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Matemáticas 1204, 2013 Semestre II
Tarea 2
Esta tarea es para entregar veirnes, el 9 de agosto al inicio de clase
(10:00am). No aceptaré tareas después de esa hora.
Es permitido discutir estos problemas con compañeros o con otros estudiantes, pero usted debe argumentar cada solución con sus propias palabras.
Para todos estos problemas, una variable como x, y, etcétera denota un número real.
Problema 1: Para cada parte, dibuje el conjunto de todos los puntos en
el plano x-y que satisfacen las condiciones siguientes. (Aquí, y no es necesariamente una función de x.)
(i) |x + y| = 2
(ii) xy 2 = 0
(iii) Ambos los números
x
2
y
y
3
son enteros
Problema 2: (i) Si f (x) = x2 + x + 1 (con dominio todo R), encuentre una
formula para (f ◦ f )(x).
(ii) Si h(x) = x4 +2x2 +2, encuentre una función g tal que h = g ◦g. Ayuda:
Hay una función g polinómica que sirve.
(iii) En la parte (ii), ¿hay más de una función g tal que h = g ◦ g? En caso
que sí, escriba otra función g; en caso que no, explique por qué no.
Problema 3: Encuentre una función f con dominio R tal que:
(i) (f ◦ f ◦ f )(x) = x para todo x en R; y, a la vez,
(ii) existe algún x tal que f (x) 6= x.
Problema 4: Para cada función abajo, encuentre (i) el conjunto el más
grande de números que puede ser su dominio, (ii) el rango de la función, asumiendo el dominio es el conjunto que encontró en la parte (i), y (iii) dibuje su
gráfica.
(i) f1 (x) =
n−1
2 ,
si x =
el entero k más cercano a x,
1
n
2
para un entero n donde n es impar;
en todos los otros casos
(ii) f2 (x) = | |x − 1| − |x − 2| |
(iii) f3 (x) =
√
1
x3 −7x2 +10x
(iv) f4 (x) = 3(x − 1)(x − 2)
Problema 5: Para cada parte, diga si la afirmación es verdadera o falsa.
En caso que es verdadera, explique claramente por qué, con un argumento
gneeral; o si es falsa, explique por qué es falsa con un contraejemplo.
(i) Si f es una función creciente (en todo R), entonces f ◦ f también es
creciente.
(ii) Si f es una función con dominio R y f ◦ f es creciente (en todo R),
entonces f también es creciente.
Problema 6: Sean f y g funciones polinómicas, es decir, que tienen la
forma
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
y
g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b0 ,
donde n, m son enteros y los ai y los bi son constantes.
(i) Dé ejemplos de f y g polinómicos tales que f ◦ g 6= g ◦ f .
(ii) Dé ejemplos de f y g polinómicos tales que f 6= g pero f ◦ g = g ◦ f .
Problema 7∗ :1 ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación?
“Para toda función f : R → R con dominio R, existe otra función g : R → R
tal que f = g ◦ g.”
O pruebe que es verdadera, o dé un contraejemplo (con una explicación clara
de por qué no existe una tal g).
Problema 8: Escriba su propia pregunta acerca de los temas de esta tarea,
e intente dar una respuesta si puede.
1 Sigo la tradición de los libros matemáticos de poner una estrella a los ejercicios que son
más difíciles.
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