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EJERCICIOS PROPUESTOS FORMALIZACIÓN DE SENTENCIAS CON EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN MATEMÁTICAS‐I. 2011‐12 GRADO EN INGENIERÍA MULTIMEDIA Colección de ejercicios propuestos para formalización de sentencias con el lenguaje de proposiciones y de predicados. Propósito •
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Entender el concepto de proposición. Distinguir las proposiciones atómicas y moleculares, de éstas su conectiva principal. Distinguir las premisas y la conclusión en un razonamiento deductivo. Formalizar sentencias y razonamientos con el lenguaje de proposiciones y de predicados. Aprender a escribir fórmulas lógicas de forma equivalente usando reglas de equivalencia Recuerda que: Una proposición es una sentencia declarativa que en el cálculo de la lógica de primer orden es susceptible de ser verdadera o falsa. Se dice que una proposición es atómica cuando declara información completa e indivisible; se dice que es molecular cuando está formada por la conexión de varias proposiciones atómicas. Cada proposición molecular se distingue por su conectiva principal, muy importante en el cálculo lógico. ¡Cuidado! con las sentencias que no son proposiciones, hay que saber detectarlas y descartarlas. Una proposición del lenguaje natural se puede formalizar con el lenguaje de la lógica de proposiciones o con el de la lógica de predicados, obteniendo fórmulas lógicas. Es necesario contar con un alfabeto (conjunto de símbolos) y con reglas de formación de fórmulas en cada nivel de formalización. Las proposiciones atómicas se formalizarán en el lenguaje de proposiciones con variables proposicionales, y con predicados en el lenguaje de predicados, especificando los sujetos, sus propiedades y relaciones en un determinado conjunto de referencia. El marco conceptual será el conjunto de elementos del lenguaje elegidos para definir el problema. La forma lógica de un argumento en lenguaje natural viene dada, por lo general, primero enunciando las proposiciones premisas y después la proposición conclusión que va precedida de las expresiones: “luego”, “por lo tanto”, y otras equivalentes. Pero hay ocasiones en que dicha forma no aparece en ese orden y hay que determinar lo que representa cada proposición. Por ejemplo, si decimos que: “María viajará a París, puesto que obtuvo la beca que solicitó”, la premisa será: “María obtuvo la beca” y la conclusión: “María viaja a París”. Algunas veces las premisas aparecen con las partículas: “puesto que”, “ya que”, “porque”, etc. En los ejercicios siguientes usaremos: MC: conjunto con los símbolos del lenguaje usados en la formalización que forman el marco conceptual. AT: atómica ML: molecular. CP: conectiva principal Pi: la sentencia premisa Pi (i =1,… n). Q: la sentencia conclusión. Fbf‐S: fórmula bien formada de la sentencia S. EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE FORMALIZACIÓN DE SENTENCIAS CON EL LENGUAJE LÓGICO
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2011-12 EJERCICIO 1 Determinar qué expresiones son proposiciones: a)
¿Qué hora es? b) ¡Cállate ya!. c)
Si no suben los precios iremos de vacaciones a Granada. d) María estudia informática sin embargo ni le gusta programar ni tener portátil. e)
Todas las estrellas son azules y los planetas verdes. f)
Hasta luego. g)
Es necesario que estudies todos los días para que apruebes Álgebra. h) La suma de dos ángulos de un triángulo es igual a 180º. i)
María e Irene son policías. j)
El término “lenguaje objeto” no es absoluto sino relativo. k)
Todos los que admiran el atardecer son unos poetas. l)
Cualquiera que estudie Medicina sabe de humanidad. EJERCICIO 2 Formalizar las siguientes proposiciones con el lenguaje proposicional. Indicar si la proposición es atómica (At) o molecular (Ml) y en este caso escribir cuál es su conectiva principal. Es necesario declarar el marco conceptual. a) María estudia informática sin embargo ni le gusta programar ni tener portátil. AT MC = { Fbf: ML CP: b) Las estrellas son azules y los planetas verdes. AT MC = { Fbf: ML CP: c)
AT Las estrellas son azules pero no verdes y los planetas son verdes no obstante no son azules. MC = { Fbf: ML CP: 2
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2011-12 d) Es necesario que estudies todos los días para que apruebes Lógica. AT MC = { Fbf: ML CP: e)
AT La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º. MC = { Fbf: ML CP: f)
AT María e Irene son policías. MC = { Fbf: ML CP: g)
AT El término “lenguaje objeto” no es absoluto sino relativo. MC = { Fbf: ML CP: h) Todos los que admiran el atardecer son unos poetas. AT MC = { Fbf: ML CP: i)
AT Cualquiera que estudie Medicina sabe de humanidad. MC = { Fbf: ML CP: 3
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j)
AT 2011-12 María es la más guapa de la clase. MC = { Fbf: ML CP: k)
No me gusta jugar al mus a menos que me dejes ganar o me enseñes tus cartas, sin embargo me encanta jugar al chinchón y al póker aunque no me enseñes tus cartas. AT MC = { Fbf: ML CP: l)
Un número es par si y sólo si es divisible por 2. AT MC = { Fbf: ML CP: m) A María le gusta Juan o Luís, pero no le gusta Pepe ni tampoco Jaime. AT MC = { Fbf: ML CP: n) Los alumnos de Medicina son muy disciplinados. AT MC = { Fbf: ML CP: o) Dos y dos son cuatro. AT MC = { Fbf: ML CP: 4
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2011-12 p) Es suficiente que consiga una beca para que me vaya a Londres, no obstante si no la consigo me quedo en Alicante. AT MC = { Fbf: ML CP: q) No sucede que si vamos al parque veamos a María, puesto que está de viaje. AT MC = { Fbf: ML CP: r)
AT Las estrellas nacen, viven y también mueren, ya que el tiempo es finito. MC = { Fbf: ML CP: s)
AT Juan y María son novios. MC = { Fbf: ML CP: t)
AT Juan y María son novios si, y sólo si, Juan le declara amor eterno a María. MC = { Fbf: ML CP: 5
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2011-12 EJERCICIO 3 Dada la sentencia S1: “No llueve en Alicante a menos que cantes en la ducha”. Escribe tres sentencias (S2, S3 y S4) que signifiquen lo mismo. Formaliza todas ellas con el lenguaje de proposiciones declarando el marco conceptual que creas conveniente. S2 S3 S4 MC = { Fbf‐S1 Fbf‐S2 Fbf‐S3 Fbf‐S4 EJERCICIO 4 Dala la fbf: di → lo formalizada con el MC = {lo: estudias lógica; di: las clases son divertidas}. Escribe tres sentencias en lenguaje natural que se formalicen según la fórmula dada. S1 Si las clases son divertidas estudias lógica S2 Es suficiente que las clases sean divertidas para que estudies lógica S4 Es necesario que estudies lógica para que las clases sean divertidas EJERCICIO 5 Dala la sentencia S1: “No me gusta el fútbol ni el tenis ni ambos”. Escribe dos sentencias (S2 y S3) que signifiquen lo mismo. Formaliza todas ellas con el lenguaje de proposiciones declarando el marco conceptual que creas conveniente. S2 S3 MC = { Fbf‐S1 Fbf‐S2 Fbf‐S3 6
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2011-12 EJERCICIO 6 De las siguientes sentencias debes busca las que son equivalentes, para ello debes de formalizarlas usando el marco conceptual que se da a continuación: S1: “Luis va a la fiesta si va Ana”. S2: “Si Ana va a la fiesta Luis también”. S3: “Luis va a la fiesta sólo si va Ana”. S4: “Es suficiente que Luis vaya a la fiesta para que vaya Ana”. S5: “Luis no va a la fiesta a menos que vaya Ana”. S6: “Para que Ana vaya a la fiesta es necesario que vaya Luis”. MC = { lu: Luis va a la fiesta; an: Ana va a la fiesta } Solución Fbf‐ S1: Fbf‐ S2: Fbf‐ S3: Fbf‐ S4: Fbf‐ S5: Fbf‐ S6: Son equivalentes las sentencias: EJERCICIO 7 Distingue, en cada argumento, las premisas y la conclusión poniendo entre paréntesis Pi o Q según convenga. Después, escribe su formalización con el siguiente marco conceptual. MC = {es: estudias; ap: apruebas; co: haces los controles; fe: eres feliz} Raz-1: Si estudias, apruebas y eres feliz ( ). Como no has aprobado ( ), deduzco que no has estudiado ( ). Formalización: Raz-2: Sólo si estudias, apruebas ( ). Como no has aprobado aunque eres feliz ( ), deduzco que no has estudiado ( ). Formalización: Raz-3: Está claro que no has estudiado y no has hecho los controles ( ) ya que has suspendido y no eres feliz ( ), y para aprobar y ser feliz era necesario que estudiaras y que hicieras los controles ( ). Formalización: 7
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Raz-4: 2011-12 Para que apruebes y seas feliz no es suficiente que estudies ( ), es necesario ( ). No has aprobado ni eres feliz ( ) puesto que no has estudiado ( ). Formalización: Raz-5: No apruebas a menos que estudies o hagas todos los controles ( ). No sucede que, no apruebes o hagas los controles ( ) Deduzco que has aprobado y que no eres feliz aunque hayas estudiado ( ), puesto que no has estudiado ni has hecho los controles ( ). Formalización: Raz-6: Apruebas y eres feliz a menos que no estudies ni hagas todos los controles ( ). Sólo si no haces los controles no apruebas, pero si estudias, si ( ) Has aprobado y eres feliz ( ), ya que has estudiado y has hecho los controles ( ). Formalización: >> Sigue formalizando los siguientes razonamientos en el lenguaje de proposiciones y elige, para cada uno, el marco conceptual que creas conveniente. Raz-7: Aprobarás el examen de mates sólo si te animas a estudiar los domingos. Para que seas un buen informático es suficiente que te animes a estudiar los domingos, sin embargo no es necesario que apruebes el examen de mates. Por lo que, o no apruebas el examen de mates o eres un buen informático. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐Q 8
