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ASIGNATURA
TRIGONOMETRIA
PROFESORA: Eblin Martínez M.
GUÍA Nº 02
GRADO: 10°
ESTUDIANTE:
PERÍODO:2
DURACIÓN: 20 horas
LOGRO: Resuelve problemas de tipo trigonométrico a través de la resolución de triángulos
rectángulos y la aplicación del teorema de Seno y Coseno.
INDICADORES DE LOGRO:
Soluciono triángulos rectángulos encontrando la medida de sus ángulos y lados.
Aplico el teorema de seno y Coseno en la resolución de triángulos rectángulos.
Resuelvo problemas que se modelan a través de triángulos.
OBJETIVO: Desarrollar un proceso de comprensión en la resolución de problemas relacionados
con triángulos.
COMPETENCIA: Resuelvo y propongo situaciones de la vida diaria que tengan solución a través
de triángulos.
RETOS DE INGENIO
SOLUCIÓN
DE
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
Solucionar un triángulo rectángulo es hallar la medida de:
B




Los tres lados
Los tres ángulos
Su perímetro y,
Su área.
Perímetro: a + b + c
c
a
Area: (base x altura)/ 2
A
b
C
EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
B
12 cm
c
36º
A
b
C
SOLUCIÓN: La suma de los ángulos internos es 180º, el
ángulo recto sabemos que mide 90º, por lo tanto el ángulo B
será: 90º - 36º = 54º.
Para hallar el lado b, utilizamos la tangente de 36º:
tan 36º = CO = 12 cm
CA
b
De donde, b = 12 cm/ tan 36º = 16.52 cm.
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La hipotenusa, se puede hallar por teorema de Pitágoras ó por cualquier razón
trigonométrica donde intervenga su valor: sen 36º = 12 cm/ c  c = 12/sen 36º
c = 20.42 cm.
Perímetro: a + b + c = 12 cm + 16.52 cm + 20.42 cm = 48.94 cm
Area: (base x altura)/ 2 = 99.12 cm2
Nota: Para hallar la medida de cualquier ángulo, teniendo su seno, coseno ó
tangente, podemos proceder en la calculadora de la siguiente forma: Shift  Tan
(sen ó cos)
=(
)  Shift  “º” = ____. Lo que equivale a encontrar el
valor del ángulo mediante la función inversa sen-1, cos-1, tan-1 para ese valor.
TALLER N°1
1.
Soluciona los siguientes triángulos rectángulos:
B
A
25
7
c
c
B
c
C
5
A
C
28º
C
b
c
a
c
12
a
48
A
B
A
B
C
52º
A
B
6,5
3cm
4 cm
C
85
6
100
D
¿Será rectángulo el triángulo ABC?
A
80
B
2. Calcula la medida de la diagonal de un cubo de 4 cm de arista.
3. Una escalera de 9 m de longitud se apoya sobre una pared. La escalera
forma un ángulo de 54º con el suelo. Calcula la distancia entre el pie de la
escalera y la pared.
4. Las bases de un trapecio isósceles miden 6 cm y 4 cm. El ángulo de la
base mide 60º. Calcula el área del trapecio. AT = (B1 + B2 /2) x h.
5. En una carretera para una distancia horizontal de 150 m, se ascienden 12
m. Calcula el desnivel en grados.
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
6. A cierta hora el sol se observa con un ángulo de elevación de 55º. Calcula
la altura de un árbol que proyecta una sombra de 10.89 m.
7. Desde un punto situado 30 m arriba en un faro se observa una pequeña
embarcación con un ángulo de depresión de 33º. Calcula la distancia, al pie
del faro, a que se encuentra la embarcación.
8. Desde la ventana de un edificio, a 46 m de altura, se observa un automóvil
con un ángulo de depresión de 55º. Calcula la distancia que hay desde el
automóvil hasta la base del edificio.
9. A cincuenta metros de la base de un edificio se observa la base de la
chimenea con un ángulo de elevación de 56º y el punto más alto de la
chimenea se observa con un ángulo de elevación de 64º. Calcular la
longitud de la chimenea.
50 m
C
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10. Desde un avión que vuela a 1860 m de altura se observa una embarcación
con un ángulo de depresión de 31º y desde el mismo plano, en sentido
opuesto se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53º. Calcula la
distancia que separa a la embarcación de la costa.
TEOREMA DEL SENO
En un triángulo cualquiera, las longitudes de los lados son proporcionales a los
senos de sus ángulos opuestos.
B
Para el triángulo, se cumplen cualquiera de las tres relaciones:
c
a
= b
Sen A
Sen B
a
=
c.
Sen A
Sen C
b
=
c.
Sen B
Sen C
a
A
C
b
EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO MEDIANTE EL
TEOREMA DEL SENO:
C
SOLUCIÓN: Utilizando la ley del Seno,
40 cm
B
b
45º
a
= b
Sen A
Sen B
60º
c

40 cm
Sen 60º
=
b
Sen 45º

b
=
40 cm x sen 45º
Sen 60º
A
De donde, b = 32.5 cm
Además, C = 180º - (45º + 60º) = 180º - 105º = 75º
Para hallar c, aplicamos el teorema del srno con la ec. 2 ò la ec. 3:
a
=
c.
Sen A
Sen C

40 cm
Sen 60
=
c.
Sen 45º
 c = 44.5 cm
ACTIVIDAD N°1:
1. Resuelve cada triángulo aplicando ley del Seno de acuerdo a los valores
indicados:
a.
b.
c.
d.
e.
b = 70 cm, < A = 30º, < C = 105º
c = 60 cm, < A = 50º , < B = 75º
a = 7cm, b = 6cm, A = 30º
< A = 30º, B = 60º, a = 20 cm
a = 10 cm, <B = 53º, c = 12 cm
TEOREMA DEL COSENO
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble producto de ellas por
el coseno del ángulo que forman dichos lados.
Para el triangulo, se cumplen cualquiera de las tres relaciones siguientes:
a2 = b2 + c2 - 2 b c Cos A
b2 = a2 + c2 - 2 a c Cos B
c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C
EJEMPLO:
B
c
a
A
C
b
Dado el triángulo ABC, si a = 12 cm, b = 8 cm y <C = 36º. Determinar c.
Solución.
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Dibujemos un triángulo y ubiquemos los valores conocidos. Usando la fórmula:
B
c
a = 12 cm
36º
A
b = 8cm
C
c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C
c2 = (12 cm)2 + (8 cm)2 - 2 (12 cm) (8 cm) Cos 36º
c2 = 52.7 cm2
c = 7.25 cm
Con el valor de a, < C, b y c, se pueden encontrar los ángulos A y B mediante la
ley de los Senos.
ACTIVIDAD N° 2:
1.
Dado el triángulo ABC, resuélvelo en cada caso si:
a)
b)
c)
d)
e)
a = 20 cm, b = 30 cm, < C = 45º
b = 8cm, c = 5cm, <A = 60º
a = 40 cm, c = 50 cm, <B = 120º
a = 24, b = 16 cm, <C = 45º
a = 21 cm, b = 24 cm, c = 27 cm
REDUCCION DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE
 ANGULOS COMPLEMENTARIOS:
Tal como ya se ha observado en el tratamiento de ángulos complementarios de un
triángulo rectángulo, se comprueba que:
Siendo α y β = 90°, sen α = cos β
Cos α = sen β
Tan α = cot β
Cot α = tan β
Sec α = csc β
Csc α = sec β
EJEMPLO: Hallemos el valor de las razones trigonométricas senx, cosx y tanx del
ángulo 60° tomando como referencia su complementario que es 30°:
Solución:
Sen 60° = cos 30° = √3/2
Cos 60° = sen 30° = ½
Tan 60° = cot 30° = √3
RECORDEMOS LA TABLA DE VALORES PARA ÁNGULOS NOTABLES:
Tomado de: profeoliverlopez.blogspot.com
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ANGULOS DE REFERENCIA: Si  es un ángulo no cuadrantal, se llama ángulo
de referencia r, al ángulo agudo que forma el lado final del ángulo  con uno de
los semiejes del eje x.
αr = α – 180°
r = 180° -  (1)
r = 180° - 135° = 45°
(2)
αr = 245° - 180° = 65°
INVESTIGA: Cómo se calcula el ángulo de referencia para un ángulo de IV cuadrante.
¿Qué son los ángulos coterminales? Traer 5 ejemplos. ¿Qué se puede decir de las razones
trigonométricas de ángulos coterminales?
 REDUCCIÓN DE ANGULOS DE II CUADRANTE AL I CUADRANTE:
Sean los ángulos suplementarios α y (180° - α), con α un ángulo de II cuadrante:
180° < α < 90°
Se definen entonces las funciones trigonométricas para el ángulo α
reduciéndolo al I cuadrante, de la siguiente manera:
Por ser complementarios, la función sen x es idéntica y conserva el signo para los
dos ángulos:
sen α = sen (180° - α)
La función cos x viene de segmentos opuestos con igual magnitud para los dos
ángulos suplementarios, por tanto, tienen signos contrarios:
cos α = - cos (180° - α)
Las funciones tan x y cot x, vienen también de segmentos opuestos con igual
magnitud para los dos ángulos suplementarios:
tan α = - tan (180° - α)
cot α = - cot (180° - α)
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Las funciones secante y cosecante tienen el mismo signo que las funciones sen y
cos por ser sus reciprocas:
sec α = - sec (180° - α)
csc α = csc (180° - α)
EJEMPLO:
Calculemos el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo 120°:
Solución:






