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PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOS
VECTORIALES
1.
2.
3.
4.
5.
Producto Tensorial.
El Funtor Producto Tensorial.
Propiedades del Producto Tensorial.
Álgebra Tensorial de un Espacio Vectorial.
El Funtor Álgebra Tensorial.
1. Producto Tensorial:
Consideremos los n espacios vectoriales V1, ..., Vn, sobre el cuerpo conmutativo K,
y sea χ la categoría cuyos objetos son los pares (f,T), donde T es un k-espacio
vectorial y f:V1x...xVn Æ T es una aplicación multilineal, tales que si (f’,T’) es otro
objeto de la categoría χ, entonces todo morfismo del conjunto (( f , T ), ( f ' , T '))χ es
un homomorfismo g:TÆT’ tal que f’=g.f.
Definición 1:
Se denomina producto Tensorial de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn a un objeto
inicial (f,T) de la categoría χ. El espacio vectorial T se denomina también producto
tensorial de V1,...,Vn, y se denota por
n
T = V1 ⊗ ... ⊗ Vn = ⊗ Vi = T (V1 ,..., Vn )
i =1
Definición equivalente a la anterior:
Un Producto Tensorial de los kespacios vectoriales V1,...Vn, es un kespacio vectorial T junto con una
aplicación
multilineal
f ∈ Ln (V1 ,...,Vn ; T ) tal que para todo kespacio
vectorial
T’
y
toda
f '∈ Ln (V1 ,...,Vn ; T ' ) , se cumple que
∃g ∈ Hom(T , T ' ) único
tal
que
el
triángulo de la figura es conmutativo,
es decir, f’=g.f.
Proposición 1:
Si (f, T) es un producto tensorial de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn, entonces
se verifica que f (V1 x...xVn ) ⊆ T genera T.
1
Demostración:
A ⊆ T el subespacio de T engendrado por
f (V1 x...xVn ) y f '∈ Ln (V1 ,...,Vn ; A) tal que e.f’=f, donde
es e : A → T la identidad sobre A. Por tanto, existe un
único g : T → A tal que
Sea
go f = f'
Premultiplicando por e resulta: e o g o f = e o f ' = f .
Considerando el segundo diagrama: existe un único
homomorfismo (la identidad) i:TÆT tal que i.f=f. Pero
también es: e.g.f=f por lo que e.g=i lo que implica que
e es sobreyectiva, por lo que A=T
Proposición 2 (unicidad):
Si (f,T) y (f’,T’) son productos tensoriales de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn,
existe un único isomorfismo j:TÆT’ tal que j o f = f ' .
Demostración:
Puesto que
f ∈ Ln (V1 ,...,Vn ; T ) y f '∈ Ln (V1 ,...,Vn ; T ')
se tiene que existen homomorfismos j:TÆT’ y k:T’ÆT,
únicos, tales que
j. f = f '
k . j. f = k . f ' = f
⇒
k. f ' = f
j.k . f ' = j. f = f '
Observando este segundo diagrama, se tiene que
existe un único homomorfismo (la identidad) iT:TÆT
tal que i.f=f. Pero también hemos visto que:
k . j. f = f ⇒ k . j = iT
Análogamente obtendríamos que
ambas, que j=k-1 es un isomorfismo.
j.k = iT . Y de
Proposición 3 (existencia):
Dados los k-espacios vectoriales V1, ..., Vn, existe su producto tensorial.
Demostración:
2
Consideremos el k-módulo libre (i, F) sobre el conjunto V1 x...xVn , que es,
evidentemente, un k-espacio vectorial. Y sea N el subespacio vectorial engendrado
por los elementos del tipo siguiente:
(
)
(
i x1 ,..., λxi + µxi' ,...x n − λ .i ( x1 ,..., xi ,...x n ) − µ .i x1 ,..., xi' ,...x n
Y sea T = F / N
con la proyección natural p:FÆT. Sea
)
f = p.i : V1 x...xVn → T .
Vamos a probar que (f, T) es un producto tensorial de V1, ..., Vn.
1) Veamos que f es multilineal:
f ( x1 ,..., λxi + µxi' ,..., x n ) − λ . f ( x1 ,..., xi ,..., x n ) − µ . f ( x1 ,..., xi' ,..., x n ) =
[
= p[i ( x ,..., λx
]
[
]
= p i ( x1 ,..., λxi + µxi' ,..., x n ) − λ . p[i ( x1 ,..., xi ,..., x n )] − µ . p i ( x1 ,..., xi' ,..., x n ) =
1
i
]
+ µx ,..., x n ) − λi ( x1 ,..., xi ,..., x n ) − µi ( x1 ,..., x ,..., x n ) = 0
'
i
'
i
Por tanto, es f ( x1 ,..., λxi + µxi ,..., x n ) = λ . f ( x1 ,..., xi ,..., x n ) + µ . f ( x1 ,..., xi ,..., x n ) y es f
