Download TEMA 4: MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL

TEMA 4: MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1.- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Las características del movimiento circular uniforme son:
-
La trayectoria que describe es una circunferencia (o una parte de ella).
-
El módulo de la velocidad es constante, es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales.
Ejemplos de movimientos circulares: el de las manecillas de un reloj, las aspas de un
aerogenerador, las ruedas, el plato de un microondas, los tiovivos...
OBSERVACIÓN:
-
El movimiento circular en el que el módulo de la velocidad no es constante pero aumenta o
disminuye de manera uniforme se denomina movimiento circular uniformemente variado.
Ahora veremos las magnitudes que podemos medir en el movimiento circular.
2.- ESPACIO RECORRIDO Y ÁNGULO BARRIDO
2.1.- Espacio recorrido
Recordar que la distancia o espacio recorrido por un móvil es la longitud de su trayectoria. Como
la trayectoria que sigue un móvil con m.c.u. es una circunferencia o una parte de ella (llamada arco
de circunferencia), la distancia o espacio recorrido por el móvil se calculará aplicando las fórmulas
matemáticas que conocemos para calcular la longitud de una circunferencia o de un arco de
circunferencia:
-
Longitud de una circunferencia = 2 ⋅ π ⋅ R
-
Longitud de un arco de circunferencia =
-
Longitud de un arco de circunferencia = R ⋅ ϕ (si el ángulo ϕ está en radianes)
2 ⋅π ⋅ R ⋅ϕ
(si el ángulo ϕ está en grados)
360º
ϕ
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
Página 1
2.2.- Ángulo barrido
El ángulo barrido por un móvil con m.c.u. es el ángulo que forman los radios que unen el centro
de la circunferencia que describe el móvil con las posiciones inicial y final respectivamente.
ϕ
Lo representaremos con la letra ϕ y su unidad en el sistema internacional es el radián (rad),
aunque en la práctica también se utilizan otras dos unidades, el grado sexagesimal y la vuelta o
revolución. Para hacer un cambio entre las unidades anteriores hay que tener presentes las
siguientes equivalencias:
180 º = 2 π rad
1 vuelta o revolución = 2 π rad
1 vuelta o revolución = 180 º
3.- VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
3.1.- Velocidad lineal
En el movimiento circular uniforme la velocidad lineal se define como el espacio recorrido por el
móvil a través de la circunferencia en un tiempo determinado. Su unidad en el sistema internacional
es el m/s.
v=
s
t
OBSERVACIÓN:
-
La velocidad lineal que lleva un móvil depende de la distancia que haya entre el móvil y el
centro de la circunferencia que describe.
Observar que cuanto más lejos esté el móvil del centro de la circunferencia, mayor será el
espacio recorrido por el mismo y por lo tanto mayor será la velocidad lineal.
3.2.- Velocidad angular
La velocidad angular se define como el ángulo barrido por un móvil en un tiempo determinado:
ω=
ϕ
t
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
Página 2
donde ω es la velocidad angular, ϕ el ángulo barrido y t el tiempo transcurrido. La unidad de ω
en el sistema internacional es el rad , aunque también se suele trabajar en r.p.m. ó rev
s
min
(revoluciones por minuto).
Ejemplo 1: Disponemos de una aguja indicadora que marca ángulos sobre una escala circular.
Dicha aguja ha barrido un ángulo de 60º en los cinco primeros segundos, 120º a los diez segundos y
240º a los 20 s. Calcula:
a) El ángulo barrido en cada caso, expresado en radianes.
b) La velocidad angular del movimiento.
c) El tiempo que tardará en dar una vuelta completa.
OBSERVACIÓN:
-
La velocidad angular que lleva un móvil NO depende de la distancia que lo separe del centro
de la circunferencia que describe, ya que el ángulo que barre un móvil en un tiempo
determinado (que es lo que determina la velocidad angular) es el mismo independientemente
de si se encuentra cerca o lejos del centro de la circunferencia.
90º
90º
4.- RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL
La relación que existe entre la velocidad angular y la velocidad lineal viene dada por la siguiente
expresión:
v =ω⋅R
donde v es la velocidad lineal, ω la velocidad angular y R el radio de la circunferencia descrita
por el móvil.
Demostración:
Ya sabemos que el espacio recorrido por un móvil que describe un arco de circunferencia se puede
calcular con la siguiente fórmula: s = R ⋅ ϕ (suponiendo que el ángulo barrido venga expresado en
rad).
