Download Práctico N 1. Números Complejos

Práctico No1. Números Complejos
1) Clasi…car los siguientes números complejos en reales o imaginarios.pEspeci…car en cada caso cuál es la
p
p
p
2
parte real y cuál es la imaginaria: a) 5 + 7i b) 3 c) 5 d) 3i e)
f) 2 + 3 g) 3 i:
2
2) Escribir tres números complejos, tres imaginarios puros y tres reales.
3) Efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado en forma binómica.
a) (5 + 7i) + (5
7i)
b) ( 3 + 3i) + 3(1
c) (3 + 4i)
1
i
3
d)
e)
p
1
3
f) (
g)
j) ( 32 + 15 i) + (
3i)
3
i)
5
p
3
1
i)(2
2
l)
i
n)
3
2 + 4i
o)
k) 6i; l)
( 12
i):( 12
5i
1
3
2
5
53
i,
15
i)
1
4
+ ( 13 + 3i)
+(
5i24
(5 + 3i) + ( 3
(1 i)4
n)
1
4
4
i;
15
1
i,
4
e) 2, f)
o) 2
4
i)
5
+i
i49
+
1
i)
5
( 53 i) + ( 3
i) (4 4i)2
(2i)7
1
2
( 12
+ 4i)
(1
6i, c) 2 + i; d)
i, m)
1
i)
3
(
m)
4
i)
5
Rta.:a) 10; b)
1)
k) 5i + ( 3 + 54 i)
(1 + 3i)
( 21
3+i
i) (2 + 3i) + (i
1
3
3i)
3i)
16
15
11
i;
15
g)
3
10
3
i;
5
h)
1
;
2
2
2i; 3
i) 1 + 2i; j)
2
3
+
22
i;
5
1
i.
4
4) Representar grá…camente los números complejos; 3 + 4i; 3i;
2 + 3i;
4i y 3:
5) Representar grá…camente el opuesto y el conjugado de los siguientes números: 3 + 4i; 3i y 3:
6) Gra…car z,
z; z y
z: Si z = 3 + 2i ¿qué relación geométrica existe entre ellos?
7) i) Probar las siguiente propiedades del conjugado de un número complejo.
z
w
e)
b) z + w = z + w
f ) Si z = a + bi entonces: z z = a2 + b2
c) z
g) z = z si solo si z 2 R
w= z
d) z w = z w
w
h) z =
=
z
w
a) z = z
z si solo si iz 2 R
1
Álgebra 2010
ii) Veri…que que, para cualesquier números complejos u y v, los números uv y uv son complejos conjugados.
8) Resolver los siguientes problemas:
a) La parte real es el doble de la parte imaginaria y la suma de tales partes es 6, ¿cuál es el complejo?
b) La suma de dos complejos conjugados es 18 y la diferencia es 4i, ¿cuáles son dichos complejos?
c) El producto de un complejo con su conjugado es 80. Si la componente real es 4, ¿cuál es la otra
componente?
d) Determinar para qué valores de x son reales las siguientes expresiones:
i) 2 + xi = 0
ii) 1 (x 2)i = 0
Rta: d) i) x = 0;
2i d) ii) x = 2; 2
i.
9) Expresar en forma trigonométrica (o polar), los siguientes números complejos: Representar grá…camente.
a) 1 + i
c)
b) 2
d)
2i
p
2
2
+
1
i
p
2
i
2
1
e) 2ei 4
f)
p
g) 5 (cos 6
2 (cos 405 + i sen405)
i sen6 )
7
h) ei 4
10) Expresar en forma canónica a + bi, donde a y b son números reales, los siguientes números complejos:
a) 4 cos
4
+ isen 4
b) 3 cos 25
6
i sen 25
6
c) 2ei
7
d) ei 4
11) Probar el Teorema 1, dado en la página 8.
z1
, para los números complejos dado en cada caso. Expresar el resultado en forma
z2
canónica (o binómica).
p
a) z1 = 1 + i z1 = 1 + i
b) z1 = 3i z1 = 2i
c) z1 = 4 4 3i z1 = 4cis( 12 )
12) Calcular z1 z2 y
13) Resolver usando el teorema de De Moivre y expresar el resultado en forma binómica.
p
12
32
a)
2 cos 3 + i sin 3
c) 4 cos 4 + i sin 4
b) ( 1 + i)28
Rta: b) 16 384; d) 1:
d)
h
p
2
2
+
p
2
i
2
i20
14) Demostrar:
a) Si z = r(cos + isen ), su inverso multiplicativo es z
1
= 1r (cos
isen ):
b) Si z = rei , su inverso multiplicativo es z 1 = 1r e i :
p
p
p
2
2
+
i y v = 2 i 3: Usar la forma exponencial para hallar: uv, v
15) Dados u =
2
2
2
1
y
u
.
v
Álgebra 2010
16) Determinar el valor de x, para que z = ( 3
exponencial.
