Download módulo # 12: óptica geométrica-reflexión y refracción

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 12: ÓPTICA GEOMÉTRICA-REFLEXIÓN Y REFRACCIÓNDiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
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Temas
Introducción
Conceptos básicos
Principio de Fermat
Leyes de la óptica geométrica
Algunos comentarios
La lámina de caras paralelas
El prisma
El arco iris
Resumiendo los principios de la óptica geométrica
Taller
Introducción
Óptica, rama de la física que se ocupa de la propagación y el comportamiento de la luz. En un sentido más
amplio, la luz es la zona del espectro de radiación electromagnética que se extiende desde el infrarrojo
hasta el ultravioleta, e incluye la energía radiante que produce la sensación de visión (luz visible), Figura 1.
Figura 1
Simulación:
Analizar las simulaciones de SimulPhysics correspondientes a las Ondas electromagnéticas. Para acceder
a ellas hacer clic con el mouse en los ítems señalados en las Figuras 2 y 3. En éstas hacer las variaciones
permitidas y observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
2
Figura 2
Figura 3
La energía radiante tiene una naturaleza dual, y obedece leyes que pueden explicarse a partir de una
corriente de partículas o paquetes de energía, los llamados fotones, o a partir de un tren de ondas
transversales. El concepto de fotón se emplea para explicar las interacciones de la luz con la materia que
producen un cambio en la forma de energía, como ocurre con el efecto fotoeléctrico o la luminiscencia. El
concepto de onda suele emplearse para explicar la propagación de la luz y algunos de los fenómenos de
formación de imágenes. En las ondas de luz, como en todas las ondas electromagnéticas, existen campos
eléctricos y magnéticos en cada punto del espacio, que fluctúan con rapidez. Como estos campos tienen,
además de una magnitud, una dirección determinada, son cantidades vectoriales. Los campos eléctrico y
magnético son perpendiculares entre sí y también perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.
La onda luminosa más sencilla es una onda sinusoidal pura, llamada así porque una gráfica de la intensidad
del campo eléctrico o magnético trazada en cualquier momento a lo largo de la dirección de propagación
sería la gráfica de una función seno. En el espectro visible, las diferencias en longitud de onda se
manifiestan como diferencias de color. El rango visible va desde 350 nanómetros (violeta) hasta 750
nanómetros (rojo), aproximadamente (un nanómetro, nm, es una milmillonésima de metro). La luz blanca es
una mezcla de todas las longitudes de onda visibles. No existen límites definidos entre las diferentes
longitudes de onda, pero puede considerarse que la radiación ultravioleta va desde los 350 nm hasta los 10
nm. Los rayos infrarrojos, que incluyen la energía calorífica radiante, abarcan las longitudes de onda
situadas aproximadamente entre 750 nm y 1 mm.
La luz puede estudiarse con base en alguno de los siguientes modelos:



La luz como RAYO (denominada óptica geométrica o también óptica de rayos).
La luz como ONDA (denominada óptica física o también óptica ondulatoria)
La luz como partícula-fotones- (denominada óptica cuántica).
En la óptica geométrica se prescinde de la teoría ondulatoria de la luz, es decir, en la óptica geométrica se
supone que la luz no se difracta y por tanto la imagen de un objeto puntual formada mediante un sistema
óptico se supone que es un punto. La trayectoria de los rayos a través de un sistema óptico se determina
aplicando las leyes de reflexión y refracción. En la óptica ondulatoria se retoma el concepto de la luz como
una onda de naturaleza electromagnética.
Los cinco fenómenos básicos de la luz son: reflexión, refracción, polarización, interferencia y difracción.
Todos se pueden estudiar bajo el modelo de la luz como onda. Sin embargo los dos primeros se pueden
estudiar usando también el modelo de la luz como rayo, y este será el camino que se seguirá en este curso.
En definitiva, en este curso se estudiará la luz a través de los siguientes módulos:









Módulo
Módulo
Módulo
Módulo
Módulo
Módulo
Módulo
Módulo
Módulo
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12: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN.
13: ÓPTICA GEOMÉTRICA-SFI (SUPERFICIES REFRACTORAS)14: ÓPTICA GEOMÉTRICA-SFI (SUPERFICIES REFLECTORAS)15: ÓPTICA GEOMÉTRICA-SFI (LENTES)16: ÓPTICA FÍSICA: POLARIZACIÓN DE LA LUZ
17: ÓPTICA FÍSICA: INTERFERENCIA
18: ÓPTICA FÍSICA: DIFRACCIÓN DE LA LUZ
19: ÓPTICA FÍSICA: TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ
20: TEORÍA CUÁNTICA DE LA LUZ
3
En los módulos 12 a 15 se trata la óptica geométrica y en los módulos 16 a 18 se trata la óptica física. En los
módulos 19 y 20 se hace un análisis de las ideas básicas que se enmarcan en las teorías clásica y cuántica de
la luz.
Conceptos básicos
Índice de refracción
4
Índice de refracción absoluto (o simplemente índice de refracción), n, de una sustancia o un medio
transparente, es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío, c = 300000 km/s, y la velocidad de la
luz en la sustancia o el medio transparente, v:
n=
c
v
[1]
Este número, para un material, es mayor que la unidad y sin unidades, es una constante característica de
cada medio y representa el número de veces que es mayor la velocidad de la luz en el vacío que en ese
medio.
Como el índice de refracción es sensible a los cambios de temperatura y varía con la longitud de onda de la
luz, deben especificarse ambas variables al expresar el índice de refracción de una sustancia.
Como,
c = λofo
Y,
v=λf
donde o y ¸ corresponden a las longitudes de onda de la luz en el vacío y en el material de índice de
refracción n, y fo, f las respectivas frecuencias, la ecuación [1] se puede escribir como,
n=
λo fo
λf
Ahora como la luz al cambiar de medio de propagación no cambia su frecuencia ( f = fo) se obtiene,
n=
λo
λ
[2]
Esta expresión explica lo que se conoce como dispersión de la luz, fenómeno que se explica con base en
relación de dependencia que existe entre el índice de refracción de la sustancia y las longitudes de onda
() de las ondas luminosas: la luz de distintas longitudes de onda (es decir, la luz de diferentes colores) no
se refracta por igual en la superficie de separación entre dos medios transparentes. Como consecuencia el
índice de refracción de una sustancia no sólo depende de la sustancia misma sino también de la longitud de
onda () de la luz que la atraviesa; a este hecho se le conoce como dispersión cromática, ya que origina una
separación de las ondas de la luz blanca en sus componentes como en un prisma (descomposición de la luz
blanca en colores). Cuando se da un valor para el índice de refracción y no se especifica a qué 
corresponde, se debe entender que corresponde a la  de la raya amarilla del espectro del sodio que es de
580 nm.
Por lo general, el índice de refracción aumenta con la frecuencia de la luz (disminuye con la longitud de
onda). Cuando esto es así, se habla de dispersión normal, Figura 4. Hay situaciones en que la dispersión es
anómala, es decir, n disminuye con  Esto ocurre cuando la frecuencia de la luz está muy próxima a la
frecuencia de alguna transición cuántica del medio. El único medio no dispersivo es el vacío.
Figura 4
Ejemplo 1:
El láser de He-Ne que se emplea en el laboratorio de este curso tiene una longitud de onda en el vacío igual
a 632,8 nm (luz roja). Calcular la frecuencia de este haz de luz láser y su longitud de onda en el agua (n =
1,33).
Solución:
En el vacío se cumple,
c = λofo
Reemplazando o= 632,8 nm= 632,8x10-9 m y c= 3x108 m/s se obtiene,
f o = 474 THz
Esta frecuencia es igual a la frecuencia f en el agua (la frecuencia NO cambia cuando la onda cambia de
medio de propagación pero SI cambia la longitud de onda),
f = 474 THz
5
En el agua se cumple,
n=
λo
λ
Reemplazando n = 1,33 y o= 632,8 nm
λ = 475,8 nm
6
Frente de onda y rayo
Frente de ondas: Puntos del espacio alcanzados por la onda en un tiempo fijo (se encuentran en la misma
fase de vibración de la perturbación).
Rayo luminoso: Marca la dirección de propagación de la onda y es perpendicular al frente de ondas en un
medio isotrópico. Un rayo es una línea en la dirección del flujo de energía radiante .
Clasificación de los medios materiales
Atendiendo al índice de refracción, los medios materiales se clasifican en:

Homogéneos e isótropos: el índice de refracción es constante en todos los puntos y en todas las
direcciones (en el espacio). Por ejemplo vidrios ópticos.

Inhomogéneos: el índice de refracción varía punto a punto. Por ejemplo la atmósfera.

Anisótropos: el índice de refracción varía con la dirección. Por ejemplo la mayoría de los cristales.