'
'
aplicación multilineal.
2) (f,T) es un producto tensorial:
Sea g ∈ Ln (V1 ,..., Vn ; E ) . Como (i,F) es un k-módulo libre, ∃j : F → E
joi = g
[
]
j i ( x1 ,..., λxi + µxi' ,..., x n ) − λ .i ( x1 ,..., xi ,..., x n ) − µ .i ( x1 ,..., xi' ,..., x n ) =
[
]
[
tal que
]
= j i ( x1 ,..., λxi + µxi' ,..., x n ) − λ . j[i ( x1 ,..., xi ,..., x n )] − µj i ( x1 ,..., xi' ,..., x n ) =
= g ( x1 ,..., λxi + µxi' ,..., x n ) − λ .g ( x1 ,..., xi ,..., x n ) − µ .g ( x1 ,..., xi' ,..., x n ) = 0
Esto nos indica que N ⊆ Ker ( j ) , lo que implica que j induce un homomorfismo
h:TÆE tal que h o p = j , por lo que en el siguiente diagrama se verifica que:
ho f = ho poi = j oi = g
3) h es único:
Sea k:TÆE cualquier homomorfismo de espacios vectoriales que satisfaga k o f = g .
Como
f (V1 x...xVn ) ⊆ T genera a T,
entonces, cualquier elemento de T puede
escribirse como combinación lineal de elementos de f (V1 x...xVn ) :
r
∀t ∈ T , t = ∑ λi . f ( x1i ,..., xni )
i =1
3
lo cual nos indica que
r
r
i =1
i =1
k (t ) = ∑ λi .k . f ( x1 ,..., xn ) = ∑ λi .g ( x1 ,..., xn ) = h(t ) ⇒ k = h
Por tanto, (f,T) es un producto tensorial de los espacios vectoriales V1,...,Vn.
Nota: Si (f,T) es el producto tensorial de V1, ...,Vn, como las aplicaciones multilineales
no son inyectivas ya que se tiene por ejemplo que
f ( x1 ,..., λx n ) = f (λx1 ,..., x n )
y ( x1 ,..., λx n ) ≠ (λx1 ,..., x n )
n
nos indica que no podemos identificar V1,...,Vn con un subconjunto de T = ⊗ Vi
i =1
La imagen por f del elemento ( x1 ,..., x n ) ∈ V1 x...xVn se denota por
f ( x1 ,..., x n ) = x1 ⊗ ... ⊗ x n
Como f (V1 x...xVn ) genera a T, ∀t ∈ T puede escribirse:
r
t = ∑ λi .x1i ⊗ ... ⊗ x ni , tal que x ji ∈ V j
i =1
expresión que no es única. En particular si
{ }
{ }
B1 = u1i1 , i1 ∈ I 1 ,......, Bn = u nin , in ∈ I n
son bases de V1,...,Vn respectivamente, un sistema de generadores de V1 ⊗ ... ⊗ Vn
sería:
{
}
B = u1i1 ⊗ ... ⊗ u nin , i j ∈ I j
4
2. El Funtor Producto Tensorial:
Consideremos una familia de homomorfismos entre k-espacios vectoriales:
f i : Vi → Vi ' (i = 1,..., n)
Se tiene, entonces, una aplicación
Πf i : V1 x...xVn → V1' x...xVn'
(1)
Consideremos la categoría Γ cuyos objetos son n-plas de k-espacios vectoriales y
cuyos morfismos son aplicaciones del tipo (1) anterior. Sea también Φ la categoría
cuyos objetos son los pares (f,A) donde A es un k-espacio vectorial y asimismo es
f : V1 x...xVn → A una aplicación multilineal entre k-espacios vectoriales, y tal que
si (f’, A’) es otro objeto de Φ, todo morfismo del conjunto
{( f , A), ( f ' , A')}Φ
es un
homomorfismo g:AÆA’.
La operación Producto Tensorial de n k-espacios vectoriales nos permite definir una
función T: ΓÆΦ integrada por dos funciones:
1) Función objeto:
A cada n-pla de la categoría Γ, V1,...,Vn , le hace corresponder su producto tensorial:
 n 
T (V1 ,...Vn ) =  f , ⊗Vi 
 i =1 
2) Función morfismo:
n
Si es Π f i : V1 x...xVn → V1 x...xVn , entonces f 'oΠ f i ∈ Ln (V1 ,..., Vn ; ⊗ Vi ) y esto implica
'
'
'
i =1
n
n
i =1
i =1
que ∃h : ⊗ Vi → ⊗ Vi único tal que h o f = f 'oΠ f i . Definimos, a partir de esto:
'
5
T (Πf i ) = h , que denotamos de la forma T ( f1 ,..., f n ) = f 1 ⊗ ... ⊗ f n
Es inmediato que T es un funtor
puesto que si es
de la categoría Γ a la categoría Φ, T : Γ → Φ ,
Πg i : Vi ' x...xVn' → Vi" x...xVn" , entonces: T (Πg i o Πf i ) = h'oh = T (Πg i ) o T (Π f i )
El funtor T se denomina funtor producto tensorial. Si es V1=V2=...=Vn=V, se
denomina Funtor Producto Tensorial n-simo, y lo podemos indicar por Tn(V).
6
3. Propiedades del Producto Tensorial:
Proposición 4
Sean V1,...,Vn, E n+1 k-espacios vectoriales. Entonces:

n
1
=
i


*
2) [V1 ⊗ ... ⊗ Vn ] ≅ Ln (V1 ,..., Vn ; k )
1) Hom ⊗ Vi , E  ≅ Ln (V1 ,..., Vn ; E )
Demostración:
n
1) Sea f : V1 x...xVn → ⊗ Vi la aplicación tensorial. Se tiene que:
i =1

n
∀h ∈ Hom ⊗ Vi , E  ⇒ h o f = g ∈ Ln (V1 ,...,Vn ; E )
i
1
=



n
Queda así definida una aplicación σ : Hom ⊗ Vi , E  → Ln (V1 ,..., Vn ; E ) que se prueba

 i =1
fácilmente es un homomorfismo. Puesto que por hipótesis:
•
n
∀g ∈ Ln (V1 ,...Vn ; E ), ∃ h : ⊗ Vi → E / h o f = g
i =1
es claro que el homomorfismo σ es un isomorfismo, como se pretendía probar.
2) Es consecuencia de 1). Bastaría hacer E=k.
Proposición 5:
Sean V1,...,Vn k-espacios vectoriales. Entonces:
1) V1 ⊗ k ≅ V1 ≅ k ⊗ V1 .
2) Sea
Π (V1 ,...,Vn ; ( ); ⊗)
un
producto
tensorial
construido
combinando
adecuadamente V1,...,Vn (en este órden), paréntesis y el símbolo ⊗. Se tiene
que existe un isomorfismo:
σ : Π (V1 ,...,Vn ; ( ); ⊗) → V1 ⊗ ... ⊗ Vn
llamado isomorfismo de asociatividad, tal que si xi ∈ Vi es:
σ : Π ( x1 ,..., x n ; ( ); ⊗) → x1 ⊗ ... ⊗ x n
3) Existe un único isomorfismo, llamado isomorfismo de conmutatividad, tal
que
Demostración:
7
1) Sea la aplicación bilineal g : V1 xk → V1 tal que g ( x, d ) = dx, ∀x ∈ V1 , ∀d ∈ K .
En tales condiciones existe un único homomorfismo h:
h : V1 ⊗ k → V1 / h o f = g en el triángulo anejo.
Como g ( x,1) = x, ∀x ∈ V1 ⇒ g es suprayectiva ⇒ es
epimorfismo.
Para probar que ha es isomorfismo consideremos que ∀t ∈ V1 xk , ∃x1 ,..., x n ∈ V1 y
tambien ∃λ1 ,..., λ n ∈ k tales que
n
n
n
i =1
i =1
i =1
t = ∑ (xi ⊗ λi ) =∑ (λi xi ⊗ 1) =∑ (λi xi ) ⊗ 1
  n
 n


 n
 n
h(t ) = h ∑ (λi xi ) ⊗ 1 = h  f  ∑ λi xi ,1 = g  ∑ λi xi ,1 = ∑ λi xi
 i =1


 i =1
 i =1
  i =1
Por tanto, h(t ) = 0 ⇔ t = 0 ⊗ t = 0 ⇒ h es monomorfismo ⇒ V1 ⊗ k ≈ V1
Un razonamiento análogo prueba que k ⊗ V1 ≈ V1
2) Aquí nos limitaremos a probar el caso de n=3, y también se cumple que
Π (V1 ,V2 ,V3 ; ( );⊗) = (V1 ⊗ V2 ) ⊗ V3
Se tiene:
- La
-
g : V1 xV2 xV3 → (V1 ⊗ V2 ) ⊗ V3 ,
aplicación
g ( x, y, z ) = ( x ⊗ y ) ⊗ z es trivialmente multilineal.
La
aplicación,
∀z ∈ V3 , bz : V1 xV2 → V1 ⊗ V2 ⊗ V3 ,
tal
tal
que
que
bz ( x, y ) = x ⊗ y ⊗ z es trivialmente multilineal. Esto implica que
−
existe un homomorfismo único b z : V1 ⊗ V2 → V1 ⊗ V2 ⊗ V3 , tal que es
−
bz ( x ⊗ y ) = x ⊗ y ⊗ z
-
La aplicación g ': (V1 ⊗ V2 )xV3 → V1 ⊗ V2 ⊗ V3 , definida por
g ' (∑ ci ( xi ⊗ y i ), z ) = b z (∑ ci ( xi ⊗ y i ) ) = ∑ ci ( xi ⊗ y i ⊗ z i )
−
8
es, por todo lo dicho, una aplicación bilineal.
-
Como consecuencia, existen h, h’, homomorfismos únicos tales que
h. f = g ⇒ h( x ⊗ y ⊗ z ) = h. f ( x, y, z ) = g ( x, y, z ) = ( x ⊗ y ) ⊗ z
h'. f ' = g ' ⇒ h' (( x ⊗ y ) ⊗ z ) = h'. f ' (( x ⊗ y ), z ) = g ' (x ⊗ y ), z ) = x ⊗ y ⊗ z
Veamos que h’.h.f=f:
h'.h. f ( x, y, z ) = h'.h( x ⊗ y ⊗ z ) = h' (( x ⊗ y ) ⊗ z ) = x ⊗ y ⊗ z = f ( x, y, z )
-
En el segundo diagrama existe un solo homomorfismo i (identidad)
tal que i.f =f. Pues h'.h. f = f ⇒ h'.h = i . Análogamente, si
consideramos
(V1 ⊗ V2 ) ⊗ V3 en
lugar de V1 ⊗ V2 ⊗ V3 obtendríamos
h.h' = i , y de ambas que h’=h es un isomorfismo, como se pretendía
-1
demostrar.
Para n>3 y combinaciones distintas a la no considerada
demostración es análoga, aunque obviamente más laboriosa.
aquí,
la
3) Es análogo al caso anterior 2). Basta considerar el diagrama siguiente, en
donde se verifica que
g ( x, y ) = y ⊗ x, g ' ( y, x) = x ⊗ y, ∀x ∈ V1 , ∀y ∈ V2
Proposición 6:
Si los k-espacios vectoriales A y B son descomponibles en suma directa de espacios
A = ⊕ Aµ , B = ⊕ Bν
µ∈M
ν ∈N
Entonces se verifica que
A ⊗ B ≅ S = ⊕ Aµ ⊗ Bν
µ ,ν
Demostración:
9
Sean los dos homomorfismos de inclusión i µ : Aµ → A,
producto tensorial:
s=
jυ : Bυ → B junto con su
i µ ⊗ jυ : Aµ ⊗ Bυ → A ⊗ B . Por definición, ∀s ∈ S es:
∑ x µυ , donde
µ ,υ∈F
F ⊆ MxN es finito y x µυ ∈ Aµ ⊗ Bυ
Definamos el homomorfismo h : S → A ⊗ B tomando:
h( s ) =
∑ (iµ ⊗ jυ )( x µυ )
µ ,υ∈F
Consideremos las proyecciones naturales: pµ : A → Aµ , qυ : B → Bυ junto con su
producto tensorial pµ ⊗ qυ : A ⊗ B → Aµ ⊗ Bυ . La aplicación
k : A ⊗ B → S tal que k (a ⊗ b) = ∑ ( pµ ⊗ qυ )(a ⊗ b)
µ ,υ
es trivialmente un homomorfismo. Vamos a probar que h.k es el homomorfismo
identidad sobre A⊗B. Sean ∀a ∈ A, ∀b ∈ B. Entonces:


h[k (a ⊗ b )] = h ∑ ( pµ ⊗ qυ )(a ⊗ b) = ∑ (iµ ⊗ jυ )( pµ ⊗ qυ )(a ⊗ b) =
 µ ,υ
 µ ,υ

 

= ∑ {[(iµ . pυ )(a)] ⊗ [( jυ .qυ )(b)]} = ∑ (iµ . pυ )(a) ⊗ ∑ ( jυ .qυ )(b) = a ⊗ b
µ ,υ

µ
 υ
Como el conjunto {a ⊗ b} genera A ⊗ B ⇒ h.k es el homomorfismo identidad sobre
A ⊗ B . Para probar que k.h es el homomorfismo identidad sobre S, sean
α ∈ M , β ∈ N , a ∈ Aα , b ∈ Bβ arbitrariamente dados. Entonces:
[ iα ⊗ jβ )(a ⊗ b )] =
k [h(a ⊗ b)] = k [(iα ⊗ j β )(a ⊗ b)] = ∑ ( p µ ⊗ qυ )(
µ ,υ

 

= ∑ ( p µ .iα )(a ) ⊗ ∑ (qυ . j β )(b) = a ⊗ b

µ
 υ
Como
{a ⊗ b}
genera S ⇒ k.h es el isomorfismo identidad sobre S ⇒ h,k son
isomorfismos y la proposición queda probada.
n
Corolario:
Sean B1,...,Bn bases de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn respectivamente.
Entonces B = u1i1 ⊗ ... ⊗ uni n , i j ∈ I j es una base de V1 ⊗ ... ⊗ Vn .
{
}
Demostración:
{
Por la anterior proposición es inmediato que u1i1 ⊗ u2i2
[( ) ( )]
} es una base de V ⊗ V
1
2
ya
que V1 ⊗ V2 ≅ ⊕ u1i1 ⊗ u2i 2 , i j ∈ I j . Supóngase el corolario cierto para n-1 y
10
A = V1 ⊗ ... ⊗ Vn −1 , B = Vn . Por la proposición
u1i1 ⊗ ... ⊗ un −1,in−1 ⊗ unin es una base A ⊗ B . Si aplicamos
vamos a probarle para n. Hacemos
precedente, la familia
{(
)
}
ahora el isomorfismo de asociatividad (proposición 5) resulta inmediatamente que B
es una base de V1 ⊗ ... ⊗ Vn .
Es inmediato que dim(V1 ⊗ ... ⊗ Vn ) = dim V1..... dim Vn .
En particular si es V1 = ... = Vn = V y es
B = {u1 ,..., ur } una base de V, una base del
n
producto tensorial T (V) será:
{u
u
i1 ,..., ni n
},
i j ∈ VRr , n
donde (i1 ,..., in ) ∈ VRr , n = variaciones n-arias con repetición de los elementos (1,..r)
11
4. Álgebra Tensorial de un Espacio Vectorial:
∞
La suma directa T (V ) = ⊕ T (V ) es obviamente un espacio vectorial N-graduado.
r
r =0
Vamos a probar en lo que sigue que, definiendo cierta operación, T(V) es un álgebra
tensorial del k-espacio vectorial V.
Sea χ la categoría cuyos objetos son pares (f, A) donde A es una k-algebra
asociativa y unitaria y f es un homomorfismo de k-espacios vectoriales f:VÆA, y es
tal que si (f’, A’) es otro objeto de χ, todo morfismo g del conjunto
{( f , A), ( f ' , A' )}χ es un homomorfismo de k-álgebras g:AÆA’ tal que g.f=f’ y
g(1)=1.
Definición 2:
Un álgebra tensorial del k-espacio vectorial V es un objeto inicial de la categoría χ.
La k-algebra asociativa y unitaria T se denomina también álgebra tensorial de V.
Definición equivalente a la anterior:
Un álgebra tensorial del k-espacio vectorial V es una k-algebra asociativa y unitaria
T junto con un homomorfismo de k-espacios vectoriales τ : V → T tal que para
toda k-algebra asociativa y unitaria T’ y todo homomorfismo de k-espacios
vectoriales τ ' : V → T ' exista un solo homomorfismo de k-algebras g:TÆT’ y g(1T)=1T,
y τ ' = g .τ
Proposición 7:
Si (τ , T ) es un álgebra tensorial de V, entonces el conjunto A = τ (V ) ∪ {1} engendra
a T.
Demostración:
Es análoga a la Proposición 1. Basta considerar M subálgebra de T engendrada por
A.
Proposición 8 (unicidad):
Si (τ , T ) y (τ ' , T ' ) son dos álgebras tensoriales de V, existe un único isomorfismo
de k-álgebras j:TÆT’ tal que j.τ = τ '
Demostración:
Análoga a la Proposición 2.
12
Proposición 9 (existencia):
Existe un álgebra tensorial del k-espacio vectorial V.
Demostración:
La demostración consiste en su construcción, que haremos sobre el k-espacio
vectorial T(V).
-
1) Para que T(V) sea un k-álgebra asociativa y unitaria es preciso
definir en T(V) una nueva operación o aplicación T(V)xT(V)ÆT(V) que
sea bilineal, asociativa y unitaria. Aprovecharemos para ello el
isomorfismo de asociatividad del producto tensorial (Proposición 5).
Existe un único isomorfismo
σ : T r (V ) xT s (V ) → T r + s (V )
tal que:
σ [(x1 ⊗ ... ⊗ x r ) ⊗ ( y1 ⊗ ... ⊗ y s )] = x1 ⊗ ... ⊗ x r ⊗ y1 ⊗ ... ⊗ y s ∈ T r + s (V )
−
Este isomorfismo nos permite definir una aplicación bilineal ⊗ :
−
⊗ : T r (V ) xT s (V ) → T r + s (V )
tal que:
−
−
⊗( x1 ⊗ ... ⊗ x r , y1 ⊗ ... ⊗ y s ) = ( x1 ⊗ ... ⊗ x r ) ⊗( y1 ⊗ ... ⊗ y s ) =
= x1 ⊗ ... ⊗ x r ⊗ y1 ⊗ ... ⊗ y s
que es asociativa, pues:
−

−
(
)
(
)
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
x
...
x
y
...
y
1
r
1
s

 ⊗( z1 ⊗ ... ⊗ z t ) =
= x1 ⊗ ... ⊗ x r ⊗ y1 ⊗ ... ⊗ y s ⊗ z1 ⊗ ... ⊗ z t
(x1 ⊗ ... ⊗ x r ) ⊗( y1 ⊗ ... ⊗ y s ) ⊗(z1 ⊗ ... ⊗ z t ) =
−
−

= x1 ⊗ ... ⊗ x r ⊗ y1 ⊗ ... ⊗ y s ⊗ z1 ⊗ ... ⊗ z t

−
Además, trivialmente se verifica que ( x1 ⊗ ... ⊗ x r ) ⊗1 = x1 ⊗ ... ⊗ x r
Como
x = ∑ c r .x r tal que c r ∈ k , x r ∈ T r (V ) , la
∀x ∈ T (V ) es:
aplicación T (V ) xT (V ) → T (V ) que buscamos, denotada también por
−
⊗ , es:
⊗(∑ c r x r , ∑ c s x s ) = ∑ c r .c s x r ⊗ x s ∈ T (V )
−


