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LÓGICA
Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y
deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite
llegar a conclusiones generales a partir de observaciones
particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos
permite llegar a conclusiones particulares a partir de
observaciones generales.
ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o
dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones,
preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc.
ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de
expresión matemática que no es verdadero ni falso.
Ejemplos:
x<9
x + 2 = 10
a+b=1
a2 + b2 = c2
PROPOSICIÓN LÓGICA (enunciado cerrado) es un
enunciado informativo que admite la posibilidad de ser
Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez.
La veracidad o falsedad de una proposición se
denomina “Valor de verdad de la proposición”
SON PROPOSICIONES:
NO SON PROPOSICIONES:
39 es un número primo
(
F)
Resuelve este problema
Huancayo queda en Junín
(
V)
¿Puedes prestarme tu libro?
1/2 < 1/4
(
F)
Buenos días profesor
PROPOSICIÓN SIMPLE: Es aquella que contiene una
sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t,
….. a las que llamaremos variables proposicionales
Ejemplos: VALOR DE VERDAD
1. 15 es un número primo
2. Lima es la capital del Perú
3. 32 = 9
:p
:q
:r
( F)
( V)
( F)
PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas que
están formadas por dos o más proposiciones simples o
es la negación de una proposición simple.
En toda proposición compuesta las proposiciones
simples están ligadas mediante palabras conocidas
como conectivos lógicos
Conectivos lógicos
Son palabras que permiten relacionar dos
proposiciones o negar una proposición
simple. Cuando se les representan por
símbolos se les llama operadores lógicos.
Los siguientes conectivos son los más
recurrentes:
1. “si y sólo si”
2. “o . . . o”
3. “si…entonces…”
4. “o”
5. “y”
6. “no”
PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD
p
p q
p q r
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
21
22
23
Las tablas de verdad son
representaciones gráficas,
en forma de arreglos,
que sirven para analizar los
posibles valores de verdad
que puede tener una
proposición
simple o compuesta.
En general para
“n” proposiciones,
se pueden
presentar 2n
posibilidades
Definición de Algunos Enunciados
Compuestos
1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos
proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es
“” y se llama conjuntor.
Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica”
p
p : Jorge viajó al Cusco
q
Simbología: “p  q”
q : Luis viajó a Ica
NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras
pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
p

q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
La conjunción sólo es verdadera
cuando las dos proposiciones
son verdaderas.
2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un
enunciado compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “” y se llama
disyuntor.
Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca”
r
r : Eliana viajará al Cuzco
s : Eliana viajará a Cajamarca
s
Simbología: “r  s”
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
DÉBIL
p

q
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
La disyunción es falsa solo si
ambas proposiciones son falsas
3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un
enunciado compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “”
y se llama disyuntor fuerte.
Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco”
p
p : Ricardo radica en Miraflores
q : Ricardo radica en Barranco
q
Simbología: “p  q ”
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
FUERTE
p

q
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
La disyunción fuerte es verdadera
solo si ambas proposiciones
tienen diferentes valores de verdad
La disyunción fuerte es falsa
solo si ambas proposiciones
tienen idénticos valores de verdad
4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el
que dos proposiciones se relacionan con el conectivo
“Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama
implicador.
Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2”
p
q
p : 12 es un número par ……………….… (antecedente)
q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente)
Simbología: “p → q ”
Notas:
1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por
consiguiente q; p luego q; p de manera q; etc.
2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que
p; q siempre que p; q porque p; etc.
Ejemplo
La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3
(antecedente) p
(consecuente) q
426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3
(consecuente) q
(antecedente) p
La simbología para ambos casos es: p → q
TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL
p

q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
El condicional solo es falso
cuando el antecedente es verdadero
y el consecuente es falso.
5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el
que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si
y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble
implicador.
Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua”
p
p : Sicilia es una isla
q : Sicilia está rodeada de agua
q
Simbología: “p ↔ q ”
TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL
p

q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
El bicondicional es verdadero
solo si ambas proposiciones poseen
idénticos valores de verdad
El bicondicional es falso
solo si ambas proposiciones poseen
diferentes valores de verdad
6. LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en
la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no
es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se
le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo
es “” y se llama negador.
Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo”
p
Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo”
p
Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al
operador de mayor jerarquía en dicha proposición.
Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero
q
Simbología: ( q  r )
r
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
p
p
V
F
F
V
TABLA RESUMEN
Conector

Valor de
verdad
V
Condición

V
Si tienen valores diferentes de
verdad.

F
Si el antecedente es verdadero y
el consecuente es falso

F
Si ambos son falsos

V
Si ambos son verdaderos
~
V
Si la proposición es falsa.
Si ambos tienen igual valor de
verdad.
EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA
Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p  q)  (p  r)
Solución
(pq) 
 ( p   r)
p
q
r
V
V
V
V V V
V
V
V
F
F
V
V
F
V V V
V
F
V
V
V
V
F
V
V F F
V
V
V
F
F
V
F
F
V F F
F
F
V
V
V
F
V
V
F F V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F F
F
F
F
V
V

La característica tabular de una fórmula lógica es la
columna de valores de verdad debajo del operador de
mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los
siguientes casos:
1.
Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el
esquema es una TAUTOLOGÍA.
2.
Cuando todos los valores de verdad son falsos, el
esquema es una CONTRADICCIÓN.
3.
Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y
otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.
Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q  r)  p es FALSA
Determinar el valor de verdad de: (r  p)  (p  r)
SOLUCIÓN
(q   r)  p
Primero analizamos la condición
V V V F
F
F
Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se
evalúa la fórmula planteada
(  r   p)
V
V V

F
(p   r)
F
F V
El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO