Download Observando que la corriente que circula por el hilo es

TEMA 7. INTERACION MAGNETICA
7.1.- INTRODUCCION.
El comportamiento de los imanes es bien conocido. Los permanentes, que
generalmente se hacen de aleaciones ferrosas, atraerán o repelerán a otros imanes y
pequeñas partículas de hierro, las cuales a su vez, pueden quedar imantadas. La lista de
aplicaciones tecnológicas del magnetismo es muy extensa; por ejemplo, se usan grandes
electroimanes para levantar cargas pesadas, transformadores y motores, cintas magnéticas
en la grabación de sonido y TV, en las memorias de los ordenadores, para contener
plasmas para investigación de la fusión nuclear.
Desde el año 800 a.c., aproximadamente, los griegos conocían el fenómeno del
magnetismo; descubrieron que ciertas piedras, ahora conocidas como “magnetita” (Fe3O4),
atraían pequeños trozos de hierro.
Diversos experimentos mostraron que todo imán, sin importar su forma, tiene dos
polos, conocidos como Norte y Sur.
En 1600 William Gilbert ( ) extendió estos experimentos a varios materiales y
sugirió que la propia Tierra es un inmenso imán permanente. En 1750, John Michell ( )
usó una balanza de torsión para mostrar que los polos magnéticos ejercen fuerzas de
atracción o de repulsión entre si. Aunque la fuerza entre dos polos es semejante a la que
existe entre dos cargas eléctricas, se tiene una diferencia importante: las cargas eléctricas
se pueden aislar (lo que manifiesta la existencia del electrón o el protón), mientras que los
“polos magnéticos” no pueden aislarse. Esto es, los polos magnéticos siempre se
encuentran en pares.
En 1819 Oersted ( ) halló que una corriente eléctrica que circula por un alambre
desvía la aguja de una brújula cercana. Un poco después, André Ampère (1775-1836)
obtuvo leyes cuantitativas de la fuerza magnética entre conductores que llevan corriente.
También sugirió que las corrientes eléctricas son las responsables de todos los fenómenos
magnéticos. Esta idea es la base de la teoría moderna del Magnetismo.
En la década de 1820, Faraday e independientemente Henry, demostraron que un
campo magnético variable produce un campo eléctrico. Mas tarde el trabajo realizado por
Maxwell mostró que un campo eléctrico variable da lugar a un campo magnético, y
aglutinó toda la teoría electromagnética.
7.2.- DEFINICION DE CAMPO MAGNETICO. FUERZA DE LORENTZ.
En los temas 3 al 5 se han analizado las interacciones entre cargas eléctricas en
reposo. Así se definió el campo eléctrico E creado por una carga eléctrica o una
distribución de cargas estacionarias en un punto del espacio, como la fuerza eléctrica por
unidad de carga que actúa sobre una carga de prueba, en reposo, colocada en ese punto.
1
En este tema se dedicará al estudio de las interacciones entre cargas eléctricas en
movimiento. Para ello es preciso crear una nueva magnitud física, es decir, introducir el
concepto de campo magnético B (también denominado vector inducción magnética o
vector densidad de flujo magnético) en algún punto del espacio, en términos de una fuerza
magnética que sería ejercida sobre un objeto de prueba apropiado. El objeto de prueba es
una partícula cargada que se mueve con una velocidad v.
Se observa experimentalmente que cuando una partícula cargada tiene una
velocidad v en la proximidad de un imán o de un alambre por el que circula corriente,
existe una fuerza adicional a la fuerza eléctrica. Se pueden fácilmente separar estas dos
fuerzas midiendo la fuerza que actúa sobre la carga cuando está en reposo y después
sustrayendo la fuerza eléctrica a la fuerza total cuando está en movimiento. Para mayor
sencillez supongamos que no existe campo eléctrico en la región de la carga. Los
experimentos realizados sobre el movimiento de cargas en presencia de un campo
magnético independiente del tiempo, proporcionan los resultados siguientes:
1. La fuerza magnética es proporcional a la carga q y a la velocidad v de la partícula
cargada.
2. La dirección de la fuerza magnética F depende de la velocidad v de la partícula.
3. Cuando una partícula cargada se mueve en una dirección “paralela” al vector de campo
magnético, la fuerza magnética F sobre la carga es cero.
4. Cuando el vector velocidad forma un ángulo  con el campo magnético, la fuerza
magnética
actúa
en
una
dirección
perpendicular tanto a v como a B y es
proporcional a sen  .
5. La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene sentido opuesto a la de la fuerza que
actúa sobre una carga negativa que se mueve
en la misma dirección.
Es
escribiendo la fuerza magnética en la forma
posible
F  qv x B
2
resumir
estas
observaciones
La unidad en el SI del campo magnético B es el tesla T.
T
N
N