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2011-12 Raz-8: El profesor Lógicus se enfurruña a no ser que (a menos que) la profesora Chusita apruebe a los alumnos. O la profesora Chusita no aprueba a los alumnos o éstos no hacen gansadas. Luego, el profesor Lógicus se enfurruña a menos que la profesora Chusita apruebe a los alumnos o éstos no hagan gansadas. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐Q Raz-9: Para que MariPuri sea belleza del Foc de Alcoyciti es necesario que su padre no sea el alcalde, sin embargo sí que es necesario que su padre sea el alcalde para que su madre salga en la comparsa vestida de mora. Es suficiente que los concejales no protesten para que Luisita sea la belleza del Foc. Los concejales no protestan a menos que la mujer del alcalde salga en la comparsa vestida de mora. Luego, al menos una de las dos, MariPuri o Luisita, será la belleza del Foc del Alcoyciti, pero no ambas. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐P3 Fbf‐P4 Fbf‐Q 9
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2011-12 Raz-10:
Voy a la facultad o me quedo en casa pero no ambas cosas. Para que vaya a la facultad es necesario que vaya a clase de mates. Para que estudie lógica es suficiente que me quede en casa. Estudio lógica ya que no voy a clase de mates. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐P3 Fbf‐P4 Fbf‐Q Raz-11:
Aprobarás el examen de mates sólo si te animas a estudiar los domingos y no te duermes en clase. Para que seas un buen informático es suficiente que te animes a estudiar los domingos aunque te duermas en clase. Por lo que, o no apruebas el examen de mates o eres un buen informático. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐Q 10
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2011-12 Raz-12:
Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve. Es suficiente que la bola blanca se mueva para que golpee a la bola verde y ganes la partida. Has ganado la partida porque la bola roja ha golpeado a la bola blanca. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐P3 Fbf‐Q Raz-13:
Para que la bola roja golpee a la bola blanca es necesario que la bola blanca se mueva. La bola azul golpea a la bola verde sólo si ganas la partida. O la bola roja golpea a la bola blanca o la bola azul golpea a la bola verde. Luego o la bola blanca se mueve o ganas la partida. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐P3 Fbf‐Q 11
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2011-12 Raz-14:
La Lógica es fácil a no ser que el profesor explique mal, sin embargo, la lógica es fácil sólo si los alumnos no tienen miedo a formalizar. Luego, es suficiente que los alumnos tengan miedo a formalizar para que el profesor explique mal. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐P3 Raz-15:
Puesto que los alumnos copian las prácticas a no ser que el profesor lo impida y el profesor no lo impide a menos que tenga un día malo, se infiere que es suficiente que el profesor no tenga un día malo para que los alumnos copien las prácticas. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐P3 Raz-16:
Las clases de baile no serán en el salón verde a menos que bailemos sevillanas. Si bailamos sevillanas Rociito y Tomi Cruisi serán los profesores. Es suficiente que esto pase para morirnos de risa, pero no nos moriremos de la risa a menos que Tomi Cruisi sea el profesor. Luego, sólo si Tomi Cruisi es el profesor, las clases de baile serán en el salón verde. MC = { Fbf‐P1 Fbf‐P2 12
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2011-12 Fbf‐P3 Fbf‐P4 Fbf‐Q EJERCICIO 8 Formalizar las siguientes sentencias con el lenguaje de predicados indicando si son atómicas o moleculares y en este caso indicar la conectiva o componente lógica (cuantificador) principal. a) Las estrellas son azules y los planetas verdes. AT MC = Fbf ML CP: b) Las estrellas son azules pero no verdes y los planetas son verdes no obstante no son azules. AT MC = Fbf ML CP: c)
