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UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA
FACULTAD DE CIENCIAS
Licenciatura en Matemática
ÁLGEBRA I (MA013)
(Plan 1992)
DICTADA EN EL CUARTO SEMESTRE.
Carga horaria: Total: 6 hs. semanales (90 hs. semestrales)
Teórico: 4 hs. semanales (60 hs. semestrales)
Práctico: 2 hs. semanales. (30 hs. semestrales.
Programa de la asignatura:
1) Grupos Abelianos:
- Definiciones y ejemplos ((Z, +), (Zn, +)).
- Subgrupos, homomorfismos, cocientes y teoremas de isomorfismo.
2) Anillos (con identidad)
- Definiciones y ejemplos. Polinomios.
- Propiedades elementales (-1.a= -a, etc). Divisores de cero. Invertibles. Dominios de
integridad. Anillos con división. Cuerpos. Álgebras sobre un cuerpo.
- Homomorfismos de anillos. Subanillos e ideales (unilaterales y bilaterales). Ideales
de Mn(k). Anillos cociente. Característica de un anillo. Elementos irreductibles.
Ideales primos y maximales. Cuerpos, dominios de integridad. Ideales en Z y k[X].
Teoremas de isomorfismo.
- Localización para anillos conmutativos, definición de anillo local. Cuerpo de
fracciones de un dominio de integridad.
- Divisibilidad en dominios de integridad. Dominios de factorización única, de
ideales principales y euclideanos. Todo dominio de ideales principales es de
factorización única. Lema de Gauss. Si k es el cuerpo de fracciones de A, entonces
todo elemento irreductible en A[X] lo es en k[X]. Si A es factorial entonces A[X] es
factorial. Criterio de irreducibilidad de Einstein.
Optativo: Anillos factoriales, anillos de ideales principales, comentarios sobre
aritmética en anillos de enteros, teorema de la base de Hilbert.
3) Módulos
- Definiciones y ejemplos (espacios vectoriales, representaciones de grupos, grupos
abelianos, representaciones de k[X] asociadas a transformaciones lineales, ideales
izquierdos y derechos). Álgebras.
- Submódulos, suma e intersección, submódulo generado. Homomorfismos.
Cocientes y teoremas de isomorfismo. Sumas directas externas e internas. Productos
finitos e infinitos.
-
Módulos cíclicos (Am  A/anl(m)). Módulos simples e indescomponibles.
Producto tensorial: caso de espacios vectoriales y de anillos conmutativos y no
conmutativos. Álgebra tensorial.
Functores Hom y  (módulos proyectivos, inyectivos y planos no incluidos).
Sucesiones exactas, escisión.
Módulos finitamente generados. Bases de módulos libres.
Enunciado del teorema de estructura de módulos finitamente generados sobre un
dominio de ideales principales. Factores invariantes y divisores elementales.
Deducción de la forma canónica de matrices sobre un cuerpo.
Optativo: Módulos, anillos y álgebras noetherianos (artinianos). Todo módulo
finitamente generado sobre un anillo noetheriano (artiniano) es noetheriano (artiniano).
Teorema de la base de Hilbert.
BIBLIOGRAFÍA
1.
2.
3.
4.
Basic Álgebra I, N. Jacobson, W.H. Freeman.
Algebra, S. Lang, Addison Wesley.
Algebra, T. W. Hungerford, Springer-Verlag.
Algebra, W. Adkins, S. Weintraub, Springer-Verlag.