−
−


Conclusión: T (V ),+, ⊗ es un k-álgebra N-graduada asociativa
y unitaria.
13
-
2) Sea
probar
τ : V → T (V ) tal que ∀x ∈ V ,τ ( x) = x ∈ T ' (V ) ⊆ T (V ) . Vamos a
que el par (τ , T (V ) ) es un álgebra tensorial de V. Sea (g, A)
otro objeto de la categoría χ y vamos a demostrar que existe un solo
homomorfismo de k-álgebras h : T (V ) → A tal que h(1) = 1 y que
h.τ = g :
a) Definimos h(1)=1.
b) El homomorfismo de espacios vectoriales g : V → A , puede
ampliarse hasta una aplicación r-lineal g r : V → A , definida
por
r
g r ( x1 ,..., x n ) = g ( x1 )... f ( x n )
(
r
)
Puesto que f r , T (V ) es un producto tensorial r-simo de V,
lo que implica que existe un único homomorfismo de
espacios vectoriales hr : T (V ) → A tal que hr . f r = g r y, por
tanto, tal que:
r
hr ( x1 ⊗ ... ⊗ x r ) = hr . f r ( x1 ,..., x r ) = g r ( x1 ,..., x r ) = g ( x1 )...g ( x r )
c) Consideremos la aplicación h : T (V ) → A tal que se cumpla
h(∑ c r .x r ) = ∑ c r .hr ( x r ), ∀∑ c r .x r ∈ T (V )
se prueba trivialmente que está bien definida y que es un
homomorfismo de k-álgebras unitarias tal que h(1) = 1 y que
h.τ = g .
-
3)
Veamos
que
h así definido es único. Si hubiese
k ∈ Hom(T (V ), A) tal que k (1) = 1, k .τ = g , debería ser:
otro
k ( x1 ⊗ ... ⊗ xr ) = k ( x1 ) ⊗ ... ⊗ k ( xr ) = kτ ( x1 ) ⊗ ... ⊗ kτ ( xr ) =
= g ( x1 ) ⊗ ... ⊗ g ( xr ) = h( x1 ) ⊗ ... ⊗ h( xr ) =
Como la familia {x1 ⊗ ... ⊗ xr }, r ∈ N , es un sistema de generadores
de T(V), lo que implica que k=h, y por tanto es único.
Queda así probado que
(τ , T (V ) )
es un álgebra tensorial de V.
14
5. El Funtor Álgebra Tensorial:
Sea Γ la categoría cuyos objetos son k-espacios vectoriales y cuyos morfismos son
homomorfismos de k-espacios vectoriales. Sea Φ la categoría cuyos objetos son
pares (f,A) donde f:VÆA es un homomorfismo de k-espacios vectoriales, V un kespacio vectorial, y A un k-álgebra arbitrario y tal que si (f’,A’) es otro objeto de Φ
todo morfimo del conjunto {( f , A), ( f ' , A')}Φ es un homomorfismo de k-álgebras
g:AÆA’.
La operación álgebra tensorial nos permite definir una función T: ΓÆΦ integrada por
dos funciones:
1) Función objeto:
A cada objeto V de Γ adjudica su álgebra tensorial
(τ , T (V ) ) ∈ Φ
2) Función morfismo:
Si V ,V '∈ Γ, f : V → V ' , entonces
fismo de k-álgebras tal que
τ '. f : V → T (V ' ) es un homomor-
τ '. f = h.
Definimos:
T ( f ) = h ∈ {(τ , T (V ) ), (τ ' , T (V ' ) )}Φ
Es trivial comprobar que la función T : Γ → Φ es un funtor.
En efecto, si g:V’ÆV”, entonces:
T ( g. f ) = h'.h = T ( g ).T ( f ) ∈ {(τ , T (V ) ), (τ ", T (V " ) )}
T (id ) = id ∈ {(τ , T (V ) ), (τ , T (V ) )}Φ
Esto implica que T es un funtor covariante, que se llama Funtor Álgebra Tensorial.
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