Inhomogéneos y anisótropos: el índice de refracción varía punto a punto y con la dirección.
En estas notas, mientras no se especifique otra cosa, se considerarán los medios homogéneos e isotrópicos.
Camino óptico
Si en un medio homogéneo e isótropo (n constante) la luz recorre un trayecto de longitud l (camino
geométrico), el camino óptico se define como,
 nl
[3]
Interpretación física del camino óptico Al reemplazar la ecuación [1] en la ecuación [3] se obtiene,

c
l
l = c = ct
v
v
siendo t el tiempo necesario para que la luz recorra la distancia geométrica l en el medio de índice de
refracción n. Por tanto, el camino óptico
corresponde a la distancia que recorrería la luz en el vacío en el
tiempo que invierte en recorrer el camino geométrico l en un medio de índice de refracción n.
Ejemplo 2:
Una luz de 612 nm de longitud de onda en el vacío viaja 1,57 µm en un medio de índice de refracción igual a
1,51. Hallar (a) la longitud de onda en el medio, (b) la longitud del camino óptico y (c) la diferencia de fase
después de haber recorrido esa distancia, con respecto a una luz que recorre la misma distancia en el vacío.
Solución:
Como,
n=
λo
λ
reemplazando o = 612 nm, n = 1,51 se obtiene,
λ = 405 nm
Como,
 nl
Reemplazando n = 1,51 y
l  1,57 μm se obtiene,
 2,37 μm
Ahora la fase de una onda es,
φ = kx - wt + φo
En la Figura 5 se ilustra un rayo de luz que viaja por un medio de índice de refracción n y otro que viaja
por el vacío. Se supone que en x=0 están en fase.
Figura 5
7
La fase en x=0 y t=0 de ambos rayos es o. Después de haber recorrido una distancia d, el rayo 1 en el
medio de índice n1 (material de índice 1,51) y el rayo 2 en el medio de índice n 2 (vacío cuyo índice es 1,00) la
fase de cada onda de luz es en el instante t,
Rayo 1:
φ1 = k1d - wt + φo
Rayo 2:
φ2 = k 2d - wt + φo
La diferencia de fase entre ambos rayos es,
Δφ =  k1 - k 2  d
 2π 2π 
Δφ = 
d
 λ1 λ 2 
Δφ =
2π
λo
 n1 - n 2  d
Reemplazando o =612x10-9 m, n1 = 1,51, n2 = 1,00, d= 1,57x10-6 m se obtiene,
Δφ = 8,21 rad
en grados,
Δφ = 471o
0 su equivalente,
Δφ = 111o
Principio de Fermat
Hero de Alejandría, que vivió entre los años 150 a.C. y 250 d.C., fue el primero en establecer lo que desde
entonces se ha conocido como principio variacional. En su formulación de la ley de la reflexión, Hero afirmó
que la trayectoria tomada por la luz para ir desde un punto S a un punto P a través de una superficie
reflectora, era la más corta posible. Durante más de 1500 años la curiosa observación de Hero permaneció
olvidada hasta que, en 1657, Fermat propuso su célebre Principio del Tiempo Mínimo, el cual incluía tanto la
reflexión como la refracción. Fermat reformuló la afirmación de Hero: la trayectoria real que adopta un
haz de luz entre dos puntos es aquella recorrida en el tiempo mínimo. Otra forma de enunciar este principio
es: la trayectoria real que adopta un haz de luz entre dos puntos es aquella cuya longitud de camino óptico
es menor.
Después de hacer un análisis detallado de la propuesta de Fermat, se concluye que la forma correcta de
enunciar este principio (Principo de Fermat) es: la trayectoria real que adopta un haz de luz entre dos
puntos es aquella cuya longitud de camino óptico es estacionaria.
8
Consecuencias del principio de Fermat son:

En un medio homogéneo los rayos luminosos tienen la forma de líneas rectas, es decir describen
trayectorias rectilíneas: en un medio homogéneo la luz viaja en línea recta.

Si sobre cada rayo que sale de un foco emisor de luz se eligen caminos ópticos iguales, los puntos que
limitan estos caminos generan una superficie que es normal a todos los rayos. Esta superficie se
denomina frente de onda.

El principio de reversibilidad óptica: si la luz puede viajar a lo largo de un rayo desde el punto A hasta
el punto B también podrá hacerlo siguiendo la misma trayectoria pero en sentido contrario, desde B
hasta A. En otras palabras, la condición estacionaria es independiente del sentido de recorrido a lo
largo del rayo que une los dos puntos.
Leyes de la óptica geométrica
Se tiene una onda plana que llega a la superficie de separación entre dos medios de índices de refacción n y
n’. En la mayoría de los casos una parte de la luz que llega se refleja al medio de incidencia y otra se
propaga al medio de transmisión. Hay tres tipos de ondas: ondas incidentes, ondas reflejadas y ondas
trasmitidas (o refractadas), Figura 6.
Figura 6
Se definen los siguientes elementos:

La normal (N): línea ortogonal a la superficie de separación entre los medios.

