Hipótesis generalizada de Riemann

La hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes de la matemáticas. Es un postulado sobre los ceros de la función zeta de Riemann. Existen varios objetos geométricos y aritméticos que pueden ser descritos por las llamadas funciones-L globales, las cuales son similares de manera formal a la función zeta de Riemann. Por lo tanto uno puede hacerse la misma pregunta sobre los ceros de estas funciones-L, lo que conduce a varias generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen que estas generalizaciones de la hipótesis de Riemann son verdaderas. Los únicos casos de estas conjeturas que se han podido demostrar ocurren en el caso del cuerpo de funciones (no en el caso del cuerpo de números). Las funciones-L globales pueden estar asociadas a curvas elípticas, cuerpos numéricos (en cuyo caso se las llama funciones zeta de Dedekind), Formas de onda de Maass, y caracteres de Dirichlet (en cuyo caso se las llama funciones L de Dirichlet). Cuando la hipótesis de Riemann se formula para funciones zeta de Dedekind, se la conoce por el nombre de hipótesis extendida de Riemann y cuando se la formula para funciones-L de Dirichlet, se la conoce por el nombre de hipótesis generalizada de Riemann. Estas dos situaciones son analizadas con mayor detalle en las siguientes secciones. (Muchos matemáticos utilizan el nombre hipótesis generalizada de Riemann para referirse a la extensión de la hipótesis de Riemann a todas las funciones-L globales, no solo para el caso especial de las funciones-L de Dirichlet.)