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C. I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)
En trigonometría plana, es fácil de encontrar el valor exacto de la función seno y
coseno de los ángulos de 30°, 45° y 60°, gracias a la ayuda de triángulos rectángulos
y el uso de identidades trigonométricas en conjunto con el teorema de Pitágoras.
Todo parte de dos triángulos: uno equilátero y el otro isósceles. Si enfocamos nuestra
atención al triángulo equilátero, vemos que sus ángulos internos miden 60° (por
tratarse de un triángulo equilátero) y suponiendo que sus lados midan, por ejemplo,
la cantidad de dos, se tiene la siguiente figura:
60°
2
2
60°
60°
2
Este triángulo equilátero puede ser transformado, mediante una línea perpendicular
a una de sus bases, en dos triángulos rectángulos. Si tomamos de referencia a sólo
un triángulo rectángulo, obtenemos la siguiente figura:
30°
2
a
60°
1
Al aplicar el Teorema de Pitágoras, se obtiene que = √3. Entonces el seno y coseno
del ángulo de 30° y 60° pueden ser calculados. De ahí que se obtengan los siguientes
valores:
1
√3
sin 30° = sin 60° =
2
2
1
√3
cos 30° =
cos 60° =
2
2
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Si ahora usamos un triángulo isósceles, vemos que dos de sus ángulos internos
miden 45° y el otro 90° y suponiendo que dos de sus lados miden la cantidad de uno,
llegaremos al siguiente triángulo:
45°
c
1
45°
1
Al aplicar el Teorema de Pitágoras, se obtiene que = √2.
Entonces el seno y coseno del ángulo de 45° pueden ser calculados. De ahí que se
obtengan los siguientes valores:
sin 45° =
1
√2
cos 45° =
1
√2
En base a los ángulos de 30° y 45°, se puede calcular el seno y coseno de 15° en forma
exacta, debido al hecho de que 15°=45°-30°. Para ello, hay que recordar la fórmula
de adición de dos ángulos para las funciones seno y coseno:
sin( ± ) = sin cos ± cos sin
cos( ± ) = cos cos ∓ sin sin
Al usar estas dos fórmulas para
= 45° y
… (1)
… (2)
= 30°, se obtiene que:
sin 15° = sin(45° − 30°) = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30°
=
√
√
−
=
√
√
… (3)
cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
=
√
√
+
=
√
√
… (4)
Llegando a éste punto y al observar las expresiones (3) y (4), es posible presentar de
otra manera éstos resultados, si hacemos uso de radicales anidados (también llamados
radicales jerarquizados). Debido a que es de vital importancia conocer este tema, haré
un paréntesis para dar a conocer lo básico sobre radicales anidados.
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Los radicales anidados, son expresiones radicales que contiene en su interior otra
expresión radical. Como por ejemplo:
3 − √5
6 + 2 √7
9 + 4√2 − 3√6
Si nosotros tenemos una raíz cuadrada anidada, es posible expresarla como una
suma o resta de dos raíces cuadradas y viceversa. Es decir, se tiene la siguiente
expresión:
± √ =√ ±√
… (5)
Lo que nos interesa, es encontrar expresiones algebraicas para ,
de ser posible para y .
y . Y también,
Hay que darse cuenta que la expresión anterior, puede ser manipulada
algebraicamente, de tal forma que:
± √ =
+ ± 2√
Al igualar términos semejantes, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:
= +
=4
… (6)
Resolver ese sistema de ecuaciones, es relativamente fácil. Por lo tanto, al despejar
y , nos queda:
, =
±√
… (7)
Entonces, hemos encontrado expresiones que permiten simplificar una raíz
cuadrada anidada en una suma de raíces cuadradas.
