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UNA SECUENCIA POSIBLE: RADICALES 1. Indiquen en, cada caso, cuál de los números es mayor. Expliquen qué hacen para contestar. Sólo pueden usar la calculadora para verificar resultados. 3 3 1 4 3 �(−7) 𝑦𝑦 �(−7)6 √4 𝑦𝑦 �4 √2 y √3 5 𝑦𝑦 12 15 6 36 13 11 𝑦𝑦 26 El problema permite: comparar números reales expresados de distinta manera, comparar números irracionales a partir de cálculos aproximados y utilizando propiedades de la radicación, rescatar la amplificación y la simplificación de fracciones como recursos para comparar números racionales fraccionarios. 2. Indiquen si los siguientes números son racionales. Expliquen qué hacen para contestar. Sólo pueden usar la calculadora para verificar resultados. 1 � √15 √16 5 3 � 9 2 16 2 � . 25 1 √2 5√5 1 2√125 √3 √243 El problema permite: retomar propiedades de la radicación, simplificar expresiones fraccionarias, diferenciar expresiones fraccionarias racionales y no racionales. 3. Indiquen, en cada caso, un número que se encuentre entre los dados. Sólo pueden usar la calculadora para verificar resultados. 2 3 y 4 √2 3 5 𝑦𝑦 √2 5 √2 3 𝑦𝑦 √2 2 1 √2 y √2 2 3 √3 𝑦𝑦 5 √5 El problema permite comparar expresiones fraccionarias, observar que la estrategia óptima para hallar expresiones equivalentes depende de la forma de la expresión, observar que los radicales en el denominador dificultan la aproximación de resultados y por ende la comparación, observar que la amplificación de expresiones fraccionarias con radicales permite eliminar los radicales del denominador. 4. En los ejercicios anteriores, ¿Les resultó conveniente trabajar con radicales en el denominador? ¿Por qué? La pregunta permite la reflexión sobre lo realizado y la organización de estrategias. 5. Encuentren, en cada caso, una expresión equivalente que no tenga radicales en el denominador. Sólo pueden usar la calculadora para verificar resultados. 1 √3 1 √5 1 √7 2 √3 5 √11 6. 1 √13 = Probar que las siguientes expresiones son equivalentes. √13 13 1 √8 = √8 8 2 √5 = 2√5 5 3 √2 = 3√2 2 7 √7 = √7 Los problemas 5 y 6 permiten comparar procesos para observar regularidades y plantear hipótesis acerca de cómo obtener, sin hacer cuentas, expresiones equivalentes a las dadas pero que no tengan radicales en el denominador. 7. Decidan si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Expliquen por qué. Si 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒: 1 √𝑎𝑎 = √𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 √𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 √𝑎𝑎 𝑎𝑎 Este problema permite establecer generalizaciones y validar las hipótesis. Racionalización de radicales Cuando quitamos los radicales del numerador o del denominador de una expresión fraccionaria, decimos que estamos racionalizando. En álgebra, normalmente racionalizamos el denominador pero, en cálculo, a veces es importante racionalizar el numerador y el denominador. El procedimiento de racionalización implica amplificar, por ejemplo: 1 1 3 3 = ⋅ = 3 3 3 3