C ms
A m
El tesla es una unidad grande y a veces se utiliza el gauss (G)
1 T = 104 G
Existen varias diferencias importantes entre las fuerzas eléctricas y magnéticas, las
cuales es necesario hacer notar:
1. La fuerza eléctrica siempre tiene la dirección del campo eléctrico, en tanto que la
fuerza magnética es perpendicular al campo magnético.
2. La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada en una forma independiente de la
velocidad de esta, en tanto que la fuerza magnética solo actúa cuando la carga está en
movimiento.
3. La fuerza eléctrica realiza trabajo al desplazar una partícula cargada, mientras que la
fuerza magnética asociada con un campo magnético no realiza trabajo cuando una
partícula se desplaza.
Esta última afirmación es consecuencia de que la fuerza magnética y el
desplazamiento son perpendiculares. Por tanto, cuando sobre una carga en movimiento
actúa un campo magnético, este no puede alterar su energía cinética, es decir, podrá variar
la dirección de su velocidad pero no su módulo.
El campo magnético puede representarse por líneas de campo, de forma que la
dirección de la línea a través de un punto dado es igual a la del vector campo magnético B
en dicho punto. Las líneas de campo magnético, al contrario que las líneas de campo
eléctrico, no señalan en la dirección de la fuerza que actúa sobre la carga. Las líneas de
campo magnético son cerradas.
En un campo magnético uniforme, donde el vector B tiene la misma magnitud y
dirección en cada punto, las líneas del campo son rectas y paralelas.
Por último, cuando una carga se mueve por una región del espacio donde hay
campo magnético y campo eléctrico, la fuerza que se ejerce sobre la carga es la suma de las
fuerzas que ejercen los dos campos
F  qE  v x B
que se conoce con el nombre de fuerza electromagnética o de Lorentz.
3
7.3.- MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS EN EL SENO DE UN
CAMPO MAGNETICO.
Consideremos el caso de una partícula con carga positiva que se mueve en un
campo magnético externo uniforme y su vector velocidad inicial es perpendicular al
campo. Supongamos que el campo magnético está dirigido hacia la página (esto se indica
por medio de cruces. Se usan las cruces para representar la cola del vector B).
Posteriormente se usarán puntos para representar la punta de un vector dirigido hacia fuera
de la página.
En la figura se muestra que la partícula se
mueve en una circunferencia cuyo plano es
perpendicular al campo magnético; esto se debe a que
la fuerza magnética F forma ángulos rectos con v y
B, y tienen una magnitud constante igual a qvB. A
medida que la fuerza F desvía a la partícula, las
direcciones de v y F cambian de manera continua,
según se indica en la figura. Por lo tanto la fuerza F
es una fuerza centrípeta, que solo cambia la dirección
de v.
Si q fuese negativa se invertiría el sentido de la rotación. Aplicando la 2ª ley de
Newton se encuentra
m v2
mv
F  qvB
 r
r
qB
Esto es, el radio de la trayectoria es proporcional a la cantidad de movimiento (mv)
de la partícula e inversamente proporcional al campo magnético. La velocidad angular y el
periodo de la rotación de la partícula cargada son