Ni las estrellas son azules ni los planetas verdes, aunque es suficiente que una estrella no esté apagada para que sea blanca. AT MC = Fbf ML CP: 13
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2011-12 d) Luci y Candy son estrellas pero Luci está encendida y Candy apagada. Ninguna de las dos son azules. AT MC = Fbf ML CP: e) Luci y Candy son estrellas. Al menos una de las dos está encendida. AT MC = Fbf ML CP: f)
Plan y Plin son planetas. Ninguno de los dos son verdes pero Plin es azul a menos que sea verde. AT MC = Fbf ML CP: g)
Todos los que admiran el atardecer son unos poetas. AT MC = Fbf ML CP: h) Un número es par si, y sólo si es divisible por 2. AT MC = Fbf ML CP: 14
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i)
2011-12 A María le gusta Juan o Luís, pero no le gusta Pepe. AT MC = Fbf ML CP: j)
María no estudia Informática ni Medicina, sino Derecho. AT MC = Fbf ML CP: >> Para los siguientes ejercicios debes escribir la fbf usando el siguiente marco conceptual: MC = { pe: Pedro; ju: Juan; ba: baloncesto; te: tenis; Me(x): x es médico; Ju(x,y): x juega a y; Al(x): x es alumno; Am(x,y): x es amigo de y } k) Pedro es médico Fbf: l)
Pedro y Juan son médicos y juegan al baloncesto. Fbf: m) Si Pedro juega al baloncesto Juan también. Fbf: n) Sólo si Pedro juega al baloncesto Juan juega. Fbf: o) Pedro juega al baloncesto a menos que juegue Juan. Fbf: p) Algunos médicos juegan al baloncesto y algunos alumnos al tenis. Fbf: q) Todos los médicos juegan al baloncesto. Fbf: r)
Todos los médicos son amigos de los alumnos. Fbf: s)
Sólo los alumnos son amigos de los alumnos. 15
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2011-12 Fbf: t)
Algunos alumnos sólo son amigos de los médicos. Fbf: u) Los alumnos sólo son amigos de los médicos. Fbf: v)
Los alumnos son amigos de algunos médicos. Fbf: EJERCICIO 9 Escribir dos sentencias equivalentes a las siguientes y formalizarlas con el lenguaje de predicados. S1: Ningún caradura es matemático pero triunfa en la vida. S11 S12 MC = { C(x): x es caradura; M(x): x es matemático; T(x): x triunfa en la vida } Fbf‐S1 Fbf‐S11 Fbf‐S12 S2: Existen caraduras que son matemáticos pero que no triunfan en la vida. S21 S22 MC = { C(x): x es caradura; M(x): x es matemático; T(x): x triunfa en la vida } Fbf‐S2 Fbf‐S21 Fbf‐S22 16
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2011-12 EJERCICIO 10 Formalizar los siguientes razonamientos con el lenguaje de predicados. Raz-1: Ningún caradura es matemático. Algunos matemáticos triunfan en la vida. Luego, existen sujetos que triunfan en la vida y no son caraduras. MC = { C(x): x es caradura; M(x): x es matemático; T(x): x triunfa en la vida } Fbf‐P1 Fbf‐P2 Fbf‐Q Raz-2: Todos los profesores son simpáticos. Luego, si todos los individuos son profesores, todos son simpáticos. MC = { P(x): x es profesor; Si(x): x es simpático } Fbf‐P1 Fbf‐Q Raz-3: Algunos sujetos que son profesores son simpáticos. Luego, existen sujetos que son profesores y existen sujetos que son simpáticos. MC = { P(x): x es profesor; Si(x): x es simpático } Fbf‐P1 Fbf‐Q 17
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2011-12 Raz-4: Carlos es modelo. Para que un sujeto sea modelo es necesario que tenga buen tipo y ésta es una condición suficiente para que sea macizo. Sin embargo, cualquier sujeto es atractivo a menos que sea modelo, pero no es atractivo a menos que sea macizo. Carlos y Luis están macizos. MC = { carlos: Carlos; luis: Luis; Mo(x): x es modelo; Bt(x): x tiene buen tipo; At(x): x es atractivo; Ma(x): x es macizo } Fbf‐S1 Fbf‐S2 Fbf‐S3 Fbf‐S4 Libros donde encontrar más ejercicios ª Lógica Formal para Informáticos Lourdes Arenas Alegrías.Ediciones Díaz de Santos, S. A., Madrid 1996. Cap.1: Ejercicios de formalización de enunciados en lenguaje proposicional. Cap.5: Ejercicios de formalización de enunciados cuantificados en lenguaje predicativo. ª Lógica de Primer Orden Mª Jesús Castel y Faraón Llorens. Dpto. Ciencia de la Computación e IA. Universidad de Alicante, 1999. Cap.2: Ejercicios sobre formalización de enunciados en lenguaje proposicional y predicativo
ª Lógica Informática José Cuena. Alianza Editorial, S.A., 1985. Cap.1: Ejercicios de formalización de enunciados en lenguaje proposicional. Cap.5: Ejercicios de formalización de enunciados cuantificados en lenguaje predicativo.
ª Lógica Simbólica Manuel Garrido. Editorial Tecnos, S.A., 2ª ed. 1991. Cap.2: Ejercicios de formalización de enunciados en lenguaje proposicional. Cap.3: Ejercicios de formalización de enunciados cuantificados con el lenguaje predicativo. 18