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Práctico No1. Números Complejos
1) En cada caso determinar si el número complejo z que se da es un número real ,
imaginario puro o ninguna de ambas opciones. Indicar en cada caso
√ sus partes real
√
√
√
2
Re(z) e imaginaria Im(z): a) 4 + 5i b) −4, 3 c) 5 d) −2i e)
f) 2 + 3 g)
2
i − 3 h) i6
2) Efectuar las operaciones indicadas. Expresar el resultado en forma binómica e indicar
sus partes real e imaginaria.
a) 45 + 7i + 16 − 3i
g) (2 − i) + 3(i − 1)
b) (3 + 9i) − (3 + 7i)
4
h) (4 + 3i)( 25
−
c) − 13 i − ( 12 − 53 i)
i) i15
d)
√
√
3+i
3−i
e) (− 13 − 12 i)(2 − 45 i)
f)
8−i
2 + 3i
3
i)
25
3
5 − 4i
( 12 − i).( 21 − i)
j)
−
5i − 4
k)
l)
1
4
+i
(− 31 i) + ( 13 + 3i)
+ (− 31 − 3i)
41
2 + 5i
(1 − i) (4 − 4i)2
(2i)7
3) Representar gráficamente cada uno de los siguientes complejos con su opuesto y su
conjugado: 7 + i,
3i, −2 + 3i, −2 − 6i, 4 − 2i y −4. ¿qué relación geométrica
existe entre ellos?
4) Sean z = a + bi y w = c + di dos números complejos cualesquiera (donde a, b, c y d son
reales). Probar las siguientes propiedades de la conjugación de números complejos:
1
z
d)
b) z + w = z + w
e)Si z es distinto de 0, entonces z −1 =
c) z w = z w
f ) z = z si sólo si z ∈ R
w
=
z
w
a) z = z
z
|z|2
5) Resolver los siguientes problemas:
a) La parte real es el doble de la parte imaginaria y la suma de tales partes es 8, ¿cuál
es el complejo?
b) La suma de dos complejos conjugados es 18 y la diferencia es 4i, ¿cuáles son dichos
complejos?
c) El producto de un complejo con su conjugado es 80. Si la componente real es 4, ¿cuál
es la otra componente?
6) Expresar en forma trigonométrica (o polar), los siguientes números complejos expresados en forma binómica o exponencial. Representar gráficamente.
√
2
2
√
a) 1 − i
b) −
d) 2 − 2i
e) − 1 − i
+
2
i
2
1
c) 2ei 4 π
7
f ) ei 4 π
7) Expresar en forma canónica a + bi, donde a y b son números reales, los siguientes
números complejos:
a) 4 (cos 45◦ + isen45◦ )
b) 3 cos 25
π − i sen 25
π
6
6
c) 8eiπ
7
d) ei 4 π
8) Probar el Teorema 1, dado en la página 8.
9) Expresar en cada caso z1 y z2 en forma trigonométrica y utilizar estas expresiones
z1
para calcular z1 z2 y .
z2
2
a) z1 = −1 + i z1 = 1 + i
b) z1 = −3i z1 = 2i
√
c) z1 = 4 − 4 3i z1 = 4cis( 12 π)
10) Resolver usando el teorema de De Moivre. Grafique el resultado marcando sus coordenadas polares (con ángulo 0 ≤ θ < 2π) y rectangulares.
13
√
2 cos π3 + i sin π3
b) [4 cos π4 + i sin π4 ]19
a)
c) (−1 + i)29
d)
h
√
−
2
2
√
+
2
i
2
i20
11) Demostrar que si z = reiθ , su inverso multiplicativo es z −1 = 1r e−iθ .
√
√
√
2
2
u
12) Dados u = −
+
i y v = 2 − i 3. Calcular en forma exponencial: uv, v −1 , y
2
2
v
u4 v.
13) Determinar los valores de la variable real x, que hacen que z = (−3 − 2i) (3 + xi),
sea un número real o imaginario puro. Indique los valores que toma el producto en
cada caso.
14) Representar gráficamente el conjunto de números complejos z tales que:
a) z = a + bi con b > 0
d) |z| < 1
g) z = reiθ , con θ =
b) z = a + bi con a ≥ 0 y b < 0
e) 1 < |z| ≤ 2
h) z = rcisθ, con
c) |z| = 1
f ) z = −z
i) z = z
π
3
π
3
y r ∈ R+
< θ ≤ 5 π3 y r ∈ R+
15) Encontrar:
1. Las dos raı́ces cuadradas de 9i. Graficar.
2. Las cinco raı́ces quintas de la unidad. Graficar.
3. Si se encuentran las n raı́ces n−ésimas de un complejo no nulo reiθ , ¿qué figura
geométrica forman todas ellas?.
16) Calcular el valor de
i4 − i3
y las raı́ces cuarta del resultado.
16i
3
17) Hallar todas las soluciones reales y/o complejas de las siguientes ecuaciones:
a) z 2 + z + 1 = 0
b) z 3 + 3z = 0
c) z 4 + 3z 2 − 10 = 0
1
=i
z
e) iz = (1 + i) (1 − i)
3−i
f)
z=i
3+i
g) z 6 + 64 = 0
d)
h) (z 3 + 216) (1 − 2z + 2z 2 ) = 0
i) z 3 + i = −1
18) a) Obtenga todos los números complejos cuyo cubo es igual al de w = 2 + 3i.
b) Si una raı́z cuarta de un número complejo z es wo = −2, calcular el complejo z y sus
otras raı́ces cuartas. Graficar.
19) Los ingenieros electricistas utilizan con frecuencia la forma trigonométrica de los
números complejos, para descubrir la intensidad de la corriente I, el voltaje V
y la resistencia R de circuitos eléctricos con corriente alterna. La resistencia es la
oposición al paso de la corriente en un circuito. La relación entre esas tres cantidades
es
I=
V
R
1. Calcular en cada caso la cantidad desconocida:
π
a) Determinar el Voltaje: I = 10ei35 , R = 3ei 6 .
b) Determinar la Resistencia: V = 8 (cos 5o + isen5o ) , I = 115 cos π4 + isen π4 .
c) Voltaje real. La parte real de V representa el voltaje real entregado a un aparato
eléctrico, en volts. Calcular aproximadamente ese voltaje cuando:
I = 4 cos π2 + isen π2 ,
R = 18 (cos 320o + isen320o ) .
d) Módulo de la Resistencia: el módulo de resistencia |R| , representa la oposición
total al flujo de corriente en un circuito, y se mide en ohms. Calcular |R|, si R = 14 − 13i.
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