto es infinito, finito, unitario o vacío.




k 
B   k 2    / k  N  k  6
 10 


C  x  R / x 2  4

E   yR / y 5  2
F   y  C / y  5  2 .
A  3. 1 / n  Ν
n

D  z  C / z 2  4


2) Indicar cuáles de los siguientes conjuntos son iguales a 1, 2, 3 :
B  N   , 7 / 2
A  3, 2,1 

C  3, 2,1, 2, 3 

D  n  Z / n2  9 .
3) Dado el conjunto universal U   k  Ν / k  10  y los subconjuntos A  1, 3, 5, 7 ,
B  5, 6, 7, 8  y C  3, 4, 5, 8, 9 ,
a) Representar los cuatro conjuntos en un diagrama de Venn.
b) Identificar los siguientes conjuntos en el diagrama anterior, expresarlos por extensión
y determinar su cardinalidad:
a) AC
d) A  B
g) A C  C C
b) B  C
e) B  C
h)  A  C 
c) A C
f)
C
A  B  C 
i)
A  C   B
4) Considerar los siguientes conjuntos, donde el referencial (o universal) es el conjunto de
los números complejos.

B  z / z
A  z / z  ik  k  N
2
 1



D  z /

 1
C  z / z8 1
z
E   z  a  bi / a  1  bR 
F   z  a  bi / a  b 
i) Representar cada conjunto en el plano complejo.
ii) Determinar los elementos de los siguientes conjuntos y representarlos en el plano:
a) D  E
b) B  C
c) B  F
d) A  D
f) D C
g) C  B
h) C  D
i) A  E
1
e) F C
j) A  C
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5) En una encuesta realizada a 100 estudiantes de la universidad, se registró que 35 estaban
inscriptos en Álgebra I; 32 en Cálculo I y 18 en ambos cursos. ¿Cuántos de los encuestados
no estaban registrados en ninguno de estos cursos?
6) Clasificación de la sangre humana: La sangre humana está clasificada como Rh+ o Rh-,
según la presencia o ausencia del factor Rh. También está clasificada por grupos: A, si
contiene un antígeno A; B, si contiene antígeno B; AB si contiene ambos antígenos, y grupo O
si no contiene ningún antígeno. Realizar un diagrama de Venn que ilustre los distintos tipos
de sangre, según grupo y factor. ¿Cuántos tipos de sangre resultan al considerar ambas
clasificaciones?
7) En carrera de periodismo se puede cursar inglés, francés y/o portugués. De una encuesta
realizada a 50 estudiantes surge la siguiente información:
- Los 15 alumnos que estudian francés estudian también inglés. 13 de ellos no estudian
una tercera lengua.
- En el curso de inglés hay 32 alumnos. Entre ellos, 13 lo cursan como único idioma.
- De los alumnos de portugués, 3 no estudian otra lengua.
Represente los conjuntos en un diagrama de Venn y determine, cuántos alumnos estudian
los tres idiomas y cuántos no estudian ninguno ¿Cuántos estudian portugués o inglés pero
no francés?
8) Dado A  t , t , determinar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
a) t  A
b) A  A
c) t A
d) 
t  A
e)   A
f) 
t A
g)   A
9) Demostrar las siguientes inclusiones:
a)
x  R / x
b)
n  N / 15 | n   k  N / 3 | k 
3
 

 8  z  R / z 6  64
10) Demostrar:
a)
C  A  C  B  C  A B.
b) C  A  C  B  C  A  B .
c) El condicional recíproco del anterior no es verdadero para todo A, B y C.
11) Si A  B y A  B , decimos que A es subconjunto propio de B y escribimos A  B .
a)
Definir la relación A  B usando cuantificadores y conectivos lógicos.
b)
Demuestre que las inclusiones del ejercicio 9 son inclusiones propias.
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12) Probar las siguientes igualdades, demostrando la doble inclusión entre conjuntos:

 1   e
a)  x  R / x  2   x  R / x 2  4
b)  z  C / z
i
/  R


13) Señalar si las siguientes propiedades son verdaderas o falsas. Justificar demostrando o
exhibiendo un contraejemplo.
a) X  Y  X  Y C
b) # ( A  B)  # A  # B
c) A  ( B  C )  ( A  B)  C
d) # ( A  B)  0  AB  A  B
e) A  C  A  B  A  B
f) X : X  A  X  B  A  B
14) Demostrar cada propiedad, siendo A, B y C subconjuntos cualesquiera de un universal U:
a) AB   A  B  B  A
b)
 A  B C
 B  AC
c) Si A   entonces A  
d)
A  B  U
 A  B     B  AC
15) Demostrar que cada una de las siguientes afirmaciones es equivalente a X  Y :
a) Y C  X C
b) X  Y  
c) X  Y  Y
d) X  Y  X
16) Usando propiedades de las operaciones entre conjuntos, simplificar las siguientes
expresiones. Verificar la respuesta usando diagramas de Venn.
c)
 A  B  A  B  
 A  B   B  C  D  C  D 
e)
 AB C
a)
C
C
C
b)
 A  B   A  B
d)  AB  A
f)  AB  , para A  B  
C
17) Probar por inducción las Leyes de De Morgan para un número n  2 de conjuntos X i .
C
n
C
n 

X


Xi


a)
i
i 1
 i 1 
C
n
C
n


X


Xi
b) 
i
i 1
 i 1 
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