v qB

r
m
T
;
2 2m


qB
en donde vemos que no dependen ni de la velocidad de la partícula, ni del radio de la
trayectoria.
Si una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme formando
algún ángulo arbitrario con B, su trayectoria es una hélice. Por ejemplo si el campo tiene la
dirección del eje X, como en la figura, no existe componente alguna de la fuerza en la
dirección X y, por consiguiente ax = 0 y la componente x de la velocidad, vx, permanece
constante. Por otra parte, la fuerza magnética qv x B hace que las componentes vy y vz
cambien con el tiempo, y el movimiento resultante es una hélice que tiene su eje paralelo al
campo B.
Cuando las partículas cargadas se mueven en campos magnéticos “no uniformes” el
movimiento es bastante complejo.
4
7.4.- ALGUNAS APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE CARGAS EN
CAMPOS MAGNETICOS.
A) SELECTOR DE VELOCIDADES.
En muchos experimentos en los que intervienen el movimiento de partículas
cargadas, es importante tener una fuente de partículas que se muevan esencialmente a la
misma velocidad. Es posible lograr esto aplicando una combinación de un campo eléctrico
y uno magnético orientados como se indica en la figura.
En la dirección vertical, un par de
placas cargadas, paralelas, suministran un
campo eléctrico uniforme perpendicular a la
página (indicado por las cruces). Suponiendo
que q es positiva, se ve que la fuerza magnética
q v x B es hacia arriba mientras que la fuerza
eléctrica q E es hacia abajo. Si se eligen los
campos en tal forma que la fuerza eléctrica
equilibre a la magnética, la partícula se moverá en una línea recta horizontal y saldrá por la
ranura con una velocidad, la misma para todos de
qvB qE

v
E
B
B) ESPECTROMETRO DE MASAS.
El espectrógrafo o espectrómetro de masas es un aparato que separa iones atómicos
y moleculares conforme a su razón masa a carga. En
una de sus versiones conocida como “espectrómetro de
masas de Bainbridge”, un haz de iones pasa primero por
un selector de velocidades y a continuación, entra en un
campo magnético uniforme Bo, dirigido hacia el papel.
Después de entrar al campo magnético, los iones se
mueven siguiendo una semicircunferencia de radio r,
antes de chocar contra una placa fotográfica en P.
Sabemos que, en general, r 
mv
qB
por lo tanto
m r Bo

q
v
Suponiendo que la magnitud del campo magnético en la región del selector de
velocidades es B, aplicando la ecuación v  E B , la cual da la velocidad con que se
mueve la partícula, se tiene
m r Bo

q
v

5
m r Bo B

q
E
Por lo tanto es posible determinar m/q midiendo el radio de curvatura y conociendo
los campos B, Bo y E.
C) EL CICLOTRON.
El ciclotrón es un aparato ideado en 1931 con el fin de conseguir un haz de
partículas atómicas cargadas animadas de gran velocidad. A pesar de su tamaño y
complejidad, la teoría de su funcionamiento es muy sencilla.
La parte fundamental del ciclotrón es un par de cámaras metálicas cuya forma es
análoga a las mitades de una caja
cilíndrica cortada a lo largo de uno
de sus diámetros. Estas cámaras
huecas se denominan “des” (D) a
causa de su forma.
Un manantial de iones se
coloca en el punto medio del
espacio que queda entre las “des”.
Estas últimas se conectan a los
bornes de un circuito de tensión
variable, de forma que el potencial
entre las “des” cambie y así el
campo eléctrico entre ellas esté
dirigido primero hacia una y luego
hacia la otra, mientras que a causa
del efecto pantalla en el interior de
las “des” no haya campo eléctrico.
Ambas “des” están encerradas en un recipiente en el que se ha practicado el vacio.
El aparato completo se halla colocado entre los polos de un potente electroimán que
proporciona un campo magnético uniforme cuya dirección es perpendicular a las bases del
recipiente cilíndrico.
Consideremos un ión de carga +q y masa m, emitido por el manantial de iones en el
instante en que D2 es positiva. El ión es acelerado por el campo eléctrico creado entre las
“des” y entra en la región libre de campo (eléctrico) interior a D1 con velocidad v1. Puesto
que su movimiento es perpendicular al campo magnético describirá una trayectoria circular
de radio
m v1
r1 
qB
Si a continuación, durante el tiempo necesario para que el ión complete una
semicircunferencia, el campo eléctrico cambia de sentido y está dirigido hacia D2, el ión
será acelerado de nuevo mientras cruza el espacio entre las “des” y entrará en D2 con
velocidad mayor v2. En consecuencia, describirá una semicircunferencia de mayor radio
dentro de D2.
6
Por tanto si el campo eléctrico se invierte al cabo de intervalos de T/2, tendrá
siempre el sentido adecuado para acelerar el ión cada vez que cruce el espacio entre las
“des”.
La trayectoria de un ión es una especie de espiral, compuesta de arcos
semicirculares de radio cada vez mayor, unidos por cortos segmentos rectilíneos.
Cuando el radio de la órbita se aproxima al de las “des”, los iones energéticos salen
del sistema por una ranura, con una velocidad
v  BR
q
m
siendo R el radio de las “des”
7.5.- FUERZA MAGNETICA SOBRE UN ELEMENTO DE CORRIENTE.
Consideremos un hilo conductor situado en el interior de un campo magnético
uniforme. Cuando por este hilo circula corriente, existe una fuerza que se ejerce sobre el
hilo que es la suma de las fuerzas magnéticas sobre las cargas móviles cuyo movimiento
produce la corriente. Sea un segmento rectilíneo del hilo el mostrado en la figura, de
longitud l y sección transversal S, por el que circula una corriente I. Al encontrarse
sometido al campo magnético B, la fuerza magnética
sobre cada carga móvil vale
Fi  qv d x B
siendo vd la velocidad de desplazamiento de las cargas.
El número de cargas en el interior del segmento por unidad de volumen es n, luego
en el segmento habrá nSl. Así pues, la fuerza total sobre el segmento de hilo es
F  qvd x BnS l
Observando que la corriente que circula por el hilo es
I  n q vd S
tenemos
F=IlxB
en donde l es un vector cuyo módulo es la longitud del hilo y cuya dirección es la de la
corriente.
En la ecuación anterior hemos considerado que el hilo es recto y que el campo B no
varia en toda su longitud. Se generaliza fácilmente al caso de un conductor de forma
arbitraria en el interior de un campo magnético cualquiera. Para ello hay que escoger un
segmento de hilo suficientemente pequeño dl, con lo que la fuerza es
7
dF  I dl x B
en donde a la magnitud I dl se denomina elemento de corriente. Con el fin de obtener la
fuerza total F sobre el hilo, se integra la última expresión sobre toda la longitud del mismo
F

