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Matemática
2° Medio
UNIDAD 5. Ángulos en la circunferencia
Relaciones métricas de la circunferencia
Teorema de Euclides
GUÍA N° 1
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Recordemos algunas definiciones básicas necesarias para cumplir con los
objetivos de esta unidad.
La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan
(es decir están a la misma distancia) de otro punto llamado centro.
La región interior de la circunferencia se denomina Círculo.
Circunferencia
Círculo
Centro
Elementos de la circunferencia:
Radio:
Cuerda:
Diámetro:
Tangente:
Secante:
Tangente
Cuerda
Trazo que une el centro con un punto de la circunferencia.
Trazo que une 2 puntos de la circunferencia.
Cuerda que pasa por el centro.
Recta que intersecta a la circunferencia en un punto.
Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.
Diámetro
Radio
Secante
Cuerda
ARCOS Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Los puntos F y T de la circunferencia determinan dos arcos de circunferencia:
el arco menor TF y el arco mayor FT.
Los arcos se leen y anotan en sentido contrario de los punteros de un reloj.
Los puntos F y T son llamados extremos de los arcos.
Se llama ángulo del centro o ángulo central a un ángulo cuyo vértice
está en el centro del círculo.
Un ángulo del centro determina dos arcos de circunferencia.
Se dice que el ángulo subtiende el arco.
En la figura, ∠ AOB es un ángulo del centro que subtiende
A
entre sus lados el arco AB.
F
T
O
α
r
B
D
Se llama ángulo inscrito a un ángulo cuyo vértice es un punto de la
circunferencia y cuyos lados son cuerdas.
En la figura, ∠ ACB es un ángulo inscrito que subtiende entre sus lados el
arco AB.
C
α
O
A
B
1
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Se llama ángulo semi-inscrito a un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y
cuyos lados son una cuerda y una tangente a la circunferencia.
En la figura, ∠ DCA y ∠ DCB son ángulos semi-inscritos que subtienden los arcos CA y CB
respectivamente.
ACTIVIDAD
D
1. En la circunferencia de centro O, AC es un diámetro:
1.a. Nombra cuatro ángulos inscritos.
1.b. Nombra los ángulos que subtienden al arco AB.
1.c. Nombra el o los ángulos inscritos que subtienden al arco DA.
1.d. ¿Es DEC un ángulo central? Justifica.
Medición de arcos
Una forma de medir un arco es considerar que el arco mide lo mismo que el
ángulo del centro que lo subtiende.
En la figura, la medida del arco de circunferencia BA es la medida del ángulo del
centro correspondiente es decir la medida del ángulo BOA.
C
E
O
A
B
O
B
A
ACTIVIDAD
1. Completa:
1.a. Un ángulo de centro de …………… subtiende un arco igual a un cuarto de circunferencia.
1.b. Un ángulo de centro de 180º subtiende un arco igual a …………. circunferencia.
1.c. Un ángulo de centro de …………… subtiende un arco igual a un octavo de circunferencia
2. Dado un arco ¿cuántos ángulos del centro subtienden dicho arco?
3. Dado un arco ¿cuántos ángulos inscritos subtienden dicho arco?
2
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 2
RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y LOS ARCOS
A continuación veremos la relación que existe entre la medida de un ángulo del centro y los
ángulos inscritos y seminscritos que subtienden un mismo arco.
ACTIVIDADES
1. En la figura, O es centro de la circunferencia:
1.a Une A con B.
1.b ¿Qué tipo de triángulo es AOB? ¿Por qué?
1.c Mide con un transportador los ángulos AOB y ADB
1.d ¿Qué relación existe entre los ángulos anteriores?
C
2. En la figura, O es centro de la circunferencia.
Sin ayuda de tu transportador, ¿podrías determinar cuánto mide ∠ AOB?
30º
A
40º
O
B
3. En la figura, O es centro de la circunferencia:
3.a ¿Es OE ≅ OF? ¿por qué?
3.b ¿Qué puedes decir de los ángulos OEF y OFE?
3.c ¿Qué relación puedes encontrar entre los ángulos anteriores
y el ángulo EOG?
O
G
F
E
Como lo habrás comprobado en la actividad anterior estamos en condiciones de enunciar el
siguiente teorema
Teorema
α
O
La medida de un ángulo del centro es el doble de la medida del ángulo inscrito
que subtiende el mismo arco. En la figura α =
β
β
2
3
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1.
En las figuras, O es centro de la circunferencia. En cada una calcula el ángulo pedido.
A
1.1
D
50
º
1.2
O
x
x
x
1.3
O
x
C
30
º
B
C
2.
En la figura, O centro de la circunferencia y AB diámetro.
1.a ¿Cuánto mide el ángulo ∠ACB? ¿Por qué?
1.b Enuncia tu conclusión como un teorema
O
A
B
x
3.