Despejando de esta fórmula el ángulo barrido tenemos que:
ϕ=
Por otro lado sabemos que la velocidad angular se define así:
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
s
R
ω=
ϕ
t
Página 3
Si ahora sustituimos el ángulo barrido en esta última fórmula, nos queda lo siguiente:
ω=
ϕ
t
s
=
R = s :t = s = v
t
R
R ⋅t R
el espacio recorrido en un tiempo determinado es la velocidad lineal
Así hemos llegado a esta fórmula: ω =
v
R
Ahora solo falta despejar v:
ω=
v
⇒
R
ω⋅R
R
=
v
⇒ω⋅R =v
R
Es decir, v = ω ⋅ R como queríamos demostrar.
OBSERVACIÓN:
-
A lo largo de la demostración ha salido otra fórmula que puede resultar útil a la hora de
resolver problemas:
ϕ=
s
R
5.- ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA
Recordar que la magnitud que se encarga de medir los cambios que se producen en el módulo de
la velocidad se llama aceleración tangencial, y la que mide los cambios que se producen en la
dirección de la velocidad se llama aceleración normal o centrípeta. Recordar también que la
dirección de la velocidad que lleva un móvil en un punto determinado es la recta tangente a la
trayectoria en dicho punto. Así, como en el movimiento circular la dirección de la velocidad va
cambiando a lo largo del tiempo, cualquier movimiento circular posee aceleración normal o
centrípeta, la aceleración tangencial la poseerá o no dependiendo de si el módulo de la velocidad es
constante o varía.
La aceleración es una magnitud vectorial, se representa por tanto mediante un vector. En el
m.c.u., la aceleración centrípeta es un vector que se dibuja apuntando siempre hacia el centro de la
circunferencia que describe el móvil, de ahí su nombre (centrípeta). También se cumple que dicho
vector va a ser siempre perpendicular al vector velocidad, por eso también se le llama aceleración
normal (ya que cuando dos vectores son perpendiculares se dice que son vectores normales).
Recordar que dos vectores o rectas son perpendiculares cuando forman ángulos de 90º.
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
Página 4
El módulo de la aceleración normal o centrípeta se calcula con las siguientes fórmulas:
an =
v2
R
an = ω 2 ⋅ R
Recordar que la unidad de la aceleración en el sistema internacional es el m
s2
.
6.- FRECUENCIA Y PERÍODO
-
La frecuencia se representa por la letra f y es el número de vueltas que da el móvil en un
segundo.
-
El período se representa por la letra T y es la magnitud inversa, es decir, el tiempo que tarda
el móvil en dar una vuelta completa.
OBSERVACIÓN:
-
Al ser magnitudes inversas, conociendo una de ellas se puede calcular la otra:
f =
1
T
T=
1
f
En la práctica lo que se hace es darle la vuelta a los resultados obtenidos.
Ejemplo 2: Un aro de 35 cm de diámetro gira a razón de 3 vueltas en cada minuto. Determina el
periodo y la frecuencia del movimiento y la aceleración centrípeta.
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
Página 5
LA POSICIÓN DE LA TIERRA EN EL UNIVERSO
Desde la antigua filosofía hasta el final de la Edad Media, el hombre había
concebido dos modelos antagónicos del Universo. La teoría geocéntrica,
propuesta por Ptolomeo y defendida por Aristóteles, suponía que la Tierra era el
centro del Universo y colocaba en esferas concéntricas a todos los astros
visibles, girando en perfectos círculos. La teoría heliocéntrica de Aristarco,
perfeccionada por el astrónomo polaco Nicolás Copérnico y apoyada por el
italiano Galileo Galilei en los albores de la física, a mediados del siglo XVII,
señalaba al Sol como centro del sistema solar.
Ampliación sobre geocentrismo y heliocentrismo
en: http://icarito.latercera.cl/icarito/2001/834/pag1.htm
LAS LEYES DEL MOVIMIENTO PLANETARIO
Los estudios recopilados por el alemán Kepler que reunió muchos datos
astronómicos, fundamentalmente de Tycho Brahe, le permitieron deducir tres
leyes matemáticas acerca del movimiento planetario:
1ª.- Todos los planetas realizan órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el
Sol.
2ª.- La recta que une a los planetas y el Sol barre áreas iguales en tiempos
iguales.
3ª.- El cuadrado del período el movimiento orbital del planeta es directamente
proporcional al cubo de su distancia al Sol.
Isaac Newton, en su famosa obra "Philosophiae naturalis principia
mathematica", publicada en 1867, se basó en las leyes de Kepler para
desarrollar su ley de gravitación universal.
Ampliación sobre las Leyes de Kepler
en: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate1j.htm
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
Página 6
Su enunciado es: "La fuerza con que se atraen dos objetos es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que los separa".
En la figura se dibuja la fuerza F que la masa M realiza sobre la masa m,
situada a una distancia r de M.
Naturalmente, por la ley de acción y reacción, sobre M actuará una fuerza igual
y contraria a F, que no hemos dibujado para simplificar la figura.
G es la constante de gravitación universal y vale 6,67·10-11 N m2 /kg2.
Ejercicio 8:
Calcula la fuerza con que se atraen dos esferas de hierro de 6 kg cada una
situadas a una distancia de 25 cm.
Ejercicio 9:
¿Con qué fuerza se atraen dos cuerpos separados 0,5 m y cuyas masas respectivas
son 5 y 10 kg?
Ejercicio 10:
Dos masas de 5 y 6 kg se atraen con una fuerza de 6,7·10-7 N ¿A qué distancia se
encuentran?
EL PESO DE LOS CUERPOS Y LA GRAVEDAD
La fórmula de Newton es válida para explicar la atracción gravitatoria entre dos
astros o la que existe entre un objeto pequeño, por ejemplo, una manzana y la
Tierra. Sabemos que el peso P de un cuerpo viene dado por el producto de su
masa por la aceleración de la gravedad:
Pero, al mismo tiempo este peso puede calcularse por la ley de Newton:
donde M es la masa de la tierra y r su
radio. Igualando obtenemos:
Y despejando la aceleración de la
gravedad nos queda
¿Dónde es mayor la gravedad terrestre en la orilla del mar o en la cima de
una montaña?
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
Página 7
¿En qué unidad se mide el peso? Indica si es una magnitud escalar o
vectorial, justificando la respuesta.
Ejercicio 11:
La masa del Sol es 2·1030 kg y su radio 6,96·108 m. ¿Cuál es el valor de g en su
superficie? ¿Cuánto pesaría allí un objeto de 50 kg?
Ejercicio 12:
¿Con qué fuerza se atraen el Sol, cuya masa se indica en el ejercicio anterior y la
Tierra, de 6·1024 kg de masa, si están separados por una distancia de 150 millones
de kilómetros?
Ejercicio 13:
Una persona pesa en la superficie terrestre 650 N. ¿Cuánto pesará en la luna
sabiendo que allí la gravedad es 1,6 m/s2?
Ejercicio 14:
El peso de un objeto en un determinado planeta es el doble que en la Tierra. ¿Cuál
será el valor de la gravedad en dicho planeta?
Ejercicio 15:
El radio de Júpiter es 7·107 m y su masa 1,9·1027 kg. ¿Cuánto pesará allí un camión
de 3 toneladas? Compara el resultado con el peso del camión en la Tierra.
Amplía tus conocimientos consultando estas direcciones web:
El sistema solar http://icarito.latercera.cl/icarito/2001/834/pag6.htm
El sol y los eclipses http://icarito.latercera.cl/icarito/2001/834/pag7.htm
La luna y sus fases http://icarito.latercera.cl/icarito/2001/834/pag8.htm
LAS MAREAS Y LAS ESTACIONES DEL AÑO
La atracción gravitatoria de la luna y el sol causan el fenómeno de las mareas:
Puedes obtener más información sobre las mareas
en: http://www.monografias.com/trabajos10/mare/mare.shtml
La inclinación del eje de rotación terrestre asociada con el movimiento de
traslación de la Tierra en su órbita alrededor del Sol originan las diferentes
estaciones.
Puedes obtener más información
en: http://www.phy6.org/stargaze/Mseasons.htm
IDEAS ACTUALES SOBRE EL ORIGEN Y EVOLUCIÓN DEL UNIVERSO
El astrónomo norteamericano Edwin Hubble descubrió en 1938 que todas las
galaxias se alejan entre sí a gran velocidad. Ellos sirvió de base para que el
físico George Gamow propusiera en 1949 la teoría del Big Bang (o la Gran
Explosión) para explicar el origen del universo.
Según Gamow, todo lo que vemos se formó a partir de una concentración muy
densa (prácticamente un punto geométrico) de materia que "estalló" y desde
entonces ha ido enfriándose y aumentando de volumen, mientras se fueron
formando las partículas, los átomos, las estrellas, los planetas…
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
Página 8
Puedes ampliar tu información consultando estas páginas:
Big Bang http://icarito.latercera.cl/icarito/2001/834/pag2.htm
La creación del Universo http://icarito.latercera.cl/icarito/2001/834/bigbang.htm
Los agujeros negros http://icarito.latercera.cl/icarito/2001/834/pag5.htm
Fin del tema
Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal
Página 9