Sen 120° = sen (180° - 120°) = sen 60° = √3/2
cos 120° = - cos (180° - 120°) = - cos 60° = - 1/2
Tan 120° = - tan (180° - 120°) = - tan 60° = - √3
cot 120° = - cot (180° - 120°) = - cot 60° = - √3/3
Sec 120° = - sec (180° - 120°) = - sec 60° = - 2
csc 120° = csc (180° - 120°) = csc 60° = (2√3) /3
 REDUCCIÓN DE ANGULOS DE III CUADRANTE AL I CUADRANTE:
Sea β un ángulo de III cuadrante, por ser mayor de 180° y menor de 270°
tomaremos como referencia el ángulo β – 180°, el cual resulta ser un ángulo de
primer cuadrante que nos sirve para encontrar las funciones trigonométricas de β
a través de las relaciones:
sen β = - sen (β - 180°)
Cos β = - cos (β - 180°)
Tan β = Tan (β - 180°)
Cot β = Cot (β - 180°)
sec β = - sec (β - 180°)
csc β = - csc (β - 180°)
EJEMPLO:
Calcular los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo 225°.
Solución:
 Sen 225° = - sen (225° - 180°) = - sen 45° = -√2/2
 Cos 225° = - cos (225° - 180°) = - cos 45° = -√2/2
 Tan 225° = Tan (225° - 180°) = Tan 45° = 1
 Cot 225° = Cot (225° - 180°) = Cot 45° = 1
 Sec 225° = - sec (225° - 180°) = - sec 45° = -√2
 csc 225° = - csc (225° - 180°) = - csc 45° = -√2
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 REDUCCIÓN DE ANGULOS DE IV CUADRANTE:
Sen β = - Sen (360° - β)
Cos β = Cos (360° - β)
Tan β = - Tan (360° - β)
Cot β = - Cot (360° - β)
sec β = Sec (360° - β)
Csc β = - Csc (360° - β)
EJEMPLO: Calcular el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo 330°.
Solución:
 Sen 330° = - sen (360° - 330°) = - sen 30° = -1/2
 Cos 330° = Cos (360° - 330°) = Cos 30° = √3/2
 Tan 330° = ______________________________
(completar)
 Cot 330° = ______________________________
 Sec 330° = ______________________________
 Csc 330° = ______________________________
1. Determina el valor de las siguientes expresiones (no utilizar decimales):
a. Sen 45° + sen 60°
b. Tan π/4 + sec π/3
c. Sen 90° + tan 45°
d.
2 sen 45
sen30
 


