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Funciones algebraicas
Las funciones polinomiales tienen una gran aplicación en la elaboración de modelos
que describen fenómenos reales. Algunos de ellos son: la concentración de una sustancia
en un compuesto, la distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de
cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión,
la variación de la altura de un proyectil, entre otros.
Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando
un número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones
algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de
raíces.
Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de
correspondencia viene dada por:
.
Definición:
“Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una
expresión algebraica”.
Funciones Trascendentes
No siempre se puede modelar con funciones del tipo algebraico; esto ha dado lugar
al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se clasifican
en: las trigonométricas y sus inversas, relacionadas con el triángulo rectángulo; y las
logarítmicas y exponenciales, más asociadas a una variación en progresión geométrica
(crecimiento poblacional, por ejemplo).
Definición:
Se llama función trascendente, aquella cuya variable y
contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas.
Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:
Algebraicas
Funciones
Logarítmicas
Trascendentales
Trigonométricas
Exponentes
2.2.1. Función Polinomial.
Función Polinomial
Como se mencionó, dentro de las funciones algebraicas tenemos un conjunto de
funciones que llamamos “funciones polinomiales y son aquellas cuya regla de
correspondencia es un polinomio”. Recordando que el grado de un polinomio es el
exponente mayor de la variable, podemos hablar de una función polinomial de grado n.
Definición:
Llamamos a una función polinomial de grado n, si tiene la
forma
Función Polinomial
f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n −1 x + a n , a 0 ≠ 0
en donde n es un entero positivo.
Todas las funciones polinomiales tienen como dominio al conjunto de números
reales R, pero su contradominio varía dependiendo del tipo de función que sea.
Una función polinomial puede considerarse como una suma de funciones cuyos
valores son del tipo cxk, donde c es un número real y k es un entero no negativo.
Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función
polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado),
función cúbica (función polinomial de tercer grado)
Función Identidad
Definición:
Función Identidad
La función de identidad se define mediante la expresión
f ( x) = x
“La función identidad tiene la propiedad de que a cada argumento
x del dominio le hace corresponder el mismo valor en el contradominio y, por
lo tanto, éste es R”. La gráfica de esta función es la recta que pasa por el origen
y tiene un ángulo de inclinación de 45°
FUNCIÓN
DOMINIO
CONTRADOMINIO
f ( x) = x
Todo número real
Todo número real
−∞ < x < ∞
−∞ < x < ∞
Función Constante
Definición:
Función Constante
La función constante se define mediante la expresión
f ( x) = k , en donde k es un número real diferente de cero.
“La función constante tiene la propiedad de que a cada argumento x del dominio le
hace corresponder la misma imagen k”.
A
B
-3
-2
-1
0
1
2
k
1. La gráfica de la función constante conlleva a una recta horizontal que dista k
unidades del eje x, por arriba si k > 0, o por abajo si k < 0. Figura 21
2. El grado de esta función es 0.
3. Su contradominio es en conjunto unitario {k}.
4. No tiene raíces.
yy =
= kk
k>0
k<0
y=k
Ejemplo: Grafica las siguientes funciones constantes en el conjunto de puntos indicado
1. f ( x) = 3
x
y=3
-5
3
-4
3
-3
3
-2
3
-1
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
3
-6
-4
-2
1
2
4
Función Lineal.
Definición:
La función lineal se define como una expresión de la forma
Función Lineal
f ( x ) = mx + k
“La función lineal es un polinomio de primer grado en el que su contradominio
coincide con el dominio, es decir, con R, y cuya gráfica es una línea recta donde m
representa la pendiente de ella, y k el punto donde ésta se intersecta con el eje y”. Esto lo
verificaremos más adelante con los ejercicios.
La función lineal sólo tiene una raíz en el punto (-k/m, 0), pues si f(x) = 0, mx + k
=0, de donde, despejando mx = -k, y finalmente, x = -k/m.
La m representa la pendiente de la recta y k, el intercepto con el eje y; solo basta con
calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal.
FUNCIÓN
DOMINIO
CONTRADOMINIO
f ( x) = mx + k
Todo número real
Todo número real
−∞ < x < ∞
−∞ < x < ∞
Ejemplo 1: Traza la gráfica de la función f(x) = 2x + 4
6
En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2,
4
por tanto la gráfica es creciente en los
2
números reales. El dominio y el recorrido es
0
-6
-4
-2
-2 0
-4
-6
2
el conjunto de los números reales.
intercepto en y es (0,4).
El
Ejemplo 2. Traza la gráfica de la función f ( x) = 3x − 6
y
x
y = 3x - 6
-4
-18
Raíz
-3
-15
3x – 6 = 0
-2
-12
3x = 6
-1
-9
x = 6/3
0
-6
x=2
1
-3
2
0
3
3
4
6
2
x
-6
Resumen:
1. Si m es positiva (m > 0), el ángulo que forma la recta con la parte positiva del
eje x es agudo.
2. Si m es negativa (m < 0), el ángulo es obtuso.
Función Cuadrática.
Definición:
Función Cuadrática. La función cuadrática es un polinomio de segundo grado. Tiene la
f ( x) = ax +bx + c, a ≠ 0
2
Para hallar las raíces
de una función cuadrática, utilizamos la fórmula general de
.
forma
segundo grado que tiene la forma:
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
y de la cual podemos obtener dos, una o ninguna raíz real dependiendo del discriminante b2
– 4ac bajo las siguientes condiciones.
2
b – 4ac
> 0 da lugar a dos raíces reales distintas.
= 0 da lugar a dos raíces reales iguales.
< 0 no da lugar a raíces reales.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola que abre hacia arriba si
a > 0 , o abre hacia abajo si a < 0 .
El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales.
El contradominio de esta función es el conjunto de números y tales que
y ≥ k si a > 0 , o bien y ≤ k si a < 0 , donde k es la ordenada del vértice de la parábola.
El vértice de la parábola se determina por la fórmula:
⎛ −b ⎛ −b ⎞ ⎞
⎜ , f ⎜ ⎟⎟.
⎝ 2a ⎝ 2 a ⎠ ⎠
Ejemplo 1. Determina el dominio y el contradominio de la función f ( x) = x 2
f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia
arriba, pues a > 0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y
el recorrido es cero y los reales positivos (y ≥ 0).
20
15
10
5
0
-5
0
5
Ejemplo 2.- Determina el dominio y el contradominio de la función f ( x) = − x 2
2
f(x) = -x es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia
abajo, pues a < 0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el
recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero (y ≤ 0).
0
-5
-5 0
-10
-15
-20
5
Ejemplo 3. Grafica las siguientes funciones cuadráticas y calcula sus raíces.
1. f ( x) = 2 x 2 − 8 x − 24
x
y = 2x2-8x-24
-4
40
-3
18
-2
0
-1
-4
0
-24
1
-30
x =
2
-32
x =
3
-30
4
-24
24
x1 =
4
5
-4
x1 = 6
6
0
x2 =
7
18
x2 = −2
8
40
Raíces
2x2 – 8x – 24 = 0
a = 2, b = -8, c = -24
x=
y
− (−8) ± (−8)2 − 4(2)(−24)
2(2)
8±
40
256
30
4
20
8 ± 16
4
10
-3
-2
-1
−8
4
1
2
3
4
5
6
7
x
-10
-20
-30
Función Cúbica.
Definición:
Función cúbica: La función cúbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la
forma:
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0 .
FUNCIÓN
DOMINIO
CONTRADOMINIO
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0
Todo número real
Todo número real
−∞ < x < ∞
−∞ < x < ∞
Ejemplo 1: Realiza la gráfica de la función y = x3
10
5
0
-5
-5
-10
0
5
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = x3
-27
-8
-1
0
1
8
27
RESUMEN DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES
GRADO
FUNCIÓN
DEFINICIÓN
DOMINIO
CONTRADOMINIO
CARACTERÍSTICAS
Asigna
0
Constante
f (x) = k
R
{k}
a
argumento
cada
la
misma
imagen k.
Recta horizontal.
No tiene raíces.
1
Identidad
f (x) = x
R
R
Asocia
a
cada
argumento del dominio
el mismo valor en el
contradominio.
Recta que pasa por el
origen con un ángulo de
0
45 .
Raíz en el punto
x = 0.
1
Lineal
f (x) = mx+ k
R
R
Recta
con
aguda
si
obtusa si
Raíz
inclinación
m>0
y
m < 0.
en
el
punto
x = − k / m.
2
Cuadrática
f (x) = ax2 + bx + c
R
y≥k
si
a>0
Parábola cuya ordenada
y≤k
a<0
del vértice es k.
si
Raíces
dadas
por
la
fórmula:
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
3
Cúbica
f (x) = ax3 + bx2 + cx+ d
R
R
Tiene al menos una raíz
real.