Plano de incidencia: plano normal a la superficie de separación.

Rayo incidente (R.I.): rayo de luz que llega a la superficie de separación.

Rayo reflejado (R.R): rayo que es devuelto al medio de incidencia (medio de índice de refracción n1).

Rayo refractado o transmitido (R.T): rayo que atraviesa la superficie de separación y sigue
propagándose en el medio de índice de refracción n2.
9

Ángulo de incidencia ( φ ): ángulo que forman R.I y N.

Ángulo de reflexión ( φR ): ángulo que forman R.R y N.

Ángulo de refracción ( φ ): ángulo que forman R.T y N.
Las tres leyes básicas de la óptica geométrica (es decir, la óptica de rayos) son las siguientes:

Ley 1: Los rayos incidente, reflejado y trasmitido pertenecen al mismo plano (plano de incidencia).

Ley 2 (ley de reflexión): El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión,
φ = φR

[4]
Ley 3 (ley de refracción): El ángulo incidencia y el de refracción se relacionan mediante la ley de Snell,
n senφ = n senφ
[5]
o equivalentemente,
senφ
n
=
senφ
n
[5]
Demostración de la ley de reflexión:
Se trata de encontrar la condición que deben cumplir los ángulos  y R para que la luz para ir desde el
punto A hasta el punto B reflejándose sobre la superficie en P cumpla el principio de Fermat, Figura 7.
Figura 7
La longitud de camino óptico correspondiente al camino geométrico APB es,
 n AP + n PB
10
 n h12 + x 2 + n h 22 +  d-x 
2
En donde l , n, h1, h2 y d son constantes.
Para cumplir el principio de Fermat,
d
0
dx
x
h12 + x 2
11
=
d-x
h 22 +  d - x 
2
sen φ = sen φR
como  y R son agudos,
φ = φR
que es la ley de reflexión.
Demostración de la ley de refracción:
Se trata de encontrar la condición que deben cumplir los ángulos  y ’ para que la luz para ir desde el
punto A hasta el punto B refractándose en P cumpla el principio de Fermat, Figura 8.
Figura 8
La longitud de camino óptico correspondiente al camino geométrico APB es,
 n AP + n' PB
 n h12 + x 2 + n' h 22 +  d-x 
2
En donde l , n, n’, h1, h2 y d son constantes.
Para cumplir el principio de Fermat,
12
d
0
dx
nx
h12 + x 2
=
n'  d - x 
h 22 +  d - x 
2
n sen φ = n' sen φ'
que es la ley de refracción.
Algunos comentarios
Dependencia del color de la luz
La reflexión es independiente de la frecuencia de la luz incidente. La superficie de un medio transparente
refleja todas las longitudes de onda en la misma manera.
Reflexión especular
Tiene lugar cuando los rayos de luz inciden sobre una superficie lisa. Algunos metales como la plata y el
aluminio absorben poco la luz blanca y si se construyen con ellos láminas metálicas muy pulimentadas se
puede lograr que reflejen la luz de tal manera que los rayos reflejados se vean con una intensidad
comparable a la de los rayos incidentes. Estos objetos se comportan como espejos (son espejos). Los rayos
que inciden paralelos a la superficie especular (plana) se reflejan también paralelos, Figura 9.
Figura 9: Reflexión especular
Reflexión difusa
La reflexión difusa se origina en los cuerpos que tienen superficies rugosas y los polvos; esto es lo que
permite ver los objetos sin que deslumbren aunque estén iluminados por una luz intensa. En el caso de la
reflexión difusa los rayos son reflejados en distintas direcciones debido a la rugosidad de la superficie; en
otras palabras, los rayos que inciden paralelos sobre ella se reflejan en diferentes direcciones (los ángulos
de incidencia de los rayos paralelos no son iguales entre sí), Figura 10.
13
Figura 10
Dirección del rayo refractado

Cuando un haz de luz pasa de un medio menos denso ópticamente a uno más denso (n1 Ç n2), el rayo
refractado se acerca a la normal, Figura 11.