Volviendo a lo que encontramos en (3), veamos cómo expresar los resultados
obtenidos usando radicales anidados:
sin 15° =
√
√
=
− √
… (8)
De acuerdo con (6), se encuentra el valor de , , sabiendo que
= 6 + 2 = 8,
= 4(6)(2) = 4 ∙ 3 ⇒ = 4,
Sustituyendo estos valores en (3):
=6y
=3
= 2:
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sin 15° =
√6 − √2 1
=
8 − 4√3 =
4
4
2 − √3
2
Algo similar va a suceder con (4), de manera que:
cos 15° =
√6 + √2
=
4
2 + √3
2
Por lo tanto, el valor exacto de las funciones seno y coseno para 15° será:
sin 15° =
√
√
=
√
… (9)
cos 15° =
√
√
=
√
… (10)
Ahora, ya se conocen valores exactos de las funciones seno y coseno de los ángulos
15°, 30°, 45° y 60°. En base a ésta información, uno puede calcular en forma exacta,
los valores de las funciones seno y coseno cada 15°. Analizando el primer cuadrante,
tenemos los valores exactos de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°. Hay que notar que para el
ángulo de 75°, puede ser generado por la suma de 30° más 45°.
Ahora, habría que preguntarse si existe otro ángulo (comprendido dentro del primer
cuadrante) que genere un valor exacto para las funciones seno y coseno aparte de
los ya conocidos hasta ahora. Ese ángulo existe y es lo que vamos a analizar a
continuación.
Hay que recordar la siguiente identidad trigonométrica:
sin 5 = 16 sin
Ahora, si sustituimos
sin
=
− 20 sin
+ 5 sin
… (11)
= 36°, nos queda lo siguiente:
= 16 sin
− 20 sin
+ 5 sin
… (12)
donde (12) es una ecuación de quinto grado, siendo la incógnita el valor de sin . Si
logramos resolver esta ecuación, habremos hallado lo que equivale el sin . Y eso es
muy fácil de lograr, porque el sin
= 0 y nos queda una ecuación bicuadrada:
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16
− 20
+ 5 = 0;
donde
= sin
Al resolverla con la “fórmula de Bháskara”, se tiene que:
=
Entonces, el valor de
20 ± √400 − 320 5 ± √5
=
32
8
es:
=
5 ± √5
=
8
10 ± 2√5
4
= sin , se concluye que:
Finalmente, tomando en cuenta que
√
sin 36° =
… (13)
De este resultado, se deduce que:
cos 36° =
√
… (14)
de acuerdo con la identidad trigonométrica sin
+ cos
= 1.
Los resultados (13) y (14) son importantes porque son la parte clave para encontrar
valores exactos de las funciones seno y coseno de ángulos con incrementos de 3°. A
continuación, voy a mostrar cómo calcularlos en forma exacta.
Ángulo de 18°:
Para el ángulo de 18°, hay que notar que 18° =
°
. Debido a ello, se puede utilizar
la fórmula de ángulo mitad para la función seno y coseno:
donde
sin
=
… (15)
cos
=
… (16)
= 36°.
Sustituyendo este valor en (15) y usando (14), se obtiene el siguiente resultado:
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°
sin 18° =
Al aplicar (7) con
= 6, = 2 y
√
=
√
=
√
⇒ sin 18° =
= 5, se obtiene que ( , ) = (5, 1). Entonces:
√
sin 18° =
… (17)
De manera similar, al usar (16) y (14), se obtiene el siguiente resultado:
°
cos 18° =
√
=
√
=
⇒ cos 18° =
√
Por lo tanto:
√
cos 18° =
… (18)
Ángulo de 12°:
Para el ángulo de 12°, hay que notar que 12°=30°-18°. Entonces, se puede ocupar (1)
con = 30° y = 18°:
sin 12° = sin(30° − 18°) = sin 30° cos 18° − cos 30° sin 18°
= ∙
√
−
√
∙
√
=
10 + 2√5 − √15 + √3
… (19)
Conviene simplificar la expresión (19) usando radicales anidados. Primero vamos a
simplificar √15 − √3:
√15 − √3 =
= 15 y
En este caso, se tiene el valor de
− √
= 3. Al usar (6), se tiene que:
= 15 + 3 = 18
= 4 ∙ 15 ∙ 3 = 6 ∙ 5 ⇒
= 6, = 5
Entonces:
√15 − √3 =
18 − 6√5 … (20)
Sustituyendo (20) en (19), se tiene:
sin 12° =
10 + 2√5 − 18 − 6√5
… (21)
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Ahora, se va a simplificar (21), usando (6) con = 10 + 2√5 y = 18 − 6√5:
= 10 + 2√5 + 18 − 6√5 = 28 − 4√5
= 4 10 + 2√5 18 − 6√5 = 16 30 − 6√5 ⇒
= 4, = 30 − 6√5
Sustituyendo estos valores en (21), se llega a:
sin 12° =
28 − 4√5 − 4 30 − 6√5 =
√
√
Por lo tanto:
sin 12° =
Al usar (2) con
= 30° y
√
√
… (22)
= 18°:
cos 12° = cos(30° − 18°) = cos 30° cos 18° + sin 30° sin 18°
=
√3 10 + 2√5 1 √5 − 1 1
∙
+ ∙
=
2
4
2
4
8
30 + 6√5 + √5 − 1
De modo que:
cos 12° =
√
√
… (23)
Ángulo de 24°:
Para el ángulo de 24°, hay que notar que 12° =
°
. Debido a ello, se puede utilizar
la fórmula de ángulo mitad para la función seno y coseno con
Sustituyendo este valor de en (15), se tiene que:
sin 12° =
°
= 24°.