B
Idl x B
A
En esta expresión, A y B representan los puntos extremos del hilo.
7.6.- IMANES EN EL INTERIOR DE CAMPOS MAGNETICOS.
Cuando un pequeño imán permanente tal como la aguja de una brújula se sitúa en el
interior de un campo magnético, tiende a orientarse por si mismo, de modo que el polo
norte señale en la dirección y sentido de B. La figura muestra un imán que forma un ángulo
arbitrario con un campo magnético B. Existe una fuerza F1 actuando sobre el polo norte en
la dirección y sentido de B y otra fuerza F2 igual pero opuesta sobre el polo sur.
La intensidad del polo del imán qm (se representa igual que la carga eléctrica con el
subíndice m de magnético) se define como el
cociente entre la fuerza F ejercida sobre el polo y el
campo B.
qm =
F
B
Sus unidades en el SI son (A.m). Si adoptamos el convenio de signos de que el polo
norte es positivo y el polo sur negativo, la fuerza sobre un polo puede escribirse
Fm = qm B
Observando la figura se ve que el momento que actúa sobre un imán en un campo
magnético es
M = l x B = l x q mB = q ml x B = m x B
siendo l un vector del polo sur al polo norte y qml el momento magnético del imán
m = qm l
Su unidad en el SI es (A.m2)
8
6. ACCION DE UN CAMPO MAGNETICO SOBRE UNA ESPIRA DE
CORRIENTE. MOMENTO MAGNETICO.
Cuando por un conductor circula una corriente y este se sitúa en el interior de un
campo magnético uniforme se ejercen fuerzas sobre cada trozo de conductor. Si este
conductor tiene forma rectangular, o sea es una espira de corriente rectangular, no existe
ninguna fuerza neta sobre la misma debido a que las fuerzas ejercidas sobre las distintas
partes del conductor se suman dando como resultado cero. Sin embargo, en general, las
fuerzas magnéticas producen un momento sobre el conductor que tiende a hacer girar la
espira de modo que su plano resulte perpendicular al campo magnético.
En la figura se muestra una espira plana rectangular por la que circula una corriente
I,
en
presencia de un campo magnético uniforme que forma un ángulo  con la dirección
perpendicular al plano de la espira.
Las fuerzas F3 y F4 son iguales y de sentidos opuestos por lo que su efecto sobre la
espira es nulo. Las fuerzas magnéticas F1 y F2 que son iguales y de valor
F1 = F2 = I b B
forman un par, que si bien, la fuerza neta es nula el momento del par hace girar a la espira,
con un par
M = F1 a sen  = I a b B sen  = I S B sen 
donde S es el área de la espira, y el momento tiende a colocar la espira de modo que su
plano resulte perpendicular a B.
Una expresión vectorial para el momento que produce el giro es
M = I S uS x B
en donde uS, es un vector unitario perpendicular al plano de la espira. El sentido de uS se
determina por la regla del sacacorchos.
9
La ecuación que acabamos de obtener tiene la misma forma que la del par ejercido
sobre un imán de barra en el interior de un campo magnético en el que la magnitud ISuS
correspondiente a la espira juega el mismo papel del momento magnético qml del imán. Por
ello al producto de ISuS se le denomina momento magnético de la espira “m”, midiéndose
en (A.m2) en el SI. Aplicando esta definición al momento de torsión
M=mxB
O sea las acciones que una espira plana recorrida por una corriente experimenta en
un campo magnético uniforme, son equivalentes a la acción que experimenta un imán.
Esta deducción, aunque obtenida para un caso particular es válida para cualquier
espira plana y cualquier orientación de B respecto de la espira.