Cuando un haz de luz pasa de un medio más denso ópticamente a uno menos denso (n1 È n2), el rayo
refractado se aleja de la normal, Figura 11.
Figura 11
Estas dos afirmacones se demuestran a continuación.
Partiendo de la ley de Snell,
sen φ
n'
=
sen φ'
n

Si n’ > n entonces sen ’ < sen  y por lo tanto, ’ < , es decir el rayo refractado se acerca a la normal.

Si n’ < n entonces sen ’ > sen  y por lo tanto, ’ > , es decir el rayo refractado se aleja de la normal.
Reflexión total
Cuando la luz incide desde un medio de mayor índice de refracción (n > n’), existe un ángulo denominado
ángulo de incidencia crítico, c, por encima del cual la luz toda se refleja (no hay rayo refractado), Figura
12.
14
Figura 12
En el rayo 3 de la Figura se presenta el ángulo crítico y ya no hay refracción,’ = 90o, por lo que según la ley
de Snell,
sen φ c
n'
=
π
n
sen
2
 n' 
φ c = sen -1  
n
[6]
En este fenómeno se fundamenta la fibra óptica.
Guías de luz (fibra óptica)
La Fibra Óptica es una varilla delgada y flexible de vidrio u otro material transparente con un índice de
refracción alto, constituida de material dieléctrico (material que no tiene conductividad como el vidrio o el
plástico). Es capaz de concentrar, guiar y transmitir la luz con muy pocas pérdidas incluso cuando esté
curvada, Figura 13. Está formada por dos cilindros concéntricos, el interior llamado núcleo (se construye de
elevadísima pureza con el propósito de obtener una mínima atenuación) y el exterior llamado revestimiento
que cubre el contorno (se construye con requisitos menos rigurosos), ambos tienen diferente índice de
refracción (el índice n’ del revestimiento es de 0.2 a 0.3% inferior al índice n del núcleo). El diámetro
exterior del revestimiento es de 0.1 mm aproximadamente y el diámetro del núcleo que transmite la luz es
próximo a 10 ó 50 micrómetros. Adicionalmente incluye una cubierta externa adecuada para cada uso
llamado recubrimiento.
15
Figura 13
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la ley de Snell. Para acceder a ella hacer clic con
el mouse en el ítem señalado en las Figuras 14. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar
detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 14
Ejemplo 3:
Mediante el uso de trazado de rayos, explicar por qué una varilla sumergida en el agua se observa torcida.
Solución:
En la Figura 15 se ilustra el análisis gráfico que permite explicar este fenómeno. En ella se observa la
formación de la imagen P’ del punto P: para esto sólo es necesario seguir la trayectoria de dos rayos y
donde se corten éstos, una vez refractados, es la ubicación de esta imagen, P’. El rayo 1 se tomó con un
ángulo de incidencia igual a cero al cual le corresponde según la ley de Snell un ángulo de refracción
también igual a cero. El rayo 2 se tomó incidiendo con un ángulo  al cual le corresponde según la ley de
Snell un ángulo de refracción ’, con ’ >  (el rayo refractado se aleja de la normal ya que la luz está
pasando desde un medio de mayor índice de refracción a otro de menor índice). Como se concluye, para que
se corten estos dos rayos refractados es necesario prolongar hacia “atrás” el rayo 2. Para el cerebro la
luz viaja siempre en línea recta y por lo tanto, la luz procedente del punto P de la varilla la ve como si
procediera de P’: de esta forma observa el palo torcido.
Figura 15
Ejemplo 4:
Empleando el fenómeno de reflexión total, explicar la formación de espejismos en las carreteras que llevan
a la Costa (sensación de ver "charcos de agua" donde no existen).
Solución:
Este fenómeno se puede explicar utilizando la reflexión total de la luz, Figura 16. La capa 1 de aire al estar
más cerca del pavimento se encuentra a mayor temperatura que la capa 2 y por ende su índice de
refracción es menor. Por lo tanto la luz incide desde un medio de índice n a otro de índice n’, con n > n’,
alejándose los rayos de la normal al refractarse. Cuando estos inciden con ángulos mayores que el ángulo
crítico,  > c, se reflejan totalmente, comportándose este sistema óptico como un espejo plano. El cerebro
interpreta esto como si la carretea estuviera mojada.
16
17
Figura 16
El fenómeno de espejismos de este tipo también puede suceder a la inversa. El efecto es como si el espejo
estuviese colocado horizontalmente en el cielo y reflejase imágenes que están fuera del horizonte y de la
vista del observador. La explicación es semejante a la del espejismo directo, pero ahora las capas más
bajas están mucho más frías que las altas. Para ambos espejismos, las imágenes virtuales que se forman
están invertidas con respecto a las reales.
La explicación de este fenómeno en detalle debe hacerse pensando no en dos capas sino en muchas capas,
las cuales van teniendo un índice de refracción cada vez menor a medida que se asciende en la atmósfera
(para el espejismo directo). De esta forma el rayo de luz al ir “descendiendo” se va curvando convexamente
(mirado desde abajo) hasta logra su reflexión total, Figura 17.
En la Figura 18 se ilustra dos fotos en donde se aprecia este fenómeno. La imagen de la izquierda fue
tomada en el desierto de Namibia: da la impresión de que existe un lago, lo cual no es cierto. La imagen de
la derecha fue tomada en un día caluroso en una carretera. En la Figura 19 se ilustra una foto en donde el
espejismo se ve es en el “cielo”: se ve parte del barco, invertido, en el aire.
18
Figura 17
Figura 18: Imágenes tomadas del sitio Web http://triplenlace.com/2012/11/12/espejismos-reflexiontotal-y-otros-efectos-de-la-refraccion/
Figura 19: Espejismo “inverso”. Imágenes tomadas del sitio Web
http://triplenlace.com/2012/11/12/espejismos-reflexion-total-y-otros-efectos-de-la-refraccion/
Ejemplo 5:
Calcular el ángulo de incidencia crítico en el agua (interfase agua-aire)
Solución:
El índice de refracción del agua es n = 1,33 y el del aire n’ = 1,00. Aplicando la ley de Snell para la condición
de ángulo de incidencia crítico se obtiene,
senφ c
n'
=
π
n
sen
2
Reemplazando los datos,
φ c = 48,8o
Ver la foto de Figura 12 derecha.
Ejemplo 6:
Una fuente puntual de luz está a 82,0 cm bajo la superficie de un volumen de agua. Hallar el radio máximo
del círculo en la superficie por el cual pueda emerger la luz del agua (n=1,33).
Solución:
En la Figura 20 se ilustra el trazado de algunos rayos. Se observa que para un ángulo de incidencia mayor
que el ángulo de incidencia crítico c, la luz NO logra salir de la piscina. Teniendo en cuenta la simetría
alrededor de la normal, se deduce que el cerebro percibirá un círculo de radio R.
Figura 20
19
El ángulo de incidencia crítico se calcula aplicando la ley de Snell para esta condición,
senφ c
n'
=
π
n
sen
2
Reemplazando los datos,
20
φ c = 48,8o
Por trigonometría se puede calcular el radio R conocido el ángulo crítico y la profundidad de la piscina,
tanφ c =
R
h
Como h= 82,0 cm se obtiene,
R = 93,7 cm
Ejemplo 7:
Una fibra óptica específica consta de un núcleo de vidrio (índice de refracción n1) rodeado por una cubierta
(índice de refracción n2 < n1). Supóngase que un haz de luz penetra en la fibra desde el aire con un ángulo 
respecto al eje de la fibra. Demostrar que el valor máximo posible de  para que un rayo pueda propagarse
por la fibra está dado por,
φ = sen -1  n12 - n 22 


