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3. LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3.1 Funciones seno y coseno hiperbólicos
a) Definición
Se definen formalmente como en el caso real.
Para z  C
e z  e z
Ch z 
2
e z  e z
Sh z 
2
(3.9)
b) Propiedades
i)
Para z = x, el valor de estas funciones coincide con el valor de las
funciones coseno y seno hiperbólico reales.
ii)
Las funciones Sh z y Ch z son enteras y
d
d
( Sh z )  Ch z
( Ch z )  Sh z
dz
dz
Son enteras por ser combinaciones lineales de funciones enteras e z y e  z .
d
d  e z  e z  e z  e z
Además
(Sh z) 
 Ch z


dz
dz 
2
2

Análogo para Ch z
iii)
Las funciones Sh z y Ch z son periódicas con periodo 2i
Pues e z y e  z son periódicas con ese periodo.
iv)
cos iz  Ch z
sen iz  i Sh z
Ch iz  cos z
Sh iz  i sen z
(3,10)
Basta utilizar las definiciones de las funciones trigonométricas e
hiperbólicas.
Por tanto:
“De toda fórmula trigonométrica válida en el campo complejo, se deduce
otra hiperbólica válida también en el campo complejo, reemplazando z por
iz y expresando las funciones trigonométricas de iz por medio de funciones
hiperbólicas de z “
v)
Ch(  z )  Ch z
vi)
Ch 2 z  Sh 2 z  1
Sh(  z )   Sh z
(3,11)
De la definición, o partiendo de cos 2 z  sen 2 z  1
Cambiando z por iz: cos 2 iz  sen 2 iz  1
Y según (3,10): Ch 2 z  Sh 2 z  1
7
Sh( z 1  z 2 )  Sh z 1Ch z 2  Ch z 1 Sh z 2
Ch( z 1  z 2 )  Ch z 1Ch z 2  Sh z 1 Sh z 2
vii)
(3.12)
Sh z  Sh x cos y  i Ch x sen y
Ch z  Ch x cos y  i Sh x sen y
viii)
Pues Sh z  Sh ( x  iy )  Sh x Ch iy  Ch x Sh iy  Sh x cos y  i Ch x sen y
ix)
Sh z  Sh z
x)
Ch z
xi)
Ch z  0  z 
2
Chz  Ch z
 cos 2 y  Sh 2 x

2
Sh z
i  ki
k Z
2
 sen 2 y  Sh 2 x
Sh z  0  z  ki
k Z
Pues Sh z  0  e z  e z  0  e 2z  1  2z  2ki  z  ki
Análogo para el Ch z.
k Z
3.2 Restantes funciones hiperbólicas
a) Definición
Se definen:
Sh z
;
Ch z
Ch z
;
Cth z 
Sh z
Th z 
Sech z 
1
Ch z
C sec h z 
1
Sh z

z  C   (  k)i , k  Z
2
z  C   ki , k  Z


b) Propiedades
i)
Las funciones anteriores son analíticas en sus respectivos campos de
existencia y en ellos es:
d
d
( Th z )  Sech 2 z
( Sech z )   Sech z Th z
dz
dz
d
d
( Cth z )  C sec h 2 z
( C sec h z )   S sec h z Cth z
dz
dz
ii)
Otras propiedades de estas funciones se obtienen a partir de las propiedades
vistas para Sh z y Ch z.
4. LA FUNCIÓN LOGARITMO
a) Introducción
En el análisis real e definía el logaritmo en base a a  0, a  1 como la función
inversa de la exponencial de base a, es decir:
8
y  log a x  a y  x
a  0, a  1, x  0
Para el caso a = e la función recibía el nombre de logaritmo neperiano y se
denotaba y = ln x
Y cuando a = 10 , se suprimía la a en la notación y se escribía y = log x.
En el análisis complejo, se define análogamente la función logaritmo como
función inversa de la función exponencial compleja.
b) Definiciones
 “Sea z  C y z  0 . Si w es un nº complejo tal que exp(w) = z, entonces se dice que
w es un logaritmo de z . Y se escribe w = log z.” Es decir exp( w )  z  w  log z
Se verá que la ecuación e w  z tiene infinitas soluciones en el campo complejo. Cada
una de ellas se llama una determinación del logaritmo. Es decir que w = log z es una
función multiforme.
Sea w = u + iv. Y sea z  r y arg z    2k ( k  Z ) siendo    , 
el argumento principal de z ( Argz )
Entonces e w  z  e u (cos v  isen v)  r (cos   i sen )
Por tanto e u  r , es decir u  ln r , y v    2k ( k  Z )
Luego: log z  ln r  (   2 k )i
con r  z ,   Argz , k  Z,  en radianes (3.13)
Se ha visto que, en efecto, existen infinitos logaritmos de un nº complejo. Era de
esperar, dada la periodicidad de la función exponencial.
y
v
w  log z
z
r

x
z  x  yi  re i
u  ln r
4i
2i
 2i
ln r  i (  4 )
ln r  i (  2 )
ln r  i  Logz
ln r  i (  2 )
u
w  u  iv
 “Se llama logaritmo principal de z o valor principal del logaritmo, y se denota
w  Logz a:
Logz  ln r  i
con r  z , r  0  ,   Argz    ,  ” (3.14)
La función logaritmo principal, es ya uniforme.
9
Está definida en todo el plano complejo, excluyendo al origen. Y su recorrido es la
franja horizontal de anchura 2 :
Re c( Log z )  w  u  iv /    v   
 Se observa que si z  x   y x  0 , entonces el valor principal de su logaritmo
complejo, coincide con su logaritmo real neperiano, es decir: Log x  ln x
 A partir de la función multiforme log z  ln r  (  2k)i , además de la función
univaluada logaritmo principal, obtenida dando a k el valor cero, podrían obtenerse
otras funciones univaluadas, tomando otro valor de k  Z.
Cada una de estas funciones recibe el nombre de rama de la función logaritmo. El
dominio de todas ellas es el plano complejo salvo el origen. Y el recorrido de la
correspondiente a k, la franja horizontal de anchura 2 :
k Z
w  u  iv / ( 2k  1 )  v  ( 2k  1 ) 
También podrían definirse otras ramas partiendo de la nueva principal: F(z)  ln r  i
con r  0 y    0 ,  0  2 .
A la semirrecta    0 se le llamaría corte de la rama.
El punto z  0 común a todos los cortes, se le llama punto de ramificación de la
función multiforme.
En el caso del valor principal Log z, el corte de la rama sería la semirrecta   
c) Propiedades
i)
La función Log z  ln r  i       es continua en todo el plano
complejo, excepto en los puntos del semieje real negativo. Tampoco será
por tanto derivable en estos puntos.
Es evidente la continuidad en los puntos en los que   
Si x 0 pertenece al semieje real negativo es r  x 0 y    . Pero el
componente imaginario i de Log z no es función continua en x 0 , pues en
él su valor es  , mientras que en la mitad inferior de un entorno
arbitrariamente pequeño de x 0 , toma valores próximos a  
ii)
La función Log z es analítica en el dominio D  { z  C / r  0 ,     }
d
1
y su derivada en él es:
Logz 
dz
z
Demostración: Ya se ha dicho que Logz  ln r  i es continua en D
1

u  ln r
u r  , v r  0
Para esta función es: 
Luego 
r
v  
u   0, v   1
Estas derivadas son continuas en D y satisfacen las condiciones de Cauchyru r  v 
Riemann 
en D
rv r  u 
Luego Log z es analítica en D.
d
1
1
1 
z  D
Además:
Log z  e i u r  iv r   e i   

i

dz
z
 r  re
10
iii)
Si z 1 z 2  0 , se verifica:
 log( z 1 z 2 )  log z 1  log z 2
Pues
log( z1z 2 )  ln r1r2  (1   2  2k)i  ln r1  ln r2  (1   2  2k)i 
 log z1  log z 2
 Log( z 1 z 2 )  Log z 1  Log z 2  2i  ( z 1 , z 2 ) siendo:
1 si  2  Arg z1  Arg z 2  

 ( z1 , z 2 )  0 si    Arg z1  Arg z 2  
 1 si   Arg z  Arg z  2

1
2
iv)
Si z 1 z 2  0 , se verifica:
log( z 1 / z 2 )  log z 1  log z 2
Demostración análoga a la del producto
5. EXPONENTES COMPLEJOS
a) Forma general
Dados dos números complejos z1  0 y z 2 se define:
z 1 z2  e z2 log z1  exp( z 2 log z 1 )
(3.15)
Es evidente que z1z 2 tiene infinitas determinaciones, por tenerlas log z1 .
Se consideran a continuación los casos en que z1 ó z2 son constantes.
b) La función potencial

Es el caso f ( z )  z  siendo  C y constante, z  0
Según lo visto en a) es: z   e log z
Si z  re i con       resulta:
z   e  log z  e  ln r  i (   2 k )
k Z
(3.16)
Es, en general, multiforme, como log z. Cada rama de log z dará lugar a una
rama de la función potencial.

Si en z   e log z se toma como determinación de log z la rama principal, se
obtiene el valor principal de z  .
11
Será: valor principal de z  e Log z z  0
Considerando este valor principal, se trata de una función uniforme y analítica
en el dominio D definido por r>0       por ser función compuesta de
uniformes y analíticas.
d 
Además:
pues:
z   z  1
dz
d  d  Log z  Log z
e Log z
z  e
 e

 e (1)Log z  z 1
Log
z
dz
dz
z
e
Análogo para otras ramas de log z

Para los valores principales es:
z  1 z  2  z  1  2
Pues z 1  2  e (1  2 ) Log z  e 1Log z e  2Log z  z 1 z  2
  ( z1 z2 )
( z1z2 )  z
1 z2 e
Pues

(z1z 2 )  e
Log (z1z2 )
2i (z1z2 )
 e Log z1Log z2 2i  (z1,z2 )  z1 z 
2e
Casos particulares:
b1 )
Sea   m Z
Entonces z m  emln r i( 2k)  em ln r eime2kmi
Pero es e 2kmi  1 . Luego
z m  r meim 
En este caso z m es uniforme y coincide con la potenciación ya vista en
Tema 1.
b2 )
Sea  
p
, p  Z, q  N, p,q primos entre sí.
q
Entonces e
p
2k i
q
e
2kpi
q
q
 1
p
En este caso z q tiene q determinaciones. Coincide con la
potenciación
de exponente racional vista en Tema 1.
b3 )
Sea   a  bi
En este caso: z a  bi  e(a  bi) log z  e(a  bi)ln r  i( 2k)
es decir: z
a  bi
e
a ln r  b( 2k) ib ln r  a ( 2k) 
k Z
.e
a  bi
Luego z
tiene infinitas determinaciones, que corresponden a los
distintos valores de k.
12
c) La función exponencial de base constante

En el caso f ( z )   z
Según lo visto en a) es:
  0  C
 z  e z log
(3.17)
Por cada determinación de log  , se tendrá una determinación de  z .

Si se toma el valor principal Log de log  , se tiene el valor principal de  z .
Este valor principal es una función uniforme y entera por ser composición de
uniformes y enteras ( w  (Log)z y  z  e w )
d z
Además:
pues
   z Log
dz
d z
d zLog 
 
e
 (Log)e zLog    z Log 
dz
dz

Nota
Deberíamos distinguir entre exp(z) y e z . Por comodidad de notación ya
se empleó la e z para indicar la exp(z). Pero en la  z con   e , la e z sería:
e z  exp( z log e)  exp( z(ln e  2ki))  exp( z(1  2ki))
En particular para k = 0, se obtiene exp(z). Luego la función exp(z) coincide con
el valor principal de la función exponencial de base   e .
6. FUNCIONES INVERSAS DE LAS TRIGONOMÉTRICAS
Dado que las funciones trigonométricas se han definido en términos de exponenciales,
las inversas de las primeras podrán expresarse en términos logarítmicos.
Se define la función w = arc sen z, como la inversa del seno es decir:
w  arcsenz  z  senw
Como es z  senw 
 
2
eiw  eiw
, resulta: 2ize iw  e2iw  1  eiw  2ize iw  1  0
2i
 e iw  iz   z 2  1 , de donde iw  log( iz  1  z 2 )
Como es sabido 1  z 2 es función biforme de z . Luego:
w  arcsen z  i logiz  1  z 2 


(3.18)
Se trata de una función con una doble infinitud de determinaciones.
Si se usan ramas concretas para la raíz y el logaritmo, la correspondiente función
w = arcsen z será uniforme. Y también analítica por ser función compuesta de
funciones analíticas.
13
De forma análoga se obtendría la función inversa del coseno: w  arccos z  z  cos w
Procediendo de forma análoga a lo hecho para arcsenz se obtiene:
Y también:
w  arccos z  i log z  z 2  1 


i
iz
w  arctg z  log
2
iz
(3.19)
(3.20)
Tomando una rama analítica de cada una de ellas, se demuestra que sus
derivadas son:
d
1
d
1
d
1
;
;
arcsen z 
arccos z 
arctg z 
dz
dz
dz
1 z2
1 z2
1 z2
7. FUNCIONES INVERSAS DE LAS HIPERBÓLICAS
Actuando de forma análoga a como se ha hecho con las inversas de las trigonométricas:
Se define w  ArgSh z  z 
e w  e w
2
Luego e 2 w  2ze w  1  0
e w  z  1 z 2 
w  ArgShz  log z  1  z 2 


(3.21)
w  ArgChz  log z  z 2  1 


(3.22)
Y análogamente:
w  ArgThz 
1
1 z
log
2
1 z
(3.23)
Tomando una rama concreta de cada función, las correspondientes funciones obtenidas
son analíticas en su dominio de definición siendo sus respectivas derivadas:
d
1
d
;
ArgChz 
ArgShz 
dz
dz
1 z2
1
z2 1
;
d
1
ArgThz 
dz
1 z2
14