Si una espira tiene N vueltas (o sea es una bobina), todas de las mismas
dimensiones, el momento magnético y el de torsión, sobre ella, serán N veces mayores que
en una sola espira.
7. EFECTO HALL.
Ya se ha visto la fuerza ejercida por un campo magnético sobre un conductor por el
que circulaba una corriente. También se ha expresado que esta fuerza es realmente ejercida
directamente sobre las cargas móviles que hay en el interior del conductor. Puesto que las
cargas móviles por si mismas experimentan la fuerza magnética, se ven aceleradas hacia un
lado del conductor, por lo que en un conductor que conduce corriente eléctrica se genera
una diferencia de potencial en una dirección perpendicular a la corriente eléctrica y al
campo magnético. Este fenómeno, se denominado efecto Hall; y nos permite determinar el
signo de la carga móvil en un conductor. También proporciona un método conveniente
para medir campos magnéticos.
La figura muestra una cinta o tira conductora por la que circula una corriente I
dirigida hacia la derecha en el interior de un campo magnético que hemos escogido de
modo
que
sea
perpendicular al papel
y dirigido hacia él.
Admitamos
de
momento
que
la
corriente se compone
de partículas cargadas
positivamente que se mueven hacia la derecha. La fuerza magnética sobre estas partículas
estará en la dirección qv x B, que está dirigida hacia arriba.
Las partículas positivas se mueven así hacia la parte superior de la cinta, dejando la
parte inferior de la misma con un exceso de carga negativa. Esta separación de cargas
produce un campo electrostático en la cinta que se opone a la fuerza magnética que actúa
sobre las cargas móviles. Cuando se equilibran las fuerzas electrostática y magnética, las
cargas móviles dejarán de moverse hacia arriba. En esta situación de equilibrio, la parte
superior de la cinta estará a un potencial mayor que la parte inferior. Por otro lado, si la
10
corriente son cargas móviles negativas, se moverán de derecha a izquierda. La fuerza
magnética qv x B será de nuevo hacia arriba. Las cargas móviles irán a la parte superior de
la cinta, pero ahora la parte superior tendrá carga negativa y la inferior positiva. Estos
experimentos realizados en conductores metálicos demostraron que la parte superior estaba
a un potencial mas bajo que la inferior, por lo que se dedujo que las cargas móviles eran
negativas.
Si unimos las partes superior e inferior de la cinta con un conductor de resistencia
R, los electrones negativos fluirán desde la parte superior de la cinta a través del conductor
hasta la parte inferior. Tan pronto como algunos electrones abandonen la parte superior de
la cinta, serán empujados mas portadores de la cinta hacia arriba por la fuerza magnética
debido a que la fuerza electrostática resulta momentáneamente debilitada por la reducción
de la carga que existía en la parte superior. Así pues la fuerza magnética mantiene una
diferencia de potencial a través de la cinta, que se denomina fem Hall, de valor

H
 E d=vd B d
Aunque la fem Hall es ordinariamente muy pequeña, proporciona un método
conveniente para medir campos magnéticos. Podemos escribir

H

Id
B
nqS
Una cinta determinada puede calibrarse midiendo la fem Hall para una corriente
dada en un campo magnético conocido. La intensidad del campo magnético B de un campo
desconocido puede entonces medirse situando la cinta en el campo desconocido, haciendo
circular una corriente a través de la misma y midiendo  H .
11