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TEMA 3
MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL
El movimiento circular uniforme (MCU)
Movimiento circular uniforme es el movimiento de un cuerpo que tiene por trayectoria una
circunferencia y describe arcos iguales en tiempos iguales.
Para expresar los MC se pueden utilizar magnitudes lineales ( desplazamiento, distancia recorrida,
velocidad , aceleración) pero es más sencillo describir estos movimientos utilizando magnitudes
angulares.
La posición de un punto, P, sobre la circunferencia viene dada por el ángulo ,θ, que forma el radio
correspondiente con el eje X. Este radio recibe el nombre de radio vector.
Desplazamiento angular o ángulo barrido
Cuando una partícula se mueve, a lo largo de una trayectoria circular, cada punto que ocupa P está
asociado a un radio vector r , un ángulo θ y a un tiempo t según la figura.
Se llama ángulo barrido o desplazamiento angular (∆θ) a la diferencia entre los dos ángulos
asociados a dos posiciones.
∆θ = θ2 −θ1
El ángulo barrido se puede expresar en revoluciones, grados o radianes.
Velocidad angular, ω
En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por
el ángulo θ '. El móvil se habrá desplazado ∆ θ = θ ' -θ en el
intervalo de tiempo ∆t = t' - t comprendido entre t y t'.
Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.
ω=
∆θ
∆t
Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad
angular ω es constante y , por tanto, la aceleración angular
(α) es cero.
La ecuación del MCU se obtiene fácilmente de la definición
anterior:
ω=
∆θ
∆t
⇒
⇒
∆θ = ω ⋅ ∆ t
θ − θ0 = ω ⋅ t
⇒
θ = θo + ω ⋅ t
Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del MRU
MRU
V = velocidad lineal = Constante
∆X = desplazamiento
t = tiempo
∆X ∆S
V=
=
(m/s)
∆t
∆t
X = Xo + V∆t
a = aceleración = 0
MCU
ω = velocidad angular = Constante
∆θ = desplazamiento angular
t = tiempo
∆θ
ω=
( rad/s = 1/s = s-1)
∆t
θ = θo + ω ⋅ t
α = aceleración angular = 0
La verdadera unidad de la velocidad angular es 1/s = s-1 porque el radián no tiene unidades
físicas ya que es el cociente de dos longitudes. Cuando hacemos el análisis dimensional debemos
usar 1/s. No obstante también se acepta expresarla en rad/s.
En el MCU la velocidad angular es constante, mientras que la velocidad lineal depende de la
distancia del punto al centro de la circunferencia, es decir, radio de giro.
V =ω⋅r
Obviamente a ↑ r ⇒↑ V
_________________________________________________________________________________________
Para demostrar esta ecuación podemos partir de la definición de velocidad lineal.
V=
∆X ∆S
=
∆t
∆t
porque la distancia recorrida ∆X en el MCU es a lo largo de la curva (∆X=Arco = ∆S)
A partir de la relación: ∆θ ( rad ) =
V=
∆S
r
∆S ∆θ ⋅ r ∆θ
=
=
⋅r = ω⋅r
∆t
∆t
∆t
de donde ∆S = ∆θ ⋅ t
luego
que sustituyendo en la ecuación anterior
V =ω⋅r
Una forma alternativa de llegar a la misma conclusión es a partir de las definiciones de la
velocidad lineal y velocidad angular, (siendo n = número de vueltas) :
V=
∆S 2π r ⋅ n
=
∆t
∆t
Dividiendo ambas ecuaciones:
ω=
∆θ 2π ⋅ n
=
∆t
∆t
V
=r
ω
⇒
V =ω⋅r
_______________________________________________________________________________________
Aceleración centrípeta: ac
ur
En el MCU el módulo de la velocidad lineal, V , es constante, pero su dirección y su sentido
varían continuamente. Es decir, la velocidad cambia, entonces si hay cambio en la velocidad
también existe aceleración. La aceleración que se debe al cambio en la dirección del vector
velocidad recibe el nombre de aceleración centrípeta, porque está dirigida hacia el centro de la
circunferencia.
La aceleración normal o centrípeta es perpendicular a la trayectoria del móvil en cada punto y se
encuentra dirigida hacia el centro de la circunferencia. Su módulo es:
ac =
V2
r
Obviamente, tiene unidades de aceleración : m/s2
Aplicando la 2ª Ley de Newton (F = m a): Si hay aceleración es porque hay una fuerza neta.
La fuerza responsable de la aceleración centrípeta recibe el nombre de fuerza centrípeta y actúa en
la misma dirección y sentido que ésta, Radial y hacia el centro de la circunferencia.
V2
Es decir: Fc = m ⋅ ac y sustituyendo la ac por su expresión ac =
obtenemos:
r
V2
Fc = m ⋅
r
Cuando esta fuerza desaparece el cuerpo pasará de un MCU a un MRU
Período y Frecuencia
Definiciones:
El período, Τ, de un MCU es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa a la
circunferencia.
t
Siendo t = tiempo en segundos y n el número de vueltas, ciclos o revoluciones.
