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CAMPO MAGNÉTICO
Interacciones
eléctricas
Interacciones
magnéticas
Una distribución de carga
eléctrica en reposo genera un
campo eléctrico E en el espacio
circundante.
Una carga en movimiento o una
corriente
genera
un
campo
magnético
en
el
espacio
circundante.
El campo eléctrico ejerce una
fuerza F=qE sobre cualquier otra
carga q presente en el campo.
El campo magnético ejerce una
fuerza F sobre cualquier otra
carga q en movimiento o corriente
presente en el campo.
El campo magnético B, al igual que el campo eléctrico, es un campo vectorial.
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO
Características de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento:
su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga
su magnitud es proporcional a la magnitud del campo magnético
su magnitud depende de la rapidez de la carga (si la carga está en
reposo, no experimenta fuerza magnética)
la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo
magnético B: es siempre perpendicular a B y a la rapidez v
La magnitud F depende de la orientación relativa entre B y v: es cero
cuando B y s son paralelos o antiparalelos.
r
rr r
F
F=
=q
qvv ×
×B
B
rr
F = qvB sin(ϕ )
F
q
-q
B
BB
φ
v
vv
v
F
FF
q positiva
r
r r
F = qv × B
r
F = qvB sin(ϕ )
De acuerdo con esta ecuación, el campo magnético
B debe tener las mismas unidades que F/qv:
F [ ][ s ]
[ ]
=
=
= 1Tesla = 1T
qv [C ][m] [ A][m]
Otra unidad de uso es el gauss: 1G =
10-4
T
El campo magnético de la
Tierra es del orden de 1 G
Cuando una partícula con carga se traslada a través de una región del espacio
donde están presentes un campo eléctrico y un campo magnético, ambos
campos ejercen fuerzas sobre la partícula:
r
r
r r r
r r
F = qE + qv × B = q ( E + v × B)
EJ. 27.1 Un haz de protones (q=1.6 10-19 C) se desplaza a 3 105 m/s a través
de un campo magnético uniforme con una magnitud de 2 T, dirigido a lo largo
del eje de las z positivo. La velocidad de cada protón yace en el plano xz
formando un ángulo de 30o respecto al eje de las +z. Halle la fuerza que se
ejerce sobre un protón.
La carga es positiva, la fuerza tiene la dirección del
producto v x B, es hacia abajo. La magnitud es:
q
F = qvB sin(φ ) = (1.6 10 −19 C )(3 105 m / s )(2T ) sin(30) = 4.8 10 −14 φ
B
v
F
r
v = (3 105 m / s ) sin(30)iˆ + (3 105 m / s ) cos(30)kˆ
r
B = (2T )kˆ
r
r r
F = qv × B = (1.6 10 −19 C )(3 105 m / s )(2T )(sin(30)iˆ + cos(30)kˆ) × kˆ =
= −( 4.8 10 −14 ) ˆj
27.1 Una partícula con una carga de -1.24 10-8 C se desplaza con una velocidad
instantánea:
r
v = (4.19 10 4 m / s )iˆ + (−3.85 10 4 m / s ) ˆj
¿Qué fuerza ejerce sobre esta partícula un campo magnético:
r
a) B = (1.4T )iˆ
r
b) B = (1.4T ) kˆ
r
r r
F = qv × B = (−1.24 10 −8 C )(4.19 10 4 iˆ − 3.85 10 4 ˆj ) × (1.4T )iˆ =
= (−1.24 10 −8 C )(−3.85 10 4 )(1.4T )( ˆj × iˆ) = 6.68 10 − 4 (− kˆ)
r
r r
F = qv × B = (−1.24 10 −8 C )(4.19 10 4 iˆ − 3.85 10 4 ˆj ) × (1.4T )kˆ =
= (−1.24 10 −8 C )(−3.85 10 4 )(1.4T )( ˆj × kˆ) +
(−1.24 10 −8 C )(4.19 10 4 )(1.4T )(iˆ × kˆ) =
6.68 10 − 4 iˆ + 7.27 10 − 4 ˆj
27.4 Una partícula con una masa de 1.81 10-3 kg y una carga de 1.22 10-8 C
tiene, en un instante dado, una velocidad:
r
v = (3 10 4 m / s ) ˆj
¿Cuáles son la magnitud y dirección de la aceleración de la partícula
producida por un campo magnético uniforme:
r
B = (1.63T )iˆ + (0.98T ) ˆj
r
r
r r
F = ma = qv × B
r
ma = (1.22 10 −8 C )(3 10 4 m / sˆj ) × (1.63Tiˆ + 0.98Tˆj ) =
(1.22 10 −8 C )(3 10 4 m / s )(1.63T )( ˆj × iˆ)
r (1.22 10 −8 C )(3 10 4 m / s)(1.63T ) ˆ
2ˆ
(
)
0
.
33
/
a=
−
k
=
−
m
s
k
−3
1.8110 kg
LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO
El campo magnético se puede representar por medio de líneas de campo
magnético. Se dibujan las líneas de modo que la línea que pasa por un
punto cualquiera sea tangente al campo magnético B en ese punto.
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/fieldlines/index.html
FLUJO MAGNÉTICO Y LEY DE GAUSS
En analogía con el flujo eléctrico, se puede definir el flujo magnético ΦB a
través de una superficie A:
ΦB = ∫
A
r r
B ⋅ dA = ∫ B cos(ϕ )dA
A
Si B es uniforme y el área A es plana:
Unidades del flujo magnético:
Producto escalar
Φ B = BA cos(ϕ )
Φ B = [T ][m 2 ] = 1Weber = 1Wb
Ley de Gauss para el campo eléctrico:
El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a
la carga eléctrica total encerrada por la superficie.
Ley de Gauss para el campo magnético:
El flujo magnético total a través de una superficie cerrada sería proporcional a
la carga magnética total encerrada por la superficie, pero no existe el “monopolo
magnético”, entonces el flujo magnético a través de una superficie cerrada
siempre es cero.
r r Qenc
∫ E ⋅ dA =
ε0
r r
∫ B ⋅ dA = 0
Ley de Gauss para el campo magnético
A diferencia de las líneas del campo eléctrico, que comienzan y terminan en
cargas eléctricas, las líneas del campo magnético NUNCA tienen extremos
(porque no existe el monopolo).
MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
Cuando una partícula con carga se traslada en un campo magnético, actúa sobre
ella la fuerza magnética y el movimiento está determinado por las leyes de
Newton.
Una partícula con carga positiva q se desplaza
X
X
X
X
X
R
X
X
X
X
X
X
F
X
B
con velocidad v en un campo B uniforme dirigido
hacia el plano de la figura. Los vectores v y B son
perpendiculares, la fuerza magnética F =qvB
tiene la dirección que se muestra. Fuerza y
velocidad son siempre perpendiculares, la fuerza
no puede alterar la magnitud de la velocidad, sólo
su dirección.
v
El movimiento de una partícula con carga en
un campo magnético siempre es con rapidez
constante.
X
Convención:
X
campo afuera del plano
campo adentro del plano
(el punto es la punta de una flecha que viene directamente hacia
usted, la cruz son las plumas de una flecha que se aleja de usted)
Si v y B son perpendiculares la partícula se mueve en un círculo:
2
v
F = q vB = m
R
mv
R=
qB
X
X
X
X
X
R
X
X
X
B
F
v
X
X
Carga positiva
Si la carga es negativa, la partícula
se traslada en el sentido del reloj
La rapidez angular ω de la partícula y su frecuencia son:
qB qB
v
ω = =v
=
R
mv
m
qB
ω
f =
=
Frecuencia de ciclotrón
2π 2πm
X
X
X
X
27.26 Un ion de 7Li con una sola carga tiene una masa de 1.16 10-26 kg. Es
acelerado por una diferencia de potencial de 220 V y en seguida entra en un
campo magnético con magnitud B=0.723 T, perpendicular a la trayectoria del
ion.¿Cuál es el radio de la trayectoria del ion en el campo magnético?
K=
1 2
mv = q∆V
2
q= 7· 1.6 10-19 C
2q∆V
2(7 ⋅1.6 10 −19 C )(220V )
4
v=
7
.
8
10
=
=
m/s
− 26
1.16 10 kg
m
mv (1.16 10 −26 kg )(7.8 10 4 m / s )
−3
R=
=
=
7
.
8
10
m
−19
qB
(7 ⋅1.6 10 C )(0.723T )
27.27 Un electrón del haz de un cinescopio de televisor es acelerado por una
diferencia de potencial de 2 kV, a continuación atraviesa una región donde hay
un campo magnético transversal y describe un arco circular de 0.18 m de
radio. ¿Cuál es la magnitud del campo?