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DINAMICA. CUESTIONES Y PROBLEMAS
1. a) ¿La masa de un cuerpo es la misma en todos los sitios? ¿Y su peso?
b) Si queremos arrancar un árbol tirando de él con un coche, ¿es mejor que la suegra vaya
dentro o es indiferente?
a) La masa de un cuerpo puede considerarse constante, a menos que posea unas velocidades
del orden a la de la luz, en este caso
m=
mo
1−
v2
c2
mo = masa en reposo
v = velocidad que lleva
c = velocidad de la luz
En la mecánica clásica los cuerpos se mueven a velocidades insignificantes comparadas a las
de la luz, y por eso podemos considerar que su masa es constante, ya que el término v 2 / c 2 es
prácticamente cero.
El peso, por el contrario, no es constante puesto que depende de la gravedad que varía de unos
sitios a otros, puesto que es función de la altura (más concretamente desde el centro de la
tierra al centro del objeto) y de la latitud.
b) Evidentemente no es lo mismo, porque la fuerza máxima con la que puede tirar el coche es
igual a la de rozamiento, ya que por encima de ella patinaría. Por tanto, como la fuerza de
rozamiento depende de la reacción del suelo (que si es horizontal sería igual al peso) nos
interesa que el coche lleve el mayor peso posible.
2. Un bloque de 20Kg descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente estático de
rozamiento es 0,4 y el cinético, 0,2.
a)¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque?
b)¿Qué valor tomará dicha fuerza si actúa sobre el bloque una fuerza horizontal de 60 N?
c)¿Cuál es la fuerza mínima que iniciará el movimiento del bloque?
d)¿Cuál es la mínima fuerza que mantendrá el movimiento una vez iniciado éste?
e)Si la fuerza horizontal es de 100 N, ¿cuánto valdrá la fuerza de rozamiento?
La fuerza de rozamiento es una fuerza que se opone al movimiento y vale desde cero hasta un
valor máximo dado por FRoz = N ⋅ µ
El coeficiente de rozamiento tiene un valor para cuando el cuerpo está en reposo y comienza a
moverse y otro para cuando ya se mueve, llamados respectivamente estático y dinámico, el
primero siempre mayor que el segundo. En este caso:
FRoz ,Est = N ⋅ µ Est = 200 ⋅ 0,4 = 80 N
FRoz ,Din = N ⋅ µ Din = 200 ⋅ 0,2 = 40 N
a) Cuando el bloque está descansando sobre la superficie la fuerza de rozamiento es cero. La
fuerza de rozamiento aparece solamente en el momento que el cuerpo intenta moverse y se
opone a movimiento.
b) Si el bloque está en reposo y ejercemos una fuerza de 60N, la fuerza de rozamiento
aumentará hasta valer 60N, contrarrestando así a la que hacemos.
c) A medida que aumentamos la fuerza F, la de rozamiento va creciendo y la contrarresta
hasta llegar a su valor máximo FRoz,Est = 80N. A partir de ese momento el cuerpo comenzará a
moverse.
d) Una vez que comienza el movimiento ahora la fuerza viene determinada por el coeficiente
dinámico, que es menor. Para mover el cuerpo con velocidad constante bastará con ejercer
una fuerza igual a la de rozamiento dinámica máxima: 40N
e) Si la fuerza F=100N, aplicando la segunda ley de Newton tenemos que:
ΣF = ma
→
F – FRozDin = m.a → 100 – 40 = 20.a → a = 3 m/s2
3. Sobre un bloque de 20 kg situado sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza de 200
N. Si el coeficiente de rozamiento vale 0,2, calcular la velocidad adquirida por el cuerpo al cabo
de 3 s en los siguientes casos:
En todos los casos hay 4 fuerzas: la fuerza F, el peso, la normal o reacción del plano y la
fuerza de rozamiento. No hay más que dibujarlas y aplicar la segunda ley de Newton para
calcular la aceleración que adquiere la masa y luego aplicar la ecuación para la velocidad de
un movimiento uniformemente acelerado: v = vo + a.t
a) La normal o reacción del plano es igual a la suma de todas las fuerzas que el cuerpo hace
contra el plano, que en este caso es solo el peso, por tanto N = mg = 200 N
Una vez que conocemos el valor de N podemos calcular la fuerza de rozamiento
FRoz = µN = 0,2.200 = 40 N
ΣF = ma
→
F – FRozDin = m.a → 200 – 40 = 20.a → a = 8 m/s2
v = vo + a.t = 8.3 = 24 m/s
b) En este y el siguiente caso ya no podemos saber de antemano el valor de la normal. Antes
hemos de descomponer todas las fuerzas y ver cuales hace el cuerpo contra el plano. La
normal, como fuerza de reacción, será igual a la suma de todas ellas y en sentido contrario:
Vemos que la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el plano es igual al peso “menos” la
componente de la fuerza Fsen30. Por tanto (de acuerdo con la tercera ley de Newton) la
normal será igual a la resultante y en sentido contrario: N = mg–Fsen30.
Y la fuerza de rozamiento FRoz = µN = µ.( mg–Fsen30). Resumiendo, las únicas fuerzas que
quedan después de descomponerlas son:
ΣF = ma
Fcos30 – µ ( mg–Fsen30) = m.a
200.cos30 – 0,2.(200–200sen30) = 20.a → a = 7,66 m/s2
.
v = vo + a.t = 7,66.3 = 22,98 m/s
c) Teniendo en cuenta que las fuerzas, como vectores que son, pueden deslizarse paralelamente,
esmpujarle en esa dirección sería exaxtamente igual que tirar tal como se indica en la figura. Por
tanto:
Vemos que ahora el cuerpo empuja contra el plano con una fuerza igual al peso más la
componente Fsen30. La normal sería entonces N = mg+Fsen30 y la fuerza de rozamiento FRoz
= µN = µ.( mg+Fsen30).
ΣF = ma
.
Fcos30 – µ ( mg+Fsen30) = m.a
200.cos30 – 0,2.(200+200sen30) = 20.a → a = 5,66 m/s2
v = vo + a.t = 7,66.3 = 16,98 m/s
4. Un tren suburbano está formado por tres vagones de 15 T cada uno. El primero de ellos actúa
de máquina y ejerce una fuerza de tracción de 48000 N. Sabiendo que la fuerza de rozamiento
en cada uno de los vagones es de 1000 N, calcular:
a) la aceleración del tren
b) la tensión en el acoplamiento entre el primero y el segundo de los vagones. Idem entre el
segundo y el tercero.
a) Dibujamos todas las fuerzas que hay sobre el tren, incluidas las que unas partes del sistema
hacen sobre otras partes del sistema, es decir, las que los vagones hacen entre sí.
si aplicamos la segunda ley de Newton a todo el sistema, los pesos de cada vagón se
compensarán con su reacción del plano, así como las fuerzas que un vagón hace sobre el otro y
viceversa porque son fuerzas de acción y reacción. La resultante de todas las fuerzas es la fuerza
ejercida por la máquina menos las tres fuerzas de rozamiento:
ΣF = ma
48000 – 1000 – 1000 – 1000 = (15000+15000+15000).a
a = 1 m/s2
b) Para calcular la fuerza que unas partes del sistema hacen sobre otras tenemos que aplicar la
segunda ley de Newton a trozos del sistema, porque de otra forma se anularían al ser fuerzas de
acción y reacción. Aplicando la segunda ley a cada vagón y teniendo en cuenta que todos ellos
se mueven con la misma aceleración a=1 m/s2, tenemos:
vagón 1:
ΣF = ma → 48000 – 1000 – F21 = 15000.1 → F21 = 32000 N
teniendo en cuenta que F12 es la reacción a la fuerza F21 y por tanto son iguales en módulo
aunque tengan sentidos opuestos, también valdrá 32000N, así que:
vagón 2:
ΣF = ma → 32000 – 1000 – F32 = 15000.1
→ F32 = 16000 N
aplicando la segunda ley al tercer vagón obtenemos, lo que sería la comprobacion, que
F23=16000N
5. Un bloque de masa m1=3Kg se mueve sobre una superficie horizontal, unido, mediante una
cuerda flexible y ligera que pasa por una polea, a otra masa m2=2Kg que cuelga del otro
extremo. Hallar la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda en los casos:
a) si no hay rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal
b) si existe rozamiento con un coeficiente dinámico µ=0,2
Si la polea es ideal la tensión a ambos lados es la misma y la polea simplemente cambia la
dirección. Si aplicamos la segunda ley a todo el sistema, tenemos que la fuerza resultante es
P2=m2g, pero la masa de todo el sistema es 3+2 Kg
ΣF = ma → 20 = (3+2).a
→ a = 4 m/s2
Aplicando la segunda ley a cualquiera de las dos masas, por ejemplo a la masa m1 = 3Kg:
ΣF = ma →
T = 3.4 →
T = 12 N
Lo mismo habríamos obtenido si aplicamos la segunda ley a la masa m2 = 2Kg:
ΣF = ma → 20 – T = 2.4 → T = 12 N
b) Si hay rozamiento:
La fuerza de rozamiento entre la masa m1 y la mesa es Froz = µN = µ.m1g = 0,2.30 N
La segunda ley a todo el sistema sería:
ΣF = ma → 20 – FRoz = m.a → 20 – 0,2.30 =(3+2).a → a = 2,8 m/s2
ahora aplicando la segunda ley a cualquiera de las dos masas, por ejemplo aplicándola a la masa
m1 tenemos que:
ΣF = ma →
T – FRoz = m1.a → T – 0,2.30 = 3.2,8 → T = 14,4 N
6. Calcular la aceleración con que desciende un cuerpo por una superficie pulida, formando
un ángulo α con la horizontal.
Si se desprecia el rozamiento las únicas fuerzas sobre el cuerpo son el peso y la reacción del
plano, exactamente como si se encontrase sobre una superficie horizontal. La única diferencia
es que al estar sobre un plano inclinado, la reacción del plano que siempre es normal al plano
(de ahí que también se le llame normal) tiene una componente que le hace descender tal como
se ve al descomponer las fuerzas.
Aplicando la segunda ley de Newton, y teniendo en cuenta que la componente del peso
normal al plano es rechazada por la reacción de éste:
ΣF = ma → mgsenα = m.a → a = g.senα
7. Calcular la fuerza que habría que hacer sobre un cuerpo de 10 Kg para que ascendiera con
una aceleración de 0,1 m/s2 por una superficie pulida, formando un ángulo de 30º con la
horizontal.
Teniendo en cuenta que la componente del peso mgcosα es compensada por la reacción del
plano, aplicando la segunda ley de Newton:
ΣF = ma → F – mgsenα = m.a → F – 100.sen30 = 10.0,1 → F = 50 N
8. Dispones de un plano que se puede inclinar más o menos a voluntad. Sobre él hay un taco
cuyo coeficiente de rozamiento con el plano es µ. Si comienzas lentamente a elevar el plano,
¿con qué ángulo comenzará el movimiento?.
El taco desliza con velocidad constante en el momento en que la suma de las fuerzas sea cero:
∑F=0 → a=0 → v=cte.
Observa en la figura que la única fuerza que le hace descender es la componente del peso
mgsenα. A medida que aumenta el ángulo el seno también aumenta y por tanto la fuerza que le
hace descender.
Como sabes, mientras mgsenα no iguale a la fuerza de rozamiento máxima, ésta se limita a
valer igual a la componente del peso por lo que la compensa y el taco no se mueve. Llegará el
momento en que el ángulo α se tal que la componente del peso iguale a la fuerza de rozamiento
máxima, que vienen dada por FRoz,máx = µ.N en ese momento el cuerpo comenzará a deslizar con
velocidad constante:
mgsenα = FRoz,máx → mgsenα = µ.N → mgsenα = µ.mgcosα
µ=
senα
= tgα
cos α
→ α = arctg µ
9. Un bloque de 30 Kg es arrastrado hacia arriba sobre un plano inclinado 30º mediante una
fuerza paralela al plano de 600 N. El coeficiente de rozamiento es 0,25. Calcular:
a) la aceleración
b) la velocidad después de haber recorrido una distancia de 4m a lo largo del plano
a) Ahora hay 4 fuerzas. una vez descompuestas es fácil ver que a la fuerza F se oponen la
componente del peso y la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento, es FRoz = µ.N y una vez
descompuestas la fuerzas y que sabemos lo que vale la normal podemos poner que FRoz =
µ.mgcosα
ΣF = ma → F – mgsenα – FRoz = m.a
sustituyendo:
600 – 300sen30 – 0,25.300cos30 = 30.a → a = 12,85 m/s2
b)
s = vot + ½ at2
v = vo + at
s = ½ at2
v = at
4 = ½ 12,85.t2
v = 12,85t
t = 0,79 s
v = 10,15 m/s
10. Se lanza hacia arriba por un plano inclinado 37º un cuerpo de 2 Kg de masa con una
velocidad de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0’1, calcula la
distancia recorrida sobre el plano antes de detenerse. ¿Volverá a descender por si mismo? En
caso afirmativo, calcula la velocidad con que llegará a la base.
El cuerpo sube a pesar de que hay dos fuerzas en sentido contrario a la velocidad: la de
rozamiento y una componente del peso. Precisamente porque las fuerzas tienen sentido contrario
a la velocidad dan lugar a una aceleración en sentido contrario que es la responsable de que
disminuya su velocidad hasta pararse.
ΣF = ma →
– mgsenα – µ.mgcosα = m.a
sustituyendo:
– 20sen37 – 0,1.20cos37 = 2.a → a = – 6,8 m/s2
el signo menos de la aceleración quiere decir, como ya razonamos, que tiene sentido contrario a
la velocidad. Ahora es un simple problema de cinemática. Seria exactamente como: “Un cuerpo
lleva una velocidad inicial de 12 m/s. Si frena con una aceleración de 6,4 m/s2, calcular el
espacio que recorre hasta pararse.”
s = vot + ½ at2
v = vo + at
s = 12t – ½ 6,8t2
0 = 12 – 6,8t
t = 1,76 s
s = 10,56 m
b) Una vez que el cuerpo llega al punto mas alto y se detiene, la componente del peso tira de él
hacia abajo. La diferencia importante está qn que ahora como el cuerpo se mueve hacia abajo, la
fuerza de rozamiento, que siempre tienen sentido contrario, irá hacia arriba:
como puede verse en la figura, una vez que el cuerpo llegue a la posición más alta empezará a
descender siempre y cuando la componente del peso mgsenα sea igual o mayor que la fuerza de
rozamiento máxima, Froz = µ.mgcosα. Si fuese igual descendería con velocidad constante y si
fuese mayor con movimiento uniformemente acelerado.
Puesto que el sistema de referencia podemos elegirlo como nos interese, vamos a considerar
positivo el sentido del movimiento, en ese caso la segunda ley sería:
ΣF = ma →
+ mgsenα – µ.mgcosα = m.a
20sen37 – 0,1.20cos37 = 2.a → 12 – 1,6 = 2.a → a = + 5,2 m/s2
Como vemos la aceleración ahora tiene el sentido del movimiento y por tanto ahora la velocidad
del cuerpo irá aumentando, como sabemos por experiencia:
s = vot + ½ at2
v = vo + at
10,56 = ½ 5,2t2
v = 5,2t
t = 2,02 s
v = 10,5 m/s
Observa como la velocidad con la que llega al punto de partida es menor. Ello se debe a que
parte de la energía que tenía inicialmente se ha disipado en forma de calor por efecto de
rozamiento. Si no hubiese rozamiento habría llegado exactamente con la misma velocidad.
11. Sobre un plano horizontal se coloca un cuerpo de 280 Kg. Se le une a otro de 700 Kg que se
desliza por una rampa de 30º de inclinación. Calcular:
a) La aceleración del sistema
b) La fuerza con que hay que sujetar al cuerpo del plano horizontal para que el sistema se
mueva con velocidad constante.
a) Como ves en la figura, todas las fuerzas se anulan menos la componente del peso m2gsenα.
Aplicando la segunda ley a todo el sistema:
ΣF = ma → m2gsenα = (m1+m2).a → 7000.sen30 = (280+700).a → a = 3,57 m/s2
b) La fuerza que es necesario aplicar es la necesaria para que la suma de todas sea nula, ya que
entonces la aceleracion será nula y en consecuncia la velocidad constante. Por tanto, como la
fuerza resultante, como ya hemos visto, es m2gsenα debemos aplicar una fuerza igual y en
sentido opuesto:
ΣF = ma = 0 → m2gsenα – F = 0 →
F = m2gsenα = 7000.sen30 = 3500 N
12. Una esfera cargada, cuya masa es 0’5 gr, está suspendida de un hilo. Al acercar otro cuerpo
cargado actúa sobre la esfera una fuerza eléctrica horizontal. Debido a ello, la carga queda en
reposo, formando la cuerda un ángulo de 25º con la vertical. Calcular la fuerza que actúa y la
tensión de la cuerda.
Como puedes ver en la figura, sobre la masa cargada hay tres fuerzas: el peso, la tensión de la
cuerda y la fuerza de Coulomb debida a la atracción de la otra carga. Como la masa se encuentra
en reposo, la suma de todas las fuerzas debe ser nula, por tanto las fuerzas sobre el eje X deben
dar resultante nula e igual las fuerzas sobre el eje Y: (se eligió este sistema de referencia, pero
puede ser cualquiera)
eje X:
Tsenα = F
dividiendo:
T senα
F
F
=
→ tg α =
T cos α mg
mg
eje Y:
Tcosα = mg
de donde:
F = mg.tg α = 0,5.10–3.10. tg25 = 2,3.10–3 N
y como:
Tcosα = mg →
T=
mg
0,5 ⋅ 10 −3 ⋅ 10
=
= 5,5 ⋅ 10 −3 N
cos α
cos 25
(también, una vez calculado el valor de la tensión podría calcularse el valor de la fuerza
sustituyendo en la primera ecuación)
E4A.S2007
13. Un cuerpo de 0,5 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado, que forma 30º con la
horizontal, con una velocidad inicial de 5 m s–1. El coeficiente de rozamiento es 0,2.
a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, cuando sube y cuando baja
por el plano, y calcule la altura máxima alcanzada por el cuerpo.
b) Determine la velocidad con la que el cuerpo vuelve al punto de partida. g = 10 m s–2
Tanto si el cuerpo está subiendo como si está bajando sobre él hay tres fuerzas: el peso, la
reacción del plano y la fuerza de rozamiento. La única diferencia es que la fuerza de rozamiento
tiene sentidos opuestos, porque siempre tiene sentido contrario al movimiento:
Descomponiendo las fuerzas en un SR con el eje X paralelo al plano tendremos:
Aplicando la segunda ley de Newton y considerando + lo que va hacia la derecha:
ΣF = ma →
– mgsenα – µ.mgcosα = m.a
–5sen30 – 0,2.5cos30 = 0,5.a →
a = + 6,73 m/s2
Como vemos, la aceleración ahora tiene el sentido del movimiento y por tanto ahora la velocidad
del cuerpo irá aumentando, como sabemos por experiencia:
s = vot + ½ at2
v = vo + at
s = 5.t – ½ 6,73t2
0 = 5 – 6,73t
t = 0,74 s
s = 1,86 m/s
El cuerpo recorre 1,85 m sobre el plano hasta que se detiene.
L altura alcanzada sobre el plano que está inclinado 30º, tenemos que:
h = s.sen30 = 1,86.sen30 = 0,93 m
b) Resuelve repitiendo el proceso. Ahora está arriba parado y desciende.
ΣF = ma →
– mgsenα + µ.mgcosα = m.a
→
a = –3,27 m/s2
aplicando las ecuaciones del movimiento: v = –3,49m/s (el – indica que tiene sentido –X)
14. En el sistema de la figura la polea puede considerarse ideal y la cuerda sin masa. Calcular:
a) La aceleración con que se mueven los bloques una vez que se dejen en libertad.
b) La tensión de la cuerda
a) Calcular la aceleración se reduce a calcular la fuerza resultante sobre el sistema y luego
aplicar la segunda ley de Newton. Para eso, vamos a dibujar todas las fuerzas que actúan
sobre cada una de las masas y luego las descomponemos para poder sumarlas.
Aplicando la segunda ley de Newton a todo el sistema y teniendo en cuenta que las poleas, si
son ideales, solo modifican la dirección de la fuerza, pero a ambos lados de la misma la
tensión es la misma:
4g sen 60 − 2g sen 30 = (4 + 2)a
de donde
a = 4,1 m ⋅ s −2
Si hubiésemos supuesto que el sistema evoluciona hacia el lado contrario, la aceleración
habría salido negativa, indicando con ello que tendría el sentido contrario al supuesto.
b) Puesto que el hilo es ideal, es decir inextensible y de masa despreciable, las dos masas se
mueven con la misma aceleración, por tanto aplicando la segunda ley a la masa de 2 Kg,
tendremos que:
T − 2g sen 30 = 2 ⋅ 4,1
de donde
T = 18,2 N
podemos comprobarlo aplicando la segunda ley a la masa de 4 Kg
4g sen 60 − T = 4 ⋅ 4,1
→
T = 18,2 N
EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN
Sobre un disco, que gira a la velocidad de 72 rpm, se coloca una moneda. Calcular el coeficiente
de rozamiento sabiendo que la moneda únicamente se queda quieta cuando se pone a una
distancia de 8cm, o menos, del eje de rotación.
Como sabes, todos los puntos del disco giran el mismo ángulo en el mismo tiempo, es decir,
todos tienen la misma velocidad angular ( ω = 72 rpm = 72.2π/60 = 7,54 rad/seg ). Sin embargo,
todos los puntos no giran con la misma velocidad lineal ya que depende del radio de giro: v =
ω.R
En este caso, la fuerza normal, que es la responsable de los cambios en dirección de la
velocidad, es la fuerza de rozamiento. Desde un SRNI, que se mueva con la moneda, como la
suma de las fuerzas debe ser nula se inventa la fuerza de inercia (centrífuga) del mismo módulo
a la normal y sentido opuesto, por tanto:
FRoz = Fc
→
µ ⋅ mg = m
v2
R
→
µ ⋅ mg = m
( ωR ) 2
= m ω2 R
R
Como sabes, la fuerza de rozamiento vale entre cero y un valor máximo dado por µ.mg. Al otro
lado tenemos mω2R . La única variable es el radio, y todo lo demás son constantes para este
caso concreto.
Si el valor de R es muy pequeño, entonces la fuerza de rozamiento se limitará a valer mω2R y
la moneda no se mueve. A medida que aumentamos R la fuerza de rozamiento va creciendo
hasta valer mω2R . Habrá un valor de R (8cm) para el cual la fuerza de rozamiento toma su
valor máximo µ.mg. Para valores mayores de R la fuerza centrífuga supera al rozamiento y la
moneda resbala y se sale del disco.
Esta situación es exactamente la misma que la que explica el movimiento de un coche en una
curva donde, igual que aquí, es la fuerza de rozamiento de los neumáticos con el suelo quien
debe compensar a la fuerza centrífuga. Cuando la velocidad del coche es tal que la fuerza
centrífuga iguala a la de rozamiento máxima estamos en la velocidad límite, y por encima de
esa velocidad el coche derrapa.
Despejando:
µ=
ω 2 R 7,54 2 ⋅ 0,08
=
= 0,45
g
10
¿Cuál es la velocidad mínima con que debe girar en un plano vertical un cubo de agua para
que ésta no se derrame?
Se trata de calcular la velocidad mínima que deberá tener en el
punto mas alto para que no se caiga, es decir, que en tal caso
todas las fuerzas deben equilibrarse
En el punto más alto, desde un SRNI, la fuerza centrífuga debe
compensarse con el peso y la tensión de la cuerda que sujeta al
cubo, que son las que hacen el papel de la fuerza normal
responsable del cambio de dirección de la velocidad: Fc = P + T
La velocidad mínima es aquella para la cual la tensión de la cuerda es cero, así que:
v2
v2
Fc = mg
m
m
= mg
= mg
R
R
v = gR
Para una velocidad mayor tendríamos:
T
v2
⇒
= mg +T ⇒
v = gR +
(no sería vmínima)
Fc = mg + T
m
R
m
¿Qué velocidad mínima debería llevar un ciclista para rizar el "rizo de la muerte" de radio 7 m si
el ciclista con su máquina pesa 80 Kg?
La velocidad mínima es aquella para la cual el peso del motorista se compense con la fuerza
centrífuga:
v2
P = Fc → mg = m mín
→ v mín = Rg = 7 ⋅ 10 = 8,37m / s
R
Por debajo de esa velocidad, la fuerza centrífuga no puede compensar al peso y el motorista se
cae. Por encima de esa velocidad el motorista riza el rizo y además ejercerá una fuerza sobre el
rail igual a la diferencia entre la fuerza centrífuga y el peso. Esa fuerza será rechazada por la
reacción del rail, de tal forma que, como vemos en el dibujo de la derecha: Fc = P+N
Un patinador de 60 Kg da vueltas cogido a una cuerda de 4 m. Cuando la tensión de la cuerda es de
6000 N se suelta saliendo lanzado hacia una pared situada a 40 m en su trayectoria.
a) Con qué movimiento sale y cuánto tardaría en llegar a la pared si no existiese rozamiento.
b) Qué fuerza ha de aplicar a los patines contra el suelo para llegar a la pared sin velocidad.
¿Cuánto tiempo tardaría en alcanzar la pared en ese caso?
Desde el punto de vista del patinador (SRNI) la suma de todas las fuerzas debe ser nula. Para
ello se inventa la fuerza de inercia (la llamada centrífuga) de forma que compense a la fuerza
normal que apunta hacia el centro, (que es la responsable de los cambios en dirección y de que
gire):
v2
T.R
6000 N.4m
→ v=
= 20 m/s
T = Fc → T = m
=
R
m
60Kg
El patinador está girando con una velocidad de 20 m/s. Como ya hemos dicho, esa velocidad
está sujeta a una fuerza en dirección normal, que en este caso es la tensión de la cuerda, y por
eso gira. Sin embargo en el momento en que se suelte y deje de actuar la única fuerza que hay
sobre él se moverá (si no hay rozamiento) con un movimiento rectilineo y uniforme de acuerdo
a la primera ley de Newton. Por tanto el tiempo en recorrer conm velocidad constante de 20 m/s
una distancia de 40 m, es:
s = v.t → 40 = 20.t → t = 2 seg.
b) Es muy simple. Se trata de calcular la aceleracion con la que debe frenar para teniendo una
velocidad inicial de 20 m/s detenerse despues de recorrer 40 metros:
s = vot + ½ at2
v = vo + at
40 = 20t – ½ a.t2
0 = 20 – a.t
t=4s
a = –5 m/s2
evidentemente esa aceleración, que como ves tienen sentido acontrario a la velocidad, debe
provocarla una fuerza, que en este caso es la de rozamiento del patinador contra el suelo, así
que:
FRoz = m.aRoz = 60.(–5) = –300 N
El signo menos se interpreta como que la fuerza de rozamiento tienen sentido contrario al
movimiento, como es de esperar.
Sabiendo que las masas se atraen con una fuerza que viene dada mediante la ley de gravitación
universal de Newton: F=G m.m´/r2, calcular la velocidad orbital de un satélite de
posicionamiento GPS que gira alrededor de la tierra con un radio de 4RT.
G = 6,67·10–11 N m2 kg–2 ; RT = 6400 km ; MT = 6,0·1024 kg
En este caso la fuerza normal responsable de los
cambios en dirección de la velocidad del satélite es
la fuerza de atracción gravitatoria.
Desde el punto de vista de un observador no
inercial para que el satélite esté en órbita es
necesario que la fuerza de atracción gravitatoria
se compense con la centrífuga, así que:
Fgrav = Fc
⇒
G
M⋅m
v2
m
=
r
r2
de donde:
v orbital =
GM
=
r
GM T
6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 6,0 ⋅ 10 24
=
= 3953,8 m / s
4R T
4 ⋅ 6400000
Según el modelo atómico de Bohr, el electrón del átomo de hidrógeno, en su estado
fundamental, gira alrededor del núcleo con un radio de 5,3.10–11 m. Calcular la velocidad que
debe tener el electrón, sabiendo que las cargas de distinto signo se atraen con una fuerza que
viene dada mediante la ley de Coulomb: F=K q.q´/r2
K = 9· 109 N m2 C–2 ; qe = 1,6· 10–19 C; me = 9,1· 10–31 Kg
En este caso la fuerza normal responsable de los
cambios en dirección de la velocidad del satélite es la
fuerza de atracción de Coulomb entre cargas de
distinto signo.
Desde el punto de vista de un observador no inercial
para que el electrón esté en órbita es necesario que
la fuerza de atracción eléctrica se compense con la
centrífuga, así que:
qe ⋅ qp
v2
Felectr = Fcentrif
⇒
=
K
m
r
r2
v=
Ke 2
9 ⋅ 10 9 ⋅ (1,6 ⋅ 10 −19 ) 2
=
= 2,2 ⋅10 6 m / s
−31
−11
mr
9,1 ⋅10 ⋅ 5,3 ⋅ 10
Esto precisamente es uno de los inconvenientes del modelo de Bohr, que permite conocer con
exactitud, y a la vez, la posición y la velocidad del electrón. Por tanto contradice al principio de
incertidumbre de Heisenberg, según el cual “es imposible conocer con exactitud y a la vez la
posición y el momento lineal de una partícula”.
Un camión va cargado con una caja. El coeficiente de rozamiento con el suelo del camión es
0,4. Suponiendo que el camión se mueve con una velocidad de 20 m/s, calcula la distancia
mínima en que puede detenerse, frenando de manera uniforme, para que la caja no deslice.
El camión frena bloqueando las ruedas.
Eso hace que aparezca una fuerza de
rozamiento por deslizamiento entre las
ruedas y el suelo en sentido contrario a la
velocidad, y por tanto una aceleración de
frenado.
Desde el punto de vista de un SRNI en el
camión, la caja está en reposo y sobre ella
no hay ninguna fuerza.
Al aparecer la aceleración de frenado
inmediatamente sobre la caja aparece otra
“igual y de sentido contrario”, la de inercia.
La aceleración de inercia tiende a
empotrar la caja sobre la cabina. En
consecuencia aparecerá una fuerza de
rozamiento entre la caja y el piso del
camión. La caja no se mueve mientras la
fuerza de inercia (m.ainercia) no rebase a la
de rozamiento.
por tanto, la aceleración máxima con la que puede frenar será igual a la que corresponda a la
fuerza de rozamiento máxima, por tanto:
FRoz,máx = Finercia
µ.mg = m.afrenado
→
afrenado = 0,4.10 = 4 m/s2
Ahora, aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado:
s = vot + ½ at2
v = vo + at
s = 20t – ½ 4.t2
0 = 20 – 4.t
t=5s
s = 50 m
Para detenerse en menos de 50 m necesitará frenar con una aceleración mayor de 4 m/s2 y en
consecuencia la fuerza de inercia, que siempre es igual y de sentido contrario, superará a la
fuerza de rozamiento y la caja deslizará y terminará empotrándose en la cabina.
Un coche describe una trayectoria circular de 100 m de radio.
a) Calcular su velocidad, si un objeto que pende del techo forma un ángulo de 30º con la vertical.
b) ¿Cuál debe ser el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el asfalto para que describa
esa curva sin salirse?.
a) Desde el punto de vista de un observador no inercial, la masa está sometida a tres fuerzas
que deben equilibrarse: el peso, la tensión de la cuerda y la fuerza centrífuga.
Elegiremos dos sistemas de referencia distintos para que veas que el SR no tiene ninguna influencia en
el resultado final. En ambos casos estarán en el objeto, pero en un caso el SR tendrá uno de los ejes en la
dirección de la cuerda y en el otro SR tendrá la dirección del peso.
De la figura del SR1 se deduce:
De la figura del SR2 se deduce:
eje x → Fc cos 30 = mg sen 30
eje y → T = mg cos 30 + Fc sen 30
eje x → T sen 30 = Fc
eje y → T cos 30 = mg
v2
m cos 30 = mg sen 30
R
v = Rg tg30 = 100 ⋅ 10 ⋅ tg30 = 24 m ⋅ s −1
dividiendo: tg30 =
Fc mv 2 / R
=
mg
mg
v = Rg tg30 = 100 ⋅ 10 ⋅ tg30 = 24 m ⋅ s −1
b) Puesto que no hay peralte, la única fuerza que se opone a la centrífuga es la de rozamiento:
Fc = FRoz
→
m
v2
= mg µ
R
v2
24 2
µ=
=
= 0,52
Rg 100 ⋅ 10
Por tanto, el coeficiente de rozamiento “mínimo” debe se de 0,52
Encontrar las expresiones de la máxima y mínima velocidad a la que un coche puede entrar en
una curva de radio R, que tiene un peralte α y un coeficiente de rozamiento µ entre las ruedas
del coche y el plano.
Por encima de la velocidad máxima el coche se saldría de su trayectoria, por tanto es la que se
calcularía con una fuerza de rozamiento hacia abajo. Por debajo de la velocidad mínima el coche
tiende a caerse, por tanto la fuerza de rozamiento apuntaría hacia arriba
Cuando la velocidad es máxima:
A lo largo del eje X la resultante debe ser nula para que no se salga, por tanto:
Fc cos α = mg senα + FRoz
2
v
v2
m cos α = mg senα + (mg cos α + m senα) ⋅ µ
R
R
2
v
senα + µ cos α
(cos α − µ senα) = g (senα + µ cos α) → v max = Rg
R
cos α − µ senα
La velocidad mínima es la que debe evitar que resbale hacia abajo y por tanto se obtiene
senα − µ cos α
dibujando la FRoz arriba. Debes obtener la expresión: v mín = Rg
cos α + µ senα
Fíjate que ambas expresiones serían iguales en el caso de no existir rozamiento, resultando:
Si µ = 0 → v max = Rg tgα
En una televisión, un electrón es lanzado horizontalmente por el tubo de rayos catódicos con una
velocidad de 106 m/s. Durante un tramo de 5 cm actúa sobre él un campo eléctrico vertical hacia arriba
que ejerce una fuerza dirigida verticalmente hacia abajo de 1,82.10 –17 N. Calcular la desviación que
sufre el electrón respecto a la horizontal a lo largo de ese tramo. (Puede despreciarse el peso del
electrón). me = 9’1.10–31 kg
Al entrar en la región de 5 cm, donde existe el campo eléctrico, sobre el electrón hay dos fuerzas:
el peso (aunque sea despreciable) y la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico. La aceleración
debida a la fuerza eléctrica, de acuerdo con la segunda ley de Newton es:
Fc.e. = me.ac.e.
→
ac.e. =
Fc.e. 1,82 ⋅10 −17 N
=
= 2 ⋅1013 m / s 2
−31
m e 9'1.10 Kg
Como puedes imaginar, es más que razonable despreciar el peso del electrón ya que la aceleración
de la gravedad es insignificante frente a la aceleración provocada por el campo eléctrico.
El ejercicio es exactamente igual a un tiro de proyectiles. La velocidad resultante sobre el
electrón será la suma vectorial de su velocidad inicial (la que tiene cuando penetra en el campo
eléctrico), la velocidad debida a la gravedad (que vamos a despreciar) y la debida al campo
eléctrico:
r
r
r
v = 10 6 i − 2 ⋅ 1013 t j
r
r
r
r
r
r
r = ∫ v dt = ∫ (10 6 i − 2 ⋅ 1013 t j ) dt = 10 6 t i − 1013 t 2 j
X
Y
En el momento en que el electrón sale del campo eléctrico la coordenada X vale 0,05m, por tanto
el tiempo que tarda en atravesar esos 5 cm es:
x = 10 6 t = 0,05
→
t = 5 ⋅ 10 −8 seg
Una vez que sabemos el tiempo de vuelo, sustituyendo ese valor en la coordenada Y
obtendremos lo que se ha desviado de la horizontal:
y máx = −1013 t 2
t = 5⋅10 − 8 seg
= −0,025m = −2,5 cm
EJERCICIOS SEMIRESUELTOS Y CON SOLUCIONES
Un coche tiene colgado del techo un gato de plástico de 50gr. Si toma una curva de 100m de
radio con una velocidad de 20m/s, calcular el ángulo que se desplazará de la vertical.
De la figura del SR1 se deduce:
De la figura del SR2 se deduce:
eje x → Fc cos α = mg ⋅ senα
eje x → T senα = Fc
eje y → T cos α = mg
v2
cos α = mg ⋅ senα
R
20 2
v2
tgα =
⇒ α = arctg
= 21,8º
Rg
100 ⋅ 10
Fc mv 2 / R v 2
dividiendo: tgα =
=
=
mg
mg
Rg
m
α = arctg
20 2
= 21,8º
100 ⋅ 10