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ECUACIONES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es verdadera para
todos los valores de la variable o las variables que involucra.
Clasificar las siguientes igualdades como identidades o no




(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
x2 – 1 = 3
√𝑥 + 4 = 2
(x + y)(x – y) = x2 – y2
Una identidad que involucra funciones trigonométricas se denomina identidad
trigonométrica.
Identidades Fundamentales
Estas identidades se utilizan para transformar unas expresiones en otras, lo
cual permite comprobar otras identidades y resolver ecuaciones que involucran
funciones trigonométricas.

Relaciones Reciprocas
Estas relaciones ya se conocen
Seno β es el inverso de cosecante β
𝑠𝑒𝑛𝛽 =
1
𝑐𝑠𝑐𝛽
y 𝑐𝑠𝑐𝛽 =
1
𝑠𝑒𝑛𝛽
Coseno β es el inverso de secante β
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
1
𝑠𝑒𝑐𝛽
y
𝑠𝑒𝑐𝛽 =
1
𝑐𝑜𝑠𝛽
Tangente β es el inverso de cotangente β
1
𝑡𝑎𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝛽

y
𝑐𝑜𝑡𝛽 =
Relaciones que son razón de dos funciones
𝑡𝑎𝑛𝛽 =
𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛽
1
𝑡𝑎𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑡𝛽 =

𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
Relaciones Pitagóricas
P(x,y)
La circunferencia de la figura es una circunferencia unitario, para el ángulo
central β, se cumple que senβ = y
cosβ = x
Como en todo punto de la circunferencia unitario se cumple que x2 + y2 = 1, se
tiene:
𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 = 1
Dividiendo la ecuación anterior por cos2β, se tiene
𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽
1
+
=
𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽
𝑡𝑎𝑛2 𝛽 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝛽
Si en lugar de dividir la ecuación por cos2β se divide por sen2β, se tiene
𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽
1
+
=
𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑠𝑒𝑛2 𝛽
1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛽 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝛽
Además se debe tener en cuenta que:
cos(−∝) = 𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑠𝑒𝑛(−∝) = −𝑠𝑒𝑛 ∝
tan(−∝) = −𝑡𝑎𝑛 ∝
cot(−∝) = −𝑐𝑜𝑡 ∝
sec(−∝) = 𝑠𝑒𝑐 ∝
csc(−∝) = −𝑐𝑠𝑐 ∝
Simplificación de Expresiones Trigonométricas
Para simplificar expresiones trigonométricas se utilizan las mismas técnicas
que son empleadas para simplificar expresiones algebraicas y las identidades
trigonométricas fundamentales.
Ejemplos, simplificar las siguientes expresiones trigonométricas

sen3x + senxcos2x
senx (sen2x + cos2x) factor común
senx

𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑐𝑠𝑐𝑦
+
𝑠𝑒𝑛𝑦
1
𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑠𝑒𝑐𝑦
+
𝑐𝑜𝑠𝑦
1
𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑠𝑒𝑛2 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦 = 1

𝑠𝑒𝑐𝑦−𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑡𝑎𝑛𝑦
1
−𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦
=
1−𝑐𝑜𝑠2 𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦
=
(1−𝑐𝑜𝑠2 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦
=
𝑠𝑒𝑛2 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦

(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)𝑡𝑎𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥
Demostración de Identidades
Demostrar una identidad consiste en mostrar que uno de los miembros de una
igualdad es igual al otro. Para ello se sugiere:
-Transformar el mimbro más complejo de la igualdad en el miembro más
simple, haciendo uso de las identidades fundamentales.
-De ser posible expresar las funciones trigonométricas que aparecen en la
igualdad en términos de las funciones seno y coseno.
-Simplificar las expresiones
Ejemplos

𝑐𝑜𝑠𝐴(𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝐴) = 𝑐𝑠𝑐𝐴
Solución
𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴( 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝐴) = 𝑐𝑜𝑠𝐴(
=
1
𝑠𝑒𝑛𝐴

𝑠𝑒𝑛2 𝐴+𝑐𝑜𝑠2 𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑒𝑛𝐴
)
= 𝑐𝑠𝑐𝐴
𝑡𝑎𝑛2 𝛼 =
1+𝑡𝑎𝑛2 𝛼
𝑐𝑠𝑐 2 𝛼
El segundo miembro es el lado más complejo, así que a partir de él se llegará
al primero
1+𝑡𝑎𝑛2 𝛼
𝑐𝑠𝑐 2 𝛼

=
𝑠𝑒𝑐 2 𝛼
𝑐𝑠𝑐 2 𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛽
1−𝑐𝑜𝑠𝛽
=
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝛼
1
𝑠𝑒𝑛2 𝛼
=
𝑠𝑒𝑛2 𝛼
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
= 𝑡𝑎𝑛2 𝛼
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
Multiplicando el numerador y denominador del primer miembro por 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
1−𝑐𝑜𝑠𝛽 1+𝑐𝑜𝑠𝛽