Solución:
Observar la Figura 21. En ella se ilustra la trayectoria de tres rayos al ingresar al núcleo de la fibra desde
el aire.
Figura 21
El ángulo  es el ángulo máximo para que la luz quede atrapada dentro de la fibra. Por encima de éste
ángulo parte de la energía lumínica pasa hacia el revestimiento de la fibra óptica. Aplicando la ley de Snell a
la entrada de la fibra y en la interfase con el revestimiento se obtiene,
n
sen φ
= 1
sen α
1
π

sen  - α 
2
 = n2
π
n1
sen
2
21
De estas dos ecuaciones se llega a,
φ = sen -1  n12 - n 22 


Ejemplo 8:
Una onda plana de luz blanca que viaja en cuarzo fundido (n = 1,46) choca con la superficie plana del cuarzo
(interfase cuarzo-aire), formando un ángulo de incidencia  . ¿Es posible que el haz reflejado internamente
aparezca (a) azulado o (b) rojizo? (c) ¿Qué valor de , más o menos, debe emplearse?
Solución:
En la Figura 22 se ilustran tres inclinaciones de incidencia de la onda plana. En la de la derecha el rayo azul
se refleja completamente, mientras que el rojo se refleja aun parcialmente: es decir la luz que llega al ojo
tiene más energía en el azul que en el rojo, por lo tanto el cerebro la percibe azulada.
Figura 22
Esto se explica debido a que el ángulo de incidencia crítico para la luz azul es menor que para la luz roja. En
efecto, la ley de Snell en la situación de ángulo crítico es,
senφc
1
=
π
n
sen
2
En donde n es el índice de refracción del cuarzo. Por lo tanto,
1
φ c = sen -1  
n 
Ahora, debido al efecto de dispersión cromática,
22
n azul > n rojo
y por ende,
φ c, azul < φ c, rojo
el ángulo crítico para la luz azul es menor que para la luz roja.
Para estimar el ángulo crítico se puede usar el índice reportado en el ejercicio (aunque se sabe que este
valor es ligeramente diferente para el azul y para el rojo), n=1,46,
1
φ c = sen -1  
n 
φ c = 43,2o
La lámina de caras paralelas
A un medio diáfano donde las superficies de entrada y de salida de la luz son paralelas, se conoce en la
óptica con el nombre de lámina de caras plano paralelas. La luz al atravesar este dispositivo se desplaza
lateralmente (no rota), Figura 23:
φ  φe
Figura 23
Demostración:
senφ
n'
(ley de Snell en A).
=
senφ
n
senφ
n
(ley de Snell en B)
=
senφ e
n'
φ = φ (por alternos internos)
De estas tres ecuaciones se deduce que,
φ = φe
que era lo que se quería demostrar.
Ahora, se calculará el corrimiento latera d. Del triángulo ABC se tiene,
sen  φ - φ  =
d
AB
Del triángulo ABD se tiene,
cos φ =
e
AB
De estas dos últimas ecuaciones se obtiene,
d=
e sen  φ - φ
cos φ
[7]
En la Figura 24 se ilustra la imagen VIRTUAL O’ de un objeto REAL O dada por una lámina de caras
paralelas.
El prisma
A un medio diáfano donde las superficies de entrada y de salida de la luz no son paralelas se conoce en la
óptica con el nombre de prisma óptico. La luz al atravesar este dispositivo rota y adicionalmente sino es
luz monocromática, debido a la dispersión cromática, se descompone en su espectro (conjunto de luces de
colores que componen la luz de entrada).
23
24
Figura 24
En la Figura 25 se ilustra la trayectoria seguida por un rayo al atravesar un prisma de ángulo A e índice de
refracción n’.
Figura 25
Se demostrará que,
δ = φ + φe  A
[8]
Y que para pequeños ángulos,
δ 
 n' - 1 A
[9]
Demostración:
A = A'
(1) (sus lados son perpendiculares y ambos son ángulos agudos)
φ = φ + α
(2) (por opuestos por el vértice)
φe = φ + α
(3) (por opuestos por el vértice)
En el triángulo BDC se tiene,
δ = α + α
(4)
En el triángulo BEC se tiene,
