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Capítulo 5 / Sección 5.3
9
SOLUCIONES
1. En cada uno de los siguientes casos determine el valor exacto de la función trigonométrica sin usar
calculadora. Use el hecho que las funciones trigonométricas son periódicas.
c. cot 7650
 23 
 31 
a. sen   
b. tan 

 cot 450  7200
 6 
 3 
 11

 sen    2 
6

 11 
 sen   
6 
 
  sen  
6
1

2


 10 
3

 
 tan  
3
 tan 


 cot 450
1
 3
2. Halle las coordenadas del punto terminal que corresponde al número real dado sin usar calculadora.
35
15
31
a. t 
b. t  
c. t 
2
4
6
 15 
 7

 31 
 7

 3

P
 2 
P
 2 
P (t )  P 
 16 
  P
  P
 4 
 4

 6 
 6

 2

 3 
 P    (0, 1)
 2 
 7
 P
 4
2
  2
,

  
2 
  2
15
 7
 P
 6
3 1
 
,  
   
2
  2
Y como t  
está en el
4
primer cuadrante, entonces
 2 2
 2 , 2 


P t   
3. Halle el valor exacto de las siguientes restantes funciones trigonométricas.
2
17
a. sen  ,  en el cuadrante II
b. tan   
, 270    360
3
9
4 5
17 98
cos 2  1  
sec 2  1  
9 9
81 81
5
7 2
9
cos  
sec 
cos  
3
9
7 2
2
5
81 17
34
tan   
cot   
sen 2  1  
sen  
2
5
98 98
14
3
3
9
14
sec  
csc 
cot   
csc  
2
5
17
34
10
5.3 Propiedades Adicionales de las Funciones Trigonométricas
5 3
d. csc   ,
   2
2 2
2
sen  
5
4 21
cos 2  1 

25 25
21
5
cos 
sec 
5
21
5
,  en el cuadrante III
13
25 144
sen 2  1 

169 169
12
sen  
13
12
5
tan  
cot  
5
12
13
13
sec  
csc  
5
12
c. cos  
tan   
2
21
cot   
21
2
4. Use las propiedades de las funciones pares e impares para hallar el valor exacto de las siguientes
expresiones. No use calculadora.
 7 
 17 
 15 
a. sec    
b. sen  
c. tan  


 4 
 3 
 6 
 17 
 17 
  sen 

 6 
 6 
 5

 sen   2 
 6

 5 
 sen  
 6 
1

2
 7 
7 
sec      sec   
 3 
3 
sen  


 2 
3

=sec 
 sec

3
2
 15 
 15 
   tan 

 4 
 4 
 7

  tan   2 
 4

 7 
  tan  
 4 
1
tan  
5. Use las propiedades de las funciones trigonométricas para encontrar el valor exacto de las siguientes
expresiones. No use calculadora.\
a. 3cos 40  3sen 40
2

2
0
 3 cos 40  sen 40
 3(1)
3
2
0
2
0
0


  
 cot  200  180  tan  20 
 cot  20  tan  20 
b. cot 200 tan 20
1
    25 
 csc 

 12   12 
c. sen  
  

 csc   2 
 12   12

   
  sen   csc  
 12   12 
 1
  sen 
Capítulo 5 / Sección 5.3
 
 
18   tan 18  
2
0
2
0
d. 4 sec 18  4 tan 18

 4 sec 2
0
2
0
 4(1)
4
11

1
   
e. 4 cos     4 
 18   sec  37
  18
 

 37
  
  cos 
 18 
 18
 4  cos  

  
  
 4  cos    cos   
 18  
  18 
0









6. a. Estime el cuadrante en que está P 16  sin usar calculadora y luego verifique usando una
calculadora para hallar sus coordenadas.
(cos 16 , sen 16) ≈ (−0.957, −0.2879) en el III cuadrante
b. Repita la parte (a) para P  35  .
(cos(−35) , sen(−35)) ≈ (−0.9036, 0.4281) en el II cuadrante
7. Use el círculo unitario para hallar todos los valores de x que satisfacen la ecuación dada.
1
b. tan x   3
2 3
a. sen x 
c. sec x  
2
2
2
Como sec   tan   1, entonces
3

 2 n
6
5
x
 2 n
6
x
sec x  2
Si sec x  2  cos x 
x
5
 2 n
3
1
y senx  0
2
Si sec x  2  cos x  
x
2
 2 n
3
1
y senx  0
2
cos x  
3
2 3
5
 2 n
6
7
x
 2 n
6
x

3
2