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GUIA Nº 1: ANGULOS, TEOREMA DE PITAGORAS Y FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
GRADO: 10º
PROFESORA: Eblin Martínez M.
ESTUDIANTE: ________________________ PERIODO: I DURACIÓN: 20 Hrs
LOGRO: Resuelve problemas de tipo trigonométrico a través de la aplicación del
teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas.
INDICADORES DE LOGRO:
Identifico y grafico ángulos en posición normal y realizo operaciones con ellos.
Convierto medidas de ángulos de sistema cíclico a sexagesimal y viceversa.
Aplico el teorema de Pitágoras para resolver problemas de tipo trigonométrico.
Resuelvo triángulos rectángulos a través de las razones trigonométricas.
OBJETIVO: Desarrollar el proceso de comprensión del teorema de Pitágoras y de
las razones trigonométricas en la resolución de problemas.
COMPETENCIA: Resuelvo y propongo situaciones de la vida diaria que tengan
solución a través del teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas.
RETO DE INGENIO: ¿Cuántos triángulos ves en la figura?
Para reforzar los
temas de cada
actividad, visita:
www.divertimate
maticas.webnode
.es
ANGULOS. SISTEMA CICLICO Y SEXAGESIMAL
En el sistema cíclico la unidad de medida es el radián. Un radián (1 rad) es la
medida de un ángulo central de una circunferencia, cuyos lados intersecan un arco
de longitud igual al radio de la circunferencia así:
r
ᶱ
r
Angulo de un radian
r
La ecuación del arco de una circunferencia es s   .r . De este modo, a un arco
completo cuya medida es 2 π r le corresponde, un ángulo cuya medida es:

s 2r

 2 , es decir, una vuelta completa de 360°. Así, podemos
r
r
establecer la siguiente relación entre el sistema cíclico y el sexagesimal:
1vuelta  360  2  radianes

Y además radianes  180
CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE ANGULOS
Los ángulos también pueden ser medidos en revoluciones:
1 vuelta completa o revolución = 360º = 2
½ vuelta = 180º = 
¼ vuelta = 90º = /2
Ejemplo 1: convertir 3/5 de vuelta a grados:
1 vuelta  360º
3/5 vuelta  x
Resolviendo la regla de tres o igualmente reemplazando, obtenemos:
3 . (360º) = 216º
5
Ejemplo 2: hallar la medida en revoluciones del ángulo 720º.
1 vuelta  360º
X vuelta  720º
Resolviendo, tenemos: X = 720º / 360º = 72/36 = 2 vueltas.
RECUERDA QUE: LAS REVOLUCIONES O VUELTAS PUEDEN GIRAR EN SENTIDO DE LAS
AGUJAS DEL RELOJ SI EL ÁNGULO ES NEGATIVO.
Dibuja una recta numérica y contesta a las siguientes preguntas:
4) De qué manera podemos identificar en qué cuadrante del plano cartesiano se
encuentra el lado terminal de un ángulo en posición normal?
5) indicar el cuadrante del lado terminal de los ángulos: 1080º, 210º y – 513º.
OPERACIONES CON ÁNGULOS
Para sumar las amplitudes de dos ángulos, colocamos las unidades de tal forma
que se correspondan: segundos con segundos, minutos con minutos y grados con
grados. Si la suma parcial es mayor que 60, la dividimos entre este número
escribiendo el residuo en la unidad correspondiente y reservamos el cociente para
la unidad inmediatamente superior.
EJEMPLO: hallar la suma de los ángulos: < A = 58º47’38” y < B = 35º27’42”:
Solución:
58º47’38”
+ 35º27’42”
80  80 ÷ 60 = 1 y el residuo es 20 por tanto, quedan 20”.
74  74 + 1 del cociente anterior = 75  75 ÷ 60 = 1 y quedan 15’
93  93 + 1 del cociente anterior = 94º
_________
94º15’20” /R
Análogamente para restar ángulos, colocamos el sustraendo debajo del minuendo
de tal forma que las unidades correspondan. Se inicia por los segundos; si de
algún orden del minuendo no se puede restar su correspondiente del sustraendo,
se toma una unidad inmediatamente superior y se transforma en unidades del
orden que falta.
Ejercicio: Encuentra la suma y resta de los ángulos:
a. < A = 74º64’49” y < B = 40º35’56”
b. < A = 40º35’56” y < B = 14º36’19”.
c. < A = 75º48’46” y < B = 34º55’27”.
TEOREMA DE PITAGORAS
c
Cateto a
C2 = a2 + b2
Dada la ecuación del teorema de Pitágoras, con ayuda de tu profesor, despeja los
valores de c, a y b, para cuando haya que encontrar la medida de la hipotenusa o
de uno de los catetos.
PROBLEMAS:
1.
2.
3.
4.
En un triángulo rectángulo los catetos miden 4,5 cm y 6 cm. Hallar la
hipotenusa.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 7.5 m y uno de sus catetos
7,2 m. hallar la medida del otro cateto.
Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la
escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la
pared? Realizar un dibujo.
En el triángulo equilátero ABC de la figura, de lado 10 cm, vemos que la
altura AH es un eje de simetría y, por tanto, el punto medio del lado BC es
H, siendo la longitud HC igual a 5 cm.
Encuentra la medida del lado AH.
5.
La diagonal de un rectángulo de lados 5 cm y 12 cm es igual a la medida
del lado de un cuadrado. ¿Cuánto mide la diagonal de ese cuadrado?
Realizar dibujos.
INVESTIGA:
-
¿Qué es una función?
-
Realizar un ejemplo de función con su tabla de valores y gráfica.
-
¿Qué tipo de funciones conoces? Realiza sus gráficas
- FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las
seis funciones
circulares también
llamadas funciones
trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec
x, y csc x.
Las funciones trigonométricas son relaciones entre los distintos lados de un
triángulo entre sí con respecto de alguno de sus ángulos agudos.
Consideremos una circunferencia de radio r, con centro en el origen del plano y el
ángulo α cuyo lado terminal pasa por el punto P(x, y):
El valor de las funciones trigonométricas del ángulo α está dado por:
sen 
y
r
csc  
r
y
cos  
x
r
sec  
r
x
tan  
y
x
cot  
x
y
r
Y por la ecuación de una circunferencia: r 2  x 2  y 2 . De donde,
r  x2  y 2
SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
EJEMPLO N° 1: ENCONTRAR EL VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
DE UN ÁNGULO CUYO LADO TERMINAL SE ENCUENTRA EN EL PUNTO (5,4).
SOLUCIÓN:
Primero encontramos el valor de r: r 
x2  y 2
r  52  4 2 =
Sen α = y / r = 4 /
41
Cos α = x / r = 5 /
41
25  16 =
41
Tan α = y / x = 4 /5
Sec α = r / x =
41 / 5
Csc α = r / y =
41 / 4
Cot α = x / y = 5 / 4.
EJEMPLO N°2: Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°.
Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
SOLUCIÓN: debemos considerar que sen x = √1 – cos 2 x,
reemplazando, encontramos el valor de sen α:
1. Encuentra el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición
normal cuyo lado terminal pasa por el punto:
a. (1,1)
b. (4,3)
c. (8,6)
d. (-4, 4)
e. (√2, -√3)
2. INVESTIGA QUE SON LOS ÁNGULOS NOTABLES.
3. INVESTIGA SOBRE LAS FUNCIONES O RAZONES TRIGONOMETRICAS
PARA LOS ÁNGULOS NOTABLES.
RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CO
Consideremos el triángulo ABC con un
ángulo agudo α, para este ángulo el lado
opuesto a él es el lado a, el lado adyacente a
este ángulo es b y la hipotenusa que es
siempre el lado más largo seria el lado c o lo
podemos llamar h.
CA
Las razones trigonométricas del ángulo α están dadas por los cocientes:
sen 
co
h
sec  
h
ca
cos  
ca
h
csc  
h
co
tan  
co
ca
cot  
ca
co
1.
2.
3.
4. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b =
4 m. Encontrar las razones trigonométricas .