2i) (3 + xi), sea un número real. Expresar z en forma
17) Dados los siguientes complejos:
z1 = 4 + 3i
z4 = 4 cos
z2 = i
4
z5 =
+ isen 4
z3 =
3
3i
p
3cis 74
z5 = 3ei
30
Resolver en forma exponencial:
a) z4 1
b) z5 1
c) z54
d)
z1 + z2
z3 + z4 1
e) (z1 z2 )2 + z23
f)
z1 + z285
z3 + z4
18) Representar grá…camente el conjunto de números complejos z tales que:
a) z = a + bi con b > 0
b) z = a + bi con a
d) jzj < 1
0yb
0
c) jzj = 1
e) 1 < jzj
f) z =
2
z
g) z = rei ; con
=
3
h) z = rcis ; con
3
<
y r 2 R+
5 3 y r 2 R+
i) z = z
19) Encontrar:
a)
1. Las dos raíces cuadradas de la unidad. Gra…car.
b) Las cinco raíces quintas de la unidad. Gra…car.
c) Si se encuentran las n raíces n
esimas de la unidad, ¿qué …gura geométrica forman todas ellas?.
20) a) Resolver, en forma trigonométrica, (1 + 3i)2 (3
4i) :
b) Calcular las raíces cúbicas del resultado. Gra…car.
p
Rta: a) 50i; b) wk = 3 50 [cis (30 + 120k)] ; con k = 0; 1; 2.
21) Calcular el valor de
i4 i3
y las raíces cuarta del resultado.
16i
22) Hallar todas las soluciones reales y/o complejas de las siguientes ecuaciones:
1
=i
z
b) z 3 + 3z = 0
e) iz = (1 + i) (1 i)
3 i
c) z 4 + 3z 2 10 = 0
f)
z=i
3+i
p
p
p p
3
3
1
Rta: a) 21
i;
+
i
b)
0;
i
3; i 3 c)
2
2
2
a) z 2 + z + 1 = 0
d)
g) z 6 + 64 = 0
h) (z 3 + 216) (1
i) z 3 + i =
p
2;
2z + 2z 2 ) = 0
1
p p
p
2; 5i;
5i d) i e) 2i;f) z =
3
5
+ 45 i:
23) a) ¿De qué número complejo z es raíz cúbica w = (2 + 3i)?
b) Si una raíz cúbica de un número complejo z es wo = 2i: Calcular el número y las otras dos raíces.
Gra…car.
Rta: a) 46 + 9i; b) z =
8i; w1 = 2 (cos 210 + isen210) ; w2 = 2 (cos 330 + isen330)
3
Álgebra 2010
Problemas de Aplicación
24) Hallar las coordenadas polares y cartesianas de los vértices de un hexágono regular de radio 3; sabiendo
que un vértice esta situado en el eje x:
25) Hallar las coordenadas de los vértices de un cuadrado inscripto en una circunferencia de centro en el
origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es 1 + 2i:
26) Un estudiante de ingeniería electrónica se interesó en conocer el funcionamiento de las computadoras
en cuanto a cómo pueden mostrar un reloj de agujas en la pantalla. Investigando, descubrió que el
reloj podía ser representado en el plano cartesiano y que, para cada instante, la posición del minutero
representa un número complejo.
Por ejemplo, suponiendo que la aguja mide 1 (es decir, el módulo del número es 1), 0 minutos representa
al número i, 15 minutos representa al número 1; 30 minutos representa al número i, y 1 representa 45
minutos.
a) ¿Por qué número complejo se debe multiplicar a i para pasar de 0 minutos a 15 minutos? ¿Y para
pasar de 0 minutos 45 minutos?
p
p
2
2
+
i y
b) ¿Cuántos minutos después de cero están representados por los números complejos
2
2
p
p
2
2
i?
2
2
27) La impedancia compleja de un circuito eléctrico constituido por un resistor R, un capacitador C y
un inductor L conectados en serie está dada por la siguiente expresión:
1
z = R + j(wL
)
wC
4
Álgebra 2010
donde j equivale a la unidad imaginaria i, R, L y C son constantes positivas para un circuito dado,
y es una variable real y se le llama pulsación angular de la señal aplicada:
a) Determinar ! > 0 tal que Im(z) = 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito se
como resistivo puro.
b) Determinar ! > 0 tal que Im(z) > 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito s
como inductivo.
c) Determinar ! > 0 tal que Im(z) < 0: Físicamente, se dice que en este caso el circuito s
como capacitivo.
d) Determinar ! > 0 tal que Re(z) = Im(z):
Nota: En electrónica se reemplaza la unidad imaginaria i por j, puesto que el símbolo i es
para denotar intensidad de corriente.
comporta
comporta
comporta
empleado
28) Los ingenieros electricistas utilizan con frecuencia la forma trigonométrica de los números complejos,
para descubrir la intensidad de la corriente I, el voltaje V y la resistencia R de circuitos eléctricos
con corriente alterna. La resistencia es la oposición al paso de la corriente en un circuito. La relación
entre esas tres cantidades es
V
I=
R
Calcular en cada caso la cantidad desconocida:
a) Determinar el Voltaje: I = 10ei35 ; R = 3ei 6 :
b) Determinar la Resistencia: V = 8 (cos 5o + isen5o ) ; I = 115 cos 4 + isen 4 :
c) Voltaje real. La parte real de V representa el voltaje real entregado a un aparato eléctrico, en
volts. Calcular aproximadamente ese voltaje cuando:
I = 4 cos 2 + isen 2 ;
R = 18 (cos 320o + isen320o ) :
d) Módulo de la Resistencia: el módulo de resistencia jRj ; representa la oposición total al ‡ujo de
corriente en un circuito, y se mide en ohms. Calcular jRj, si R = 14 13i:
5
Álgebra 2010