=
𝑠𝑒𝑛𝛽(1+𝑐𝑜𝑠𝛽)
1−𝑐𝑜𝑠 2 𝛽
=
𝑠𝑒𝑛𝛽(1+𝑐𝑜𝑠𝛽)
𝑠𝑒𝑛2 𝛽
=
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 (producto notable)
= 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝐴
cot(−𝐴) cos(−𝐴) + 𝑠𝑒𝑛(−𝐴) = -𝑐𝑠𝑐𝐴
− 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 =
−𝑐𝑜𝑠 2 𝐴−𝑠𝑒𝑛2 𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴
=−
(𝑠𝑒𝑛2 𝐴+𝑐𝑜𝑠 2 𝐴)
𝑠𝑒𝑛𝐴
=−
1
𝑠𝑒𝑛𝐴
=−𝑐𝑠𝑐𝐴
Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del ángulo que
satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor).
Ejemplos Resolver la siguiente ecuación para 0 < x < 90º

8 sen x = 2 +
4
csc 𝑥
8 sen x = 2 + 4 senx
4 sen x = 2
sen x = 2/4 = ½

x = sen-1(1/2) luego x = 30º
cos (70 – x) = cos (x – 10)
70 – x = x – 10
70 + 10 = 2x; luego x = 40

2
tan x = 1 + tan 𝑥
tan2x = tan x + 2
tan2x – tan x – 2 = 0
(tan x – 2) (tan x + 1) = 0 factorizando
tan x = 2 tan x = -1
x = tan-1 2
x = tan-1 -1
x = 63.43º
x = -45º
ACTIVIDAD
Se propone la solución de los siguientes ejercicios
Demostrar las siguientes identidades
1.
𝑠𝑒𝑐𝐵−1
𝑠𝑒𝑐𝐵+1
=
1−𝑐𝑜𝑠𝐵
1+𝑐𝑜𝑠𝐵
2. 𝑠𝑒𝑛𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑡𝐵 = 𝑐𝑠𝑐𝐵
3. (𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑡𝑎𝑛𝛼)(𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑡𝛼) = (𝑐𝑜𝑠𝛼 − 1)(𝑠𝑒𝑛𝛼 − 1)
4.
𝑐𝑠𝑐 2 𝑥
= 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥
1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥
5. 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑛2
6.
1−2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥
7. 1 − 𝑐𝑜𝑡 4 𝛽 = 2𝑐𝑠𝑐 2 𝛽 − 𝑐𝑠𝑐 4 𝛽
8.
9.
𝑐𝑜𝑡𝑦−1
= 𝑐𝑜𝑡𝑦
1−𝑡𝑎𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠 2 𝜔+𝑡𝑎𝑛2 𝜔−1
𝑠𝑒𝑛2 𝜔
= 𝑡𝑎𝑛2 𝜔
10. (𝑐𝑜𝑠 2 𝐴 − 1)(𝑡𝑎𝑛2 𝐴 + 1) = 1 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝐴
11.
(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃+𝑡𝑎𝑛2 𝜃)2
𝑠𝑒𝑐 4 𝜃−𝑡𝑎𝑛4 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝐴
12. 𝑡𝑎𝑛𝐴 +
13.
14.
1+𝑠𝑒𝑛𝐴
= 𝑠𝑒𝑐𝐴
𝑐𝑜𝑠3 𝜑−𝑠𝑒𝑛3 𝜑
𝑐𝑜𝑠𝜑−𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑠𝑒𝑛𝐴
1+𝑐𝑜𝑠𝐴
+
= 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
= 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑
1+𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴
= 2𝑐𝑠𝑐𝐴
15. 𝑐𝑠𝑐 4 𝛽 − 𝑐𝑜𝑡 4 𝛽 = 𝑐𝑜𝑡 2 𝛽 + 𝑐𝑠𝑐 2 𝛽
Simplificar las siguientes expresiones
16. 𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 − 𝑡𝑎𝑛2 𝛼
17. 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4 𝑥
18.
1
𝑠𝑒𝑛2 𝐵
-
𝑐𝑜𝑠 2 𝐵
𝑠𝑒𝑛2 𝐵
19. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑐𝑠𝑐𝛼
20.
𝑡𝑎𝑛2 𝑤
(1−𝑐𝑜𝑠 2 𝑤)2
Resolver las siguientes ecuaciones en el conjunto dado
21. 2cos2x + cosx – 1 = 0
0 ≤ x ≤ 2π
22. Cosx + senx = 1 0 ≤ x ≤ 2π
23. sen 2x + sen 4x = 0
0 ≤ x ≤ 2π
Bibliografía
Red de Matemáticas de Antioquia.
Nociones de trigonometría y geometría
analítica
Moreno Gutiérrez Vladimir. Nuevo Alfa 10. Grupo Editorial Norma, Bogotá
2001
Matemáticas 10. Editorial Santillana, Bogotá