e.  Sen    cos 
3 
3

2
f.
2
 


 Sen    cos 
6 
6

 


g.  Sen 2    cos 2 
6 
4

 



h.  Sen 2    sen 2   cos 2
3 
6
4

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2. Siendo α y β ángulos complementarios, determina el valor de sec β si sen α
= 2/5.
3. Hallar el ángulo de referencia para cada uno de los siguientes
ángulos(dibújalos):
a. 135°
b. 420°
c. – 120°
d. – 660°
e. 960°
f. 250°
4. Determinar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos sin usar
la calculadora:
a. 120°
b. – 120°
c. 315°
d. 240°
e. – 300°
f. – 90°
g. 225°
5. Encontrar el ángulo entre 0 y 360° que sea coterminal con ángulo dado:
a. 734°
b. – 100°
c. – 800°
d. 7π /3
6. Determinar el valor de las funciones trigonométricas mediante reducción al I
cuadrante o a través de ángulos coterminales de los siguientes ángulos:
(sin usar calculadora)
a. 150°
f. 330°
b. 3π/4
g. - 60°
c. 210°
h. 750°
d. 225°
i. 315°
e. 240°
j. 2π/3
7. GRAFICA LAS FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE DE X:
a. Completa la siguiente tabla de las funciones Seno, Coseno y
Tangente.
<0 º - 360 - 330
Sen
Cos
Tan
- 300 - 270 - 240 - 210 - 180 - 150 - 120 - 90
- 60
- 45
- 30 - 15 0
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>0 º 15º
Sen
Cos
Tan
30º 45º
60º
90º
120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
b. Realiza las gráficas de las tres funciones principales en hojas
milimetradas. (una por cada hoja).
8. DETERMINA:
a. ¿Cuál de las funciones anteriores no es continua? ¿En qué puntos esa función
no está determinada y por qué?
b. ¿Para qué intervalos la función Seno crece y para qué intervalos decrece?
c. ¿Para qué intervalos la función Coseno crece y para qué intervalos decrece?
d. ¿Para qué intervalos la función Tangente crece y para qué intervalos decrece?
9. GRAFICAR LAS FUNCIONES SECANTE, COSECANTE Y COTANGENTE
DE X. Describe las características de cada una.
AMPLITUD DE UNA FUNCIÓN
En la gráfica de la función seno, y = sen x, se puede apreciar que los valores de y
oscilan entre 1 y – 1.
La amplitud de una función en un periodo corresponde al valor absoluto de la
semidiferencia del valor máximo y el valor mínimo.
El valor máximo de y = sen x es 1
El valor mínimo de y = sen x = - 1
La amplitud de la función sen x es: A =
1  (1)
2

2
2

2
1
2
RESPONDE: ¿Cuál será la amplitud de la función cos x?
Grafica la función y = 3 senx y determina cuál es su amplitud.
¿Qué son las curvas sinusoidales y cosenoidales?
PERIODICIDAD DE LA FUNCIÓN SENO
La función seno es una función periódica puesto que sus valores o imágenes se
repiten cada cierto intervalo de valores de x. En su gráfica se puede observar que
el periodo de la función y = sen x es 2π. (360°)
¿Qué se puede decir del periodo de las demás funciones trigonométricas?
Observaciones:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Recopilado y adaptado por: Lic. Eblin Martinez M.
Bibliografia: Matematica 2000 10°, Ed. Voluntad, Matemáticas 10° Ed. Santillana.
Aciertos Matemáticos 10° Ed. Norma. profeoliverlopez.blogspot.com