… (24)
De la expresión (24), se puede despejar cos 24° y usar (22), de donde se obtiene:
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√
cos 24° = 1 − 2 sin 12° = 1 − 2
=1−
√
7 − √5 − 30 − 6√5 =
√
√
Por lo tanto:
cos 24° =
√
√
… (25)
Para conocer el seno de 24°, se puede utilizar la identidad trigonométrica:
sin 24° + cos 24° = 1 … (26)
Al despejar sin 24° de (26) y usar (25), se tiene lo siguiente:
sin 24° = 1 −
1
1 + √5 + 30 − 6√5
64
=
28 + 4√5 − 2 120 + 24√5
64
De manera que el sin 24° será:
sin 24° =
28 + 4√5 − 2 120 + 24√5
8
=
7 + √5 − 30 + 6√5
4
Por lo tanto:
sin 24° =
√
√
… (27)
Ángulo de 9°:
Para el ángulo de 9°, hay que notar que 9° =
°
. Debido a ello, se puede utilizar la
fórmula de ángulo mitad para la función seno y coseno con
= 18°.
Sustituyendo este valor en (15) y usando (18), se obtiene el siguiente resultado:
sin 9° =
°
√
=
=
√
⇒ sin 9° =
√
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Por lo tanto:
√
sin 9° =
… (28)
Para conocer el coseno de 9°, se usa (16) y (18), de donde se tiene que:
cos 9° =
°
√
=
√
=
⇒ cos 9° =
√
Entonces:
√
cos 9° =
… (29)
Ángulo de 6°:
En este caso, hay que notar que 6°=36°-30°. Entonces, podemos usar (1) con
y = 30°:
= 36°
sin 6° = sin(36° − 30°) = sin 36° cos 30° − cos 36° sin 30°
Sustituyendo (13) y (14) en la expresión anterior, se llega a lo siguiente:
sin 6° =
√3 10 − 2√5 1 1 + √5 −1 − √5 + 30 − 6√5
∙
− ∙
=
2
4
2
4
8
Por lo que:
sin 6° =
√
√
… (30)
De manera muy similar, se puede calcular el coseno de 6° si usamos (2) con
y = 30°:
cos 6° = cos(36° − 30°) = cos 36° cos 30° + sin 36° sin 30°
De la misma manera, al usar (13) y (14), se tiene que:
cos 6° =
√3 1 + √5 1 10 − 2√5 1
∙
+ ∙
=
2
4
2
4
8
18 + 6√5 + 10 − 2√5
= 36°
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= 18 + 6√5 y
Esta última expresión se puede simplificar si usamos (6), con
10 − 2√5. De manera que:
= 28 + 4√5
= 4 18 + 6√5 10 − 2√5 = 4 ∙ 30 + 6√5
⇒
= 4,
=
= 30 + 6√5
Sustituyendo estos valores en el coseno de 6°:
cos 6° =
1
8
28 + 4√5 + 4 30 + 6√5
=
7 + √5 + 30 + 6√5
4
De modo que:
cos 6° =
√
√
… (31)
Ángulo de 3°:
°
Para el ángulo de 3°, vemos que se puede escribir como 3° = . Entonces al hacer
uso de (15) y (31) con
= 6°:
√
sin 3° =
°
√
=
=
√
√
√
√
√
√
⇒ sin 3° =
Por lo tanto:
√
√
sin 3° =
… (32)
De forma similar, se puede calcular el coseno de 3°, usando (16) y (31):
√
cos 3° =
De modo que:
°
=
√
=
√
√
⇒ cos 3° =
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√
√
cos 3° =
… (33)
Ángulo de 27°:
Se puede plantear que 27° = 45° − 18°. Entonces, al usar (1), (17) y (18), con
y = 18°, se llega a lo siguiente:
= 45°
sin 27° = sin(45° − 18°) = sin 45° cos 18° − cos 45° sin 18°
=
√2
2
10 + 2√5 √5 − 1
1
−
=
4
4
8
Primero hay que simplificar √10 − √2. Se observa que
se llega a:
√10 − √2 =
20 + 4√5 − √10 + √2
= 10 y
= 2, y al usar (6)
12 − 4√5
De modo que:
sin 27° =
1
8
20 + 4√5 − 12 − 4√5
Repitiendo la misma operación, se usa (6) con
obtiene:
sin 27° =
1
32 − 8 10 − 2√5 =
8
= 20 + 4√5 y
8 − 2 10 − 2√5
4
Por lo tanto:
sin 27° =
√
… (34)
Para calcular el coseno de 27°, se usará la identidad trigonométrica:
sin 27° + cos 27° = 1
= 12 − 4√5, se
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Despejando el coseno de 27° de la expresión anterior, se tiene que:
√
cos 27° = 1 − sin 27° = 1 −
√
=
√
⇒ cos 27° =
Por lo tanto:
√
cos 27° =
… (35)
Ángulo de 42°:
Para el ángulo de 42°, hay que notar que 42°=45°-3°. De modo que al usar (1), (32) y
(33) con = 45° y = 3°, se llega a que:
sin 42° = sin(45° − 3°) = sin 45° cos 3° − cos 45° sin 3°
=
√
⎛
⎜
√
√
√
√
−
⎝
=
⎞
⎟
⎠
16 + 4 7 + √5 + 30 + 6√5 − 16 − 4 7 + √5 + 30 + 6√5
Esta expresión puede ser simplificada si se usa (6), por lo que se obtiene que:
√
sin 42° =
√
32 − 8 9 − √5 − 30 + 6√5 =
Por lo tanto:
√
sin 42° =
√
… (36)
El cálculo del coseno de 42° es más fácil si usamos la identidad trigonométrica
siguiente:
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sin 42° + cos 42° = 1
Despejando el coseno de 42° de la expresión anterior, se tiene que:
√
cos 42° = 1 − sin 42° = 1 −
√
√
=
√
Por lo tanto:
√
√
cos 42° =
… (37)
Ángulo de 21°:
Se observa que 21° = 30° − 9°, de modo que al usar (2), (28) y (29), se llega a lo
siguiente:
cos 21° = cos(30° − 9°) = cos 30° cos 9° + sin 30° sin 9°
=
24 + 6 10 + 2√5 + 8 − 2 10 + 2√5 √
=
√
32 + 4 10 + 2√5 + 4 18 − 6√5 =
Por lo tanto:
√
√
cos 21° =
… (38)
Una vez calculado el coseno de 21°, se procede a calcular el seno de 21° con la
identidad trigonométrica:
sin 21° + cos 21° = 1
Despejando el seno de 21° de la expresión anterior, se tiene que:
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√
sin 21° = 1 − cos 21° = 1 −
√
√
=
√
Por lo tanto:
√
√
sin 21° =
… (39)
Ángulo de 33°:
Para el ángulo de 33°, se puede proponer que sea 33°=15°+18°. Al usar (1), (9), (10),
(17) y (18), con = 15° y = 18°, se tiene que:
sin 33° = sin(15° + 3°) = sin 15° cos 18° + cos 15° sin 18°
=
√6 − √2 10 + 2√5 √6 + √2 6 − 2√5
∙
+
∙
4
4
4
4
Para simplificar la expresión anterior, se tiene que aplicar (6) un total de 4 veces
seguidas a fin de poderlo expresar en un solo radical, por lo que se obtiene que:
√
sin 33° =
√
32 + 4 10 − 2√5 − 4 18 + 6√5 =
No es difícil llegar a la expresión anterior usando (6). Por lo tanto:
√
√
sin 33° =
… (40)
Una vez calculado el seno de 33°, se procede a calcular el coseno de 33° con la
identidad trigonométrica:
sin 33° + cos 33° = 1
Despejando el coseno de 33° de la expresión anterior, se tiene que:
cos 33° = 1 − sin 33° = 1 −
√
√
=
√
√
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Por lo tanto:
√
√
cos 33° =
… (41)
Ángulo de 39°:
Para el ángulo de 39°, se puede proponer que sea 39°=30°+9°. Al usar (1), (28) y (29),
con = 30° y = 9°, se tiene que:
sin 39° = sin(30° + 9°) = sin 30° cos 9° + cos 30° sin 9°
= ∙
=
√
+
√
√
∙
8 + 2 10 + 2√5 + 24 − 6 10 + 2√5 Haciendo las simplificaciones usando (6), se tiene que:
√
sin 39° =
√
32 − 4 10 + 2√5 + 4 18 − 6√5 =
Por lo tanto:
√
√
sin 39° =
… (42)
Una vez calculado el seno de 39°, se procede a calcular el coseno de 39° con la
identidad trigonométrica:
sin 39° + cos 39° = 1
Despejando el coseno de 39° de la expresión anterior, se tiene que:
cos 39° = 1 − sin 39° = 1 −
Por lo tanto:
√
√
=
√
√
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√
√
cos 39° =
… (43)
Hasta éste punto hemos logrado cubrir los ángulos con incrementos de 3° de la
mitad del primer cuadrante: 3°, 6°, 9°, 12°, 15°, 18°, 21°, 24°, 27°, 30°, 33°, 36°, 39°, 42°
y 45°, con su respectiva demostración. En base a estos ángulos, es fácil deducir los
siguientes de la otra mitad del primer cuadrante. Por ejemplo, si quisiéramos el de
48°, tendríamos que aplicar (1) y (2) con = 45° y = 3° y así sucesivamente hasta
cubrir los 90°.
Es posible calcular en forma exacta el seno y coseno de ángulos más pequeños que
el de 3° si se hace uso de la fórmula del ángulo mitad. A continuación, voy a mostrar
la forma de cómo calcularlos y ver si nos podemos acercar al ángulo de 1°.
Ángulo de 0.75°:
Para calcular el seno y coseno de 0.75°, una opción sería partir del ángulo de 3° y
usar la fórmula de ángulo mitad y a ese resultado volver a aplicar la fórmula de
ángulo mitad para obtener el de 0.75°. Este proceso se puede simplificar mucho si
nos basamos en la siguiente identidad trigonométrica del ángulo cuádruple:
cos
Si hacemos que
4
− cos
4
1
+ (1 − cos ) = 0
8
= 3° , llegamos a la siguiente ecuación bicuadrada:
1
cos 0.75° − cos 0.75° + (1 − cos 3°) = 0
8
Donde la incógnita es el coseno de 0.75°. Al resolverla con la fórmula de Bháskara y
despejando el coseno de 0.75°, se llega a la siguiente expresión:
√
cos 0.75° =
√
… (44)
Para calcular el seno de 0.75°, se utiliza la siguiente identidad trigonométrica:
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sin
Sustituyendo
queda que:
+ cos
=1
= 0.75° , despejando el seno de 0.75° y haciendo reducciones, nos
√
√
sin 0.75° =
… (45)
Ángulo de 0.1875°:
Para calcular el coseno de 0.1875˚, usamos la identidad:
cos
Si ahora hacemos que
4
− cos
1
+ (1 − cos ) = 0
4 8
= 0.75° en la identidad anterior, se tiene que:
1
cos 0.1875° − cos 0.1875° + (1 − cos 0.75°) = 0
8
que volvemos a encontrar una ecuación bicuadrada. Al resolverla, se tiene que:
cos 0.1875° =
2 + √2 + 2 cos 0.75°
2
donde cos 0.75° ya es conocido.
Sustituyendo lo que equivale el cos 0.75° en la expresión anterior, resulta que:
cos 0.1875° =
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⎷
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⎷
√
… (46)
Se puede verificar, al usar la identidad trigonométrica
sin
√
+ cos
=1
que el seno de 0.1875˚ puede quedar expresado como:
C. I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
sin 0.1875° =
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⎷
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⃓
⎷
√
√
… (47)
Ángulo de 0.09375°:
Ahora bien, con estos resultados, podemos calcular el coseno de 0.09375˚. Al usar
(15), (16) y (46), se llegan a las siguientes expresiones:
cos 0.09375° =
sin 0.09375° =
⃓
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⃓
⃓
⎷
√
√
… (48)
√
√
… (49)
Ángulo de 1.03125°:
Este proceso lo podemos continuar hasta donde queramos, sólo que entre más
pequeño sea el ángulo, se incrementan el número de raíces.
Hay que observar un hecho muy interesante; si observamos cuidadosamente los tres
últimos ángulos, se puede calcular el seno y coseno de 1.03125° en forma exacta,
porque:
1.03125°=0.75°+0.1875°+0.09375°.
Entonces conviene tener una fórmula que permita calcular el seno y coseno de tres
ángulos. Esas fórmulas las podemos deducir.
Sea el ángulo
+
+ =
+ , donde
=
+ , por lo tanto:
sin( + + ) = sin( + ) = sin cos + cos sin
Si a la expresión anterior, se sustituye
=
+ , se tiene que:
C. I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
sin( +
+ ) = sin cos cos + cos sin cos + cos cos sin −
sin sin sin … (50)
Algo similar pasará con el coseno de tres ángulos, por lo que:
cos( +
+ ) = cos cos cos − sin sin cos − sin cos sin −
cos sin sin … (51)
Si asignamos que
=
0.75°
= 0.1875°
= 0.09375°
sean los ángulos correspondientes en (50) y (51), entonces hemos encontrado dos
expresiones que permite calcular el seno y coseno de 1.03125° en forma exacta:
sin(1.03125°) = sin 0.75° cos 0.1875° cos 0.09375° +
cos 0.75° sin 0.1875° cos 0.09375° + cos 0.75° cos 0.1875° sin 0.09375° −
sin 0.75° sin 0.1875° sin 0.09375° … (52)
cos(1.03125°) = cos 0.75° cos 0.1875° cos 0.09375° −
sin 0.75° sin 0.1875° cos 0.09375° − sin 0.75° cos 0.1875° sin 0.09375° −
cos 0.75° sin 0.1875° sin 0.09375° … (53)
donde el seno y coseno de 0.75°, 0.1875° y 0.09375° están dados por (44), (45), (46),
(47), (48) y (49).
Ángulo de 1.0078125°:
Hay que destacar que con la metodología que se está llevando, jamás llegaremos a
1° en forma exacta pero si nos acercaremos suficiente. Para el cálculo de éste ángulo,
se puede plantear que 1.0078125°=1.03125°-(0.09375°/4). Simplemente se tendría
que calcular el seno y coseno de 0.0234375° y eso resulta fácil si se aplica la identidad
trigonométrica del ángulo cuádruple, tomando como base el ángulo de 0.09375° (eso
se lo dejo al lector como ejercicio). Y para el ángulo de 1.03125°, se puede usar las
expresiones (52) y (53). Por lo tanto, es posible calcular el seno y coseno de 1.0078125°
en forma exacta.
C. I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
Con esto concluyo la primera parte de este tema, esperando que lo aquí expuesto
sirva de base para aquellas personas que tienen dificultades en calcular los valores
exactos de las funciones senos y cosenos.
De esta manera, he demostrado que sí es posible calcular en forma exacta los valores
de funciones trigonométricas, con un incremento de 0.09375°. Cabe destacar que ese
incremento puede variar y hacerlo cada vez más pequeño, pero son expresiones muy
complejas de manejar.