25
A' = φ + φ"
(5)
De las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5) se obtiene,
δ = φ + φe  A
[8]
Aplicando la ley de Snell en B y en C se tiene,
sen φ
n'
=
sen φ'
n
sen φ
n
=
sen φ ë
n'
Y para pequeños ángulos (los senos y sus ángulos en radianes se pueden aproximar),
φ
n'
=
φ'
n
(6)
φ
n
=
φë
n'
(7)
De las ecuaciones (6) y (7) se tiene,
φ + φe =
n'
 φ' + φ"
n
Como n=1 y de (5) esta última ecuación queda,
φ + φe = n' A
(8)
Reemplazando (8) en [8],
δ   n' - 1 A
[9]
que era lo que se quería demostrar.
En la Figura 26 se ilustra la imagen VIRTUAL O’ de un objeto REAL O dada por un prisma.
26
Figura 26
Colores por refracción:
Debido a la dispersión cromática,
n rojo < n violeta
Y por lo tanto,
δ rojo < δ violeta
Es decir para iguales ángulos de incidencia en el prisma, la lu roja se desvía menos que la luz violeta. Con
base en esto se concluye que si entra luz blanca al prisma al salir queda descompuesta en su espectro (los
colores que la conforman), alejándose más el violeta que el rojo, Figura 27.
Figura 27
En la Tabla se da la información de las longitudes de onda correspondientes a los colores.
Tabla 1
Color
Longitud de Onda
Violeta
390–456 nm
Azul
455–493 nm
Verde
492–578 nm
Amarillo
577–598 nm
Naranja
597–623 nm
Rojo
622–780 nm
El arco iris
Para que el arco iris sea visible, el Sol debe estar a la espalda del observador y la lluvia o nube frente a él.
La luz incide en la parte superior de las gotas de agua, rebota con la pared de ellas más alejada del
observador y finalmente sale de las mismas hacia los ojos del observador, Figura 28. En la Figura 29 se
ilustra la foto de un hermoso arco iris.
Figura 28
Surge una gran pregunta: ¿Por qué tiene forma de arco? Tomar la recta que une al observador con el Sol
(fijos); al girar el experimento alrededor de ella. se genera una circunferencia. El problema es que el suelo
limita el giro, por lo que se genera un arco de circunferencia, Figura 28. Desde lugares muy altos (aviones
en vuelo y montañas) puede observarse la forma circular del arco aris, Figura 30, fotos izquierda y centro.
A veces es posible ver un segundo arco iris más arriba y con los colores invertidos (arco iris
SUPERNUMERARIO), Figura 30, foto del extremo derecho: esto se debe a que la intensidad de la luz
27
28
Figura 29
permite observar el segundo rebote en la pared posterior de la gota (las gotas), después de haber
rebotado en la primera pared (pared anterior), saliendo otro rayo con mayor inclinación, observándose un
segundo arco iris más alto que el primero, y con los colores invertidos debido a que el orden cambia en cada
reflexión.
Algo muy interesante es advertir que el observador del arco iris siempre está en la punta del cono de
observación, es decir si mueve la cabeza un poco el arco iris que se observa es OTRO (el centro de la
circunferencia del arco iris se encuentra en la línea que va desde el centro del Sol al ojo del observador y,
generalmente, se encuentra por debajo del horizonte, por ello lo más frecuente es que el arco iris sea
menor que una semicircunferencia, salvo en los casos del amanecer o atardecer -sin embargo, como se
expuso en un párrafo precedente, si el observador está situado sobre una montaña o en otro lugar muy
elevado, el centro del círculo estará por encima del horizonte y por tanto el arco iris será mayor que un
semicírculo-).
Figura 30
Resumiendo los principios de la óptica geométrica
Se debe recordar los principios de la óptica geométrica:




Trayectorias rectilíneas en medios homogéneos e isótropos.
Se cumple la ley de la reflexión y la ley de la refracción.
Rayo incidente, refractado y reflejado están en un mismo plano.
Independencia de los rayos luminosos. La acción de cada rayo es independiente de la de los demás.
Imaginar que se toma una foto de una escena que contiene un objeto con un paisaje de fondo; a

continuación, se tapa el objeto y se vuelve a fotografiar; esta segunda foto permite comprobar que, al
tapar el objeto, sólo se han bloqueado los rayos que proceden de él, sin que se vea afectado el resto,
por lo que los demás rayos volverán a formar la imagen del paisaje tal y como se apreciaba en la primera
fotografía.
Las trayectorias de la luz son reversibles.
Taller
29
1.
La luz visible está formada por radiación electromagnética con longitudes de onda entre 400 y 700 nm.
Expresar este intervalo en términos de frecuencia.
2. Calcular la frecuencia que corresponde a cada una de las siguientes longitudes de onda de luz: (a) 400
nm (violeta), (b) 700 nm (rojo) y (c) 900 nm (infrarroja).
Rp. (a) 750 THz. (b) 429 THz (c) 333 THz
3. Calcular las longitudes de onda de cada una de las fuentes de luz en el problema anterior en vidrio con
un índice de refracción de 1,5.
4. Un haz de luz roja penetra en una lámina de vidrio de 30 cm de espesor e índice de refracción 1,50 con
un ángulo de incidencia de 45º:
(a) Explicar si cambia el color de la luz al penetrar en el vidrio.
(b) Determinar el ángulo de refracción.
(c) Determinar el ángulo de emergencia (ángulo del rayo cuando sale después de atravesar la lámina).
(d) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en atravesar la lámina de vidrio?
5. Sobre un prisma que tiene un ángulo de 40º y un índice de refracción de 1,342, situado en el aire, incide
un rayo de luz con ángulo de 45º. Calcular: (a) El ángulo de emergencia del rayo. (b) El ángulo de
desviación sufrido por el rayo.
Rp. 11º y 16o
6. Probar que para alguien que esté mirando directamente hacia una piscina dese un plano superior,
cualquier objeto que se encuentra en el agua parecerá estar a ¾ de su verdadera profundidad.
7. Demostrar que los dos rayos que entran paralelos al sistema de la Figura 31 paralelos entre sí,
emergen de él también paralelos. Ayuda: usar el resultado obtenido en las láminas de caras parelelas,
Figura 23
30
Figura 31
FIN