Τ=
n
El período tiene unidades de tiempo (s)
La frecuencia, f, es el número de vueltas que describe el móvil en la unidad de tiempo.
n
Las unidades de frecuencia son (1/s) = s-1 = Hertz
f =
t
Otras unidades revoluciones por minuto (rpm), revoluciones por segundo (rps)
Obviamente, el periodo y la frecuencia son magnitudes inversas.
Si multiplicamos T por f obtenemos:
Τ⋅ f =
t n
=1⇒
nt
Τ=
1
f
La Posición de la Tierra en el universo
Los modelos geocéntricos consideraban que la TIERRA era el centro del universo. Sus principales
defensores fueron Aristóteles y Ptolomeo.
Los modelos heliocéntricos desarrollan un esquema según el cual el Sol se sitúa en el centro y los
planetas giran alrededor de él. Fue iniciado por Aristarco de Samos, desarrollado por Copérnico y
probado por Galileo.
Las observaciones de Galileo con el telescopio de su invención le permitieron comprobar que:
• Los cuerpos celestes no son perfectamente esféricos.
• No todos los cuerpos celestes giran alrededor de la Tierra.
Las leyes del movimiento de los planetas. Leyes de Kepler
Johannes Kepler formuló tres leyes simples que describían el movimiento de los planetas:
1ª- Los planetas se mueven en una trayectoria elíptica, en uno de cuyos focos se encuentra situado
el Sol.
2ª- Una línea recta trazada desde el Sol hasta un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
A
Velocidad areolar constante. VA =
= Constante
∆t
Esto implica que la velocidad de traslación del planeta no es constante, lo que se mantiene constante
es la velocidad del área barrida (velocidad areolar constante).
3ª- El cuadrado del período de cada planeta es proporcional al cubo del radio de su órbita.
r3
= Cons tan te
Τ2
La Ley de gravitación universal
Todos los cuerpos de universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
los separa:
F =G
M ⋅m
r2
Siendo G una constante universal: G = 6,67 10-11 Nm2/kg2
La fuerza de gravitación es universal, es una fuerza de atracción y su dirección es la de la recta que
une el centro de gravedad de los cuerpos.
La ley de gravitación universal explica diversos fenómenos:
La caída y el peso de los cuerpos.
El movimiento de los satélites.
La trayectoria de los cometas.
Las mareas.
•
La caída y el peso de los cuerpos. Los objetos caen porque la Tierra los atrae con una
fuerza que es igual al peso del cuerpo:
Si en la expresión anterior M es la masa de la Tierra y m la del objeto y por estar sobre la
superficie de la misma r = RT porque la distancia entre los centros de ambos es el radio se la
Tierra, entonces
M ⋅m
M
F =G
= G 2 ⋅m
M
2
RT
RT
De donde g = G 2
RT
F = P ( peso) = m ⋅ g = g ⋅ m
A g se le conoce como aceleración gravitatoria y solo depende de las características (M y R) de
cada planeta o cuerpo celeste donde nos situemos. En la Tierra g vale 9,8 m/s2.
Concepto de campo gravitatorio
El campo gravitatorio se puede definir como la región del espacio en la cual una masa M ejerce una fuerza
gravitatoria.
La magnitud que mide el campo gravitatorio recibe el nombre de intensidad de campo gravitatorio y es una
magnitud vectorial.
El módulo de la intensidad del campo gravitatorio creado por una masa M en un punto es la fuerza
ejercida sobre la unidad de masa colocada en ese punto
g=
F
M
=G 2
m
RT
Unidades: N/m = m/s2 ; Módulo = 9,8. Dirección: radial. Sentido: hacia el centro de la Tierra
El movimiento de los satélites.
Un satélite que orbita alrededor de la Tierra se halla sometido a una fuerza centrípeta, que es la
fuerza de atracción gravitatoria. Es decir, la fuerza que mantiene en órbita al satélite ligado a la
Tierra es la fuerza gravitatoria.
Fcentrípeta = Fgravitatoria
Como
m⋅
Fcentrípeta = m
v2
M ⋅m
=G T2
R
R
v2
R
y
de donde:
v2
M
= G 2T
R
R
Fgravitatoria = G
⇒
MT ⋅ m
R2
v2 = G
La velocidad con la que el satélite gira en su órbita es:
igualando ambas fuerzas
MT
R
⇒
V = G⋅
MT
R
Siendo R el radio de la órbita
Ideas actuales sobre el origen y evolución del universo
Si la teoría de la gran explosión ( Big Bang) caliente es correcta, el universo comenzó con una
temperatura y densidad infinitas y, a medida que se fue expandiendo, la temperatura de la
radiación fue disminuyendo.