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GEOMETRÍA INTEGRADA
GIX 14-82
(Agosto 4-9), (Agosto 11-16)
JOHN JAIRO DUQUE JIMENEZ
DOCENTE;
JUAN DAVID BUILES
Instituto Tecnológico Metropolitano
Institución Universitaria
(ITM)
MEDELLIN
2008
Congruencia de triángulos
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos
presentan ángulos de igual medida o congruentes, así como lados iguales, aunque no
necesariamente en la misma posición.
Condiciones de congruencia
Para que se dé la congruencia de dos o mas triángulos se requiere que sus lados sean
iguales. Por lados iguales se refiere a que los tres lados del triángulo tengan
exactamente la misma medida en valores numéricos. Esta condición implica que los
ángulos también son iguales.
Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño.
Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o
correspondientes.
Criterios de congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son, sin
embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas
de sus partes correspondientes son homologas.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean
congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

Criterio LLL: si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente
congruentes con los de otro entonces los triángulos son congruentes.

Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con
dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los
triángulos son congruentes.

Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente
congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces
los triángulos son congruentes.

Criterio LLA: si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de este, y el
ángulo superior del lado más largo del triangulo son congruentes con los del
otro triangulo.
TEOREMA DE THALES: Primer teorema
Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O. Sean A y A' dos
puntos de (d), y B y B' dos puntos de (d'). Entonces:
Tales de Mileto
Es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema
establece así una relación entre el álgebra y la geometría.
La primera figura corresponde a medidas algebraicas positivas - los vectores OA, OA',
OB y OB' tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d'), y la segunda a cocientes
negativos.
Si se aplica el teorema, tenemos además otra consecuencia: si se orienta de la misma
manera las dos rectas paralelas (AB) y (A'B'), es decir con el mismo vector, entonces
el tercer cociente (de medidas algebraicas): A'B' / AB es igual a los dos anteriores.
A veces se reserva el nombre de teorema de Tales al sentido directo de la
equivalencia, y el otro sentido recibe el nombre de recíproca del teorema de Tales.
Este teorema es un caso particular de los triángulos similares o semejantes.
Una aplicación del Teorema de Tales
Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol.
1. Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C
2. Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz)
en el mismo instante. = B
3. Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A
Y obtenemos
donde D es la altura real del árbol.
También se puede relacionar para medir una distancia, cuya finidad no pueda ser
medida, y apoyándose en un punto.
Segundo teorema
Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el
ángulo ACB es recto.
Tales de Mileto
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos.
Prueba: OA = OB = OC = r, radio del círculo. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por
dos, se obtiene
(o 90º). Además dice que la bisectriz de
un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos
iguales.Hipotenusa (al cuadrado) = C(Al cuadrado) + C(Al cuadrado, es decir
AB²=CA²+CB². En conclusión se forma un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras, fue descubierto por uno de los discípulos de Pitágoras,
llamado Hipaso de Metaponto, según la tradición. Es uno de los más conocidos y
estudiados. Lleva el nombre de Pitágoras porque se atribuye el descubrimiento a la
escuela pitagórica. Establece lo siguiente: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la
hipotenusa es , se establece que:
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un
Triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el
Coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones
seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el
centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón
entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el
adyacente,
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al
seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o
también su inverso multiplicativo:

secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su
inverso multiplicativo:

cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o
también su inverso multiplicativo:
Teorema del seno
Teorema del seno.
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las
longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente
opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son
respectivamente a, b, c, entonces
Teorema del coseno
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los
triángulos no rectángulos que relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con
el coseno del ángulo formado por estos dos lados. Es un teorema comúnmente
utilizado en trigonometría que establece:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente
opuestos a estos ángulos entonces: