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Algunas funciones elementales
Similarmente se definen las funciones
con derivadas
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Función logaritmo
Una motivación para introducir la función la
función logaritmo proviene de la solución de la
ecuación:
Se define la función log z con
como
O bien
donde Arg(z) es el arg(z) en el intervalo
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El argumento principal “salta” en
cuando z
cruza el corte ramal (branch cut) en el eje real
negativo
De esta forma tenemos ramas univaluadas de
la función log z
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Se define el valor principal de la función log z
como
Fuera del eje real negativo, la función Log z es
analítica y se tiene que
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Comentario:
Notemos que
Pero
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En ocasiones es conveniente definir otras
ramas de la función log z como
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Comentario:
●
●
La función Arg z es armónica, excepto en el
corte ramal
La función ln |z| es armónica, excepto en el
origen
Entonces tenemos dos funciones armónicas
que satisfacen la ec. de Laplace
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Ejemplos en problemas físicos:
●
●
Capacitor coaxial infinito
Dos planos infinitos formando cierto ángulo en
un extremo (cuña)
Es conveniente utilizar coordenadas polares
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O bien,
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●
Potencias complejas o exponentes complejos
Haciendo uso de la función logaritmo podemos
definir potencias complejas.
Si
y
la función
●
Para
un número complejo, se define
por medio de la relación:
(
(
la relación anterior es cierta
) y
) sabemos que
●
Se puede definir el valor principal (V.P.) de la
función
como
V.P.
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●
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
inversas
Estas funciones también se pueden escribir en
términos de la función logaritmo.
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●
Seno inverso
Sea w el inverso de la función seno, i.e,
con
De aquí se puede encontrar que
Recuerde que la raíz es una función bivaluada.
Además, como log(z) es multivaluada
también lo es.
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Similarmente tenemos:
●
Coseno inverso
●
Tangente inversa
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Además, tienen como derivadas
●
●
●
Algunas funciones elementales
Las funciones hiperbólicas se definen como:
●
●
●
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Funciones hiperbólicas inversas:
●
●
●
Superficies de Riemann
Superficies de Riemann
●
Raíz cuadrada