Download módulo 14 - TramixSakai ULP

EPD
MÓDULO 14
Conjuntos Numéricos
Los números naturales: Hace muchísimo tiempo, el hombre solo conocía los Números
Naturales. Así podía conversar de, por ejemplo:
 “Hoy vi dos leones”
 “Con esos 13 caracoles, hice 1 collar”
 “Hoy pinté 4 dibujos nuevos en la caverna”
Por ese entonces, con estos
números era suficiente para
desenvolverse bien
Esta era entonces la recta numérica
𝑛
Escribimos “n “simbolizando que los números naturales “siguen hasta el infinito”
Se utilizaban y aún se utilizan para contar elementos de un conjunto. Los números naturales
sirven para contar y ordenar fundamentalmente.
El nombre “Números Naturales” seguramente surge debido a que estos números son los que
aparecen por primera vez en el proceso natural de contar o enumerar los objetos de un
conjunto.
A los números naturales los denotaremos con el símbolo ℕ, esto es:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5...}
Los números naturales y el cero: Con el tiempo surgió la necesidad de utilizar el CERO, ya que
se dieron cuenta que necesitaban expresar la ausencia de unidades.
La historia de número cero es una larga historia, en realidad, el 0, es uno de los
números más modernos de todos, no hace tantos años que se empezó a utilizar, hubo
muchas culturas que tenían sistemas de numeración en los que no hacía falta utilizar el
cero, por ejemplo los romanos tenían un sistema de numeración romano y no tenían un
símbolo que represente al cero, es decir que no tomaban al 0 en cuenta como un
número más. El principal motivo que hizo a la necesidad de contar con un símbolo que
represente al cero fue el tema de las operaciones, ya que es mucho más fácil poder
sumar, restar, dividir , multiplicar, etc. Cuando contamos con un símbolo para poder
expresar la ausencia de la unidad.
Así que a los números naturales se les agregó el Cero
Escuelas Digitales- Universidad de la Punta
1
EPD
MÓDULO 14
Los Números enteros:
Si se requiere dar solución a la sustracción 4 – 9, es necesario encontrar un número que
sumado a 9 de cómo resultado 4. Este número no existe en ℕ
Para que la sustracción tenga siempre solución, se extiende la recta numérica hacia la
izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponde un
punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero.
Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al
cero, representa un número negativo.
Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números
naturales, el cero y los números negativos. Este conjunto se denota por ℤ, donde:
ℤ={..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Una representación gráfica de en la recta numérica se muestra en la siguiente figura:
Veamos lo siguiente:
-3
ℤ
-2
-10
-1
-5
ℤ
ℕ
1
5
3
2
En la figura podemos ver que el numero 5 está dentro de los números naturales y también
dentro de los números enteros, por lo tanto el 5 es un número natural y entero.
Ahora vemos el número -5 está dentro de los números enteros pero no está en los números
naturales, por lo tanto el -5 es un número entero.
Escuelas Digitales- Universidad de la Punta
2
EPD
MÓDULO 14
Podemos decir en general que todos los números naturales son también números enteros.
Los números racionales:
Si tratamos de resolver una ecuación como 3x=7, sólo conociendo el conjunto ℤ , nos damos
cuenta que carecemos de dicha solución. Debido a esto, se ha hecho necesario encontrar un
conjunto que “extienda” a ℤ. Dicho conjunto está formado por los números racionales que
denotaremos por ℚ , y que se definen de la siguiente forma:
𝒑
Decimos que 𝒂 es un número racional, si es posible expresarlo de la forma 𝒂 = , donde
𝒒
𝒑, 𝒒
pertenecen a ℤ y 𝒒
≠ 𝟎.
Por ejemplo:
2,25 =
9
−0,6 = −
5
3
1, 3̂ =
5
4
3
Una representación gráfica de en la recta numérica se muestra en la siguiente figura:
Los números enteros se pueden expresar como fracción con denominador 1, por lo tanto, todo
número entero es también un número racional, esto es, por ejemplo:
8=
8
1
Recuerda: los decimales se clasifican en decimales exactos, decimales periódicos puros y
decimales periódicos mixtos, y todos ellos pueden ser expresados como fracción y por lo
tanto son números racionales.
Números irracionales:
Tienen infinitos decimales no periódicos, NO se los puede expresar como fracción.
Ejemplo:
Perímetro
Diámetro
Escuelas Digitales- Universidad de la Punta
3
MÓDULO 14
EPD
Como sabemos, los griegos se dieron cuenta que el perímetro de
cualquier circunferencia equivale a 3,1415926… veces el diámetro.
El número 𝜋 = 3,14159265358979323846264 …etc, etc. Tiene infinitos decimales no
periódicos (y NO se lo puede representar mediante fracción) entonces es un número
IRRACIONAL.
Veamos otro ejemplo, Pitágoras se preguntaba esto: ¿Cuánto vale la diagonal de un cuadrado
de lado 1?
√2
Lado = 1
..Así calculando llego a la acertada conclusión que esa diagonal vale:
√2 = 1,4142134523730950488016887242097…
Y este número al igual que el número 𝜋 NO se puede representar mediante una fracción y por
lo tanto es también un número IRRACIONAL.
LOS NUMEROS REALES: El conjunto de los Números Reales incluye a todos los que veníamos
estudiando, inclusive los IRRACIONALES.
Nota: Fijate que los conjuntos que quedan “encerrados” adentro de otro conjunto es porque
están INCLUIDOS en ellos.
Escuelas Digitales- Universidad de la Punta
4
MÓDULO 14
EPD
EJERCITACIÓN
Ejercicio 1. Responder Verdadero o Falso
a. El 0 es un número entero
b.
1
2
c.
d.
e.
f.
g.
El 2 pertenece a los números racionales.
Las raíces cuadradas que no son exactas, son números Irracionales.
Todos los números naturales son números Reales.
Los números enteros son también números Naturales
5, 4̂ es un número racional.
es una fracción, y por lo tanto pertenece a los Irracionales.
Ejercicio 2. Responde
a. ¿Nos alcanza el conjunto de números naturales para medir las temperaturas
ambientales? ¿Por qué?
b. ¿Cómo representarías 400 Años Antes De Cristo? ¿A qué conjunto numérico
pertenece dicho valor?
c. Si tenemos los siguientes números: 11, -1, 2, 50, -3, 0, 15, -21, y queremos
definir un conjunto numérico que los contenga a todos, ¿cuál elegirías? ¿Por
qué?
d. Supongamos una lista de precios de un supermercado, ¿ a qué conjunto
numérico pertenecerían esos valores?
e. ¿Cuántos números racionales hay entre 1 y 2?
f. ¿Cuántos números enteros hay entre 5 y 6?
Escuelas Digitales- Universidad de la Punta
5