¿Qué puedes decir de todos los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco? Enuncia
tu conclusión como un teorema.
4.
¿Puede un ángulo central medir más de 180º? ¿Y un ángulo inscrito?
D
5.
¿Existen en el dibujo un par de ángulos inscritos que sean suplementarios?
Si existen nómbralos.
C
E
O
A
6.
7.
El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O
D
6.1 Si el ángulo BCD mide 65º ¿cuánto mide el ángulo BAD?
¿Qué relación existe entre estos ángulos?
6.2 Si el ángulo BAD mide 120º ¿cuánto mide el ángulo BCD?
¿Qué relación existe entre estos ángulos?
6.3 Podrías establecer una relación entre los ángulos opuestos de
A
un cuadrilátero inscrito en una circunferencia? Comenta con tus compañeros.
B
C
O
B
Dos diámetros de una circunferencia la cortan en cuatro puntos A, B, C y D. ¿Qué tipo de
cuadrilátero ABCD se forma?
4
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Para las siguientes actividades aplica el siguiente teorema.
Teorema
La tangente a la circunferencia en un punto F es perpendicular al radio OF
G
O
F
ACTIVIDADES
1.
O
En la figura, TA es tangente a la circunferencia.
Si α = 50º ¿Cuánto mide el ángulo ATB?
α
T
2.
3.
B
En la figura anterior, con TA es tangente a la circunferencia,
si ahora ∠ATB= 35º, ¿cuánto mide el ángulo α?
A
¿Qué relación puedes establecer entre los ángulos del centro y semi-inscrito que
subtienden el mismo arco?
Teorema
La medida de un ángulo del centro es el doble de la medida del
O
β
β
ángulo semi-inscrito que subtiende el mismo arco . En la figura α =
2
α
ACTIVIDADES
1.
En las figuras, BT son tangentes y O centro de circunferencia. Hallar el valor de los
ángulos pedidos.
B
1.1
B
O
x
x
40
º
T
x
1.2
O
x
C
50
º
A
2.
En la
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
T
figura:
Llamemos α al ∠ BAC. ¿Cuánto mide el arco BC?
¿Cuánto mide el arco CB?
¿Cuánto mide el ∠ BDC?
¿Qué relación existe entre los ángulos BAC y BDC?
¿cuánto mide el ∠PDB?
A
A
B
P
x
D
C
5
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
1.6
3.
C
¿Qué relación existe entre los ángulos BAC y PDB?
En la figura, ¿cuál es la medida de ∠ADB, si el arco BC es
un sexto de la circunferencia?
D
x
B
A
ANGULOS INTERIORES Y ANGULOS EXTERIORES EN UNA CIRCUNFERENCIA
Se llama ángulo interior de una circunferencia a aquel que tiene su vértice en el interior de la
circunferencia.
La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los ángulos del centro que
subtienden los arcos correspondientes.
∠AED =
arcoBC + arcoDA
2
ACTIVIDAD
Demostraremos juntos esta propiedad
1. Unamos A con B.
2. Llamemos α al ángulo DBA y β al ángulo CAB
3. ¿Cuánto mide el arco DA?
4. ¿cuánto mide el arco BC?
5. ¿Cuánto mide el ángulo AED?
6.
Ahora calcula
arcoBC + arcoDA
2
6
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Se llama ángulo exterior a una circunferencia a todo ángulo cuyo vértice es punto exterior y
sus lados son secantes o tangentes a la circunferencia.
La medida de un ángulo interior es igual a la semidiferencia de los ángulos del centro que
subtienden los arcos correspondientes.
A
∠APC =
B
arcoCA − arco BD
2
P
x
D
C
ACTIVIDAD
Demostraremos juntos esta propiedad
1. Unamos A con D y B con C.
2. Llamemos α al ángulo DAB y β al ángulo CBA
3. ¿Cuánto mide el arco CA?
4. ¿cuánto mide el arco BD?
5. ¿Cuánto miden los ángulos ADC y APC?
6. Ahora calcula
arco CA − arco BD
2
ACTIVIDADES
A
1.
B
β
Si ∠AOC =80º y ∠BOD = 30º ¿Cuál será la medida de β?
D
C
C
2.
Si ∠BOA =60º y ∠COD = 70º ¿Cuál será la medida de β?
B
β
D
A
3.
¿Cuánto mide el ángulo exterior AEB en la circunferencia de centro O de la figura?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
4.
PA y PB son dos secantes a la circunferencia de centro O de la figura. ¿Cuánto mide el
ángulo del centro COD?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 3
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
A continuación veremos como al trazar cuerdas, secantes y tangentes, en una circunferencia,
podemos obtener triángulos semejantes y establecer de esta forma, segmentos proporcionales.
ACTIVIDADES
Dibujaremos una circunferencia y dos cuerdas AB y CD que se corten en un punto P.
Unimos A con C y B con D. Obtenemos así dos triángulos ∆CPA y ∆PBD
¿Qué puedes decir de los triángulos? ¿Son semejantes?
Busca ángulos congruentes en los triángulos.
Completa:
Por criterio ………∆CPA∼∆………..Por lo tanto podemos deducir:
CP
B
C
P
D
A
=
PD
Usando la propiedad fundamental de las proporciones, escribimos CP · PD = PA · BP. Es decir:
Teorema
Los segmentos de dos cuerdas que se intersectan en el interior de una circunferencia son
inversamente proporcionales , es decir CP · PD = PA · BP
Ahora:
1. Dibuja una circunferencia y un punto P fuera de ella.
2. Traza por P dos secantes a la circunferencia y nombra los puntos de intersección.
3. Une los puntos de tal forma que puedas determinar triángulos y verificar como lo hiciste
anteriormente, si son semejantes.
4. Escribe un enunciado con las proporciones que obtuviste.
Esperamos que obtengas algo como esto:
B
A
PA · PB = PC · PD
P
D
C
9
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Teorema
Dos secantes trazadas desde un punto fuera de una circunferencia son inversamente
proporcionales a sus segmentos externos. Es decir PA · PB=PC · PD
De la misma forma podemos llegar a un tercer teorema que establece:
Teorema
Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una secante y una tangente, entonces
la tangente al cuadrado es igual al producto entre la secante y su segmento exterior.
PA · PB = PC2
C
P
B
A
C
ACTIVIDADES
B
P
1. Resuelve basándote en la figura siguiente:
a) AP = 3 cm, PB = 4 cm, CP = 6 cm, PD =?
b) PC ≅ PD, AP = 8 cm, AB = 10 cm, PD =?
A
D
2. Resuelve basándote en la figura siguiente:
A
B
a) PA = 6 cm, AB = 2 cm, PC = 8 cm, CD =?
b) PA = 20 m., PC = 16 m., CD = 6 m., BP =?
P
D
C
T
3. Resuelve basándote en la figura siguiente:
a) PT = 5 cm, BP = 2·AB, AP =?
b) PB = 6 cm, AB = 2 cm, PT =?
P
B
A
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 4
TEOREMA DE EUCLIDES
Recordemos que en un triángulo ABC rectángulo en C , llamamos catetos a los lados que
forman el ángulo recto (b y a) e hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto (c). La altura h del
triángulo rectángulo determina dos segmentos p y q que llamaremos proyecciones de los
catetos a y b sobre la hipotenusa, respectivamente.
¿Qué tipo de triángulos son los triángulos ADC y DBC? ¿Son semejantes al triángulo ABC?
¿Recuerdas qué necesitamos para demostrar que dos triángulos son semejantes?
Analicemos primero los triángulos CBD y ABC.
Completa:
1. ∠CDB ≅ ∠…….., porque ambos ángulos miden …………
2. ∠CBD ≅ ∠…….., porque son ángulos comunes en ambos triángulos.
3. Por criterio………., ∆ABC ∼ ∆CBD
Luego puedes establecer la proporción:
.... a
AB .....
=
=
. Sustituyendo tenemos:
a ....
..... BD
Por la propiedad fundamental de las proporciones tenemos: a2 = p · c.
ACTIVIDADES
1.
2.
Demuestra que los triángulos ABC y ADC son semejantes.
¿Serán los triángulos ADC y BDC semejantes?
11
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Teoremas de Euclides
En todo triángulo rectángulo la medida de cada cateto al cuadrado es igual al producto de la
hipotenusa y su proyección sobre ésta.
En todo triángulo rectángulo la altura es igual al producto entre las proyecciones que
determinan los catetos sobre la hipotenusa.
ACTIVIDADES
1. El triángulo RST es rectángulo en T.
1.1 ¿Cuántos triángulos rectángulos observas en la figura?
1.2. Determina si es cierto que:
1.2.a. UE2=ES·ET
1.2.b. UT2=ES·ET
1.2.c. TU2=RU·US
1.2.d. US2=ES·ST
T
E
F
R
S
U
2. Dado el triángulo de la figura, calcula el trazo pedido
2.1 AD = 3,6 cm, BD = 6,4 cm, AC =?
2.2 BD = 3,2 m., AB = 5 m., BC =?
2.3 AD = 2 cm, BD = 4 cm, CD =?
2.4 AD = 16 cm, AB = 52 cm, CD =?
3. En un triángulo rectángulo, las proyecciones sobre la hipotenusa miden 3 cm y 2 cm.
Determina:
3.1 El perímetro del triángulo.
3.2 El área del triángulo.
4. Dibuja un triángulo rectángulo isósceles.
4.1 Como son las proyecciones de los catetos.
4.2 ¿Qué relación existe entre las proyecciones y la hipotenusa?
4.3 Aplica el teorema de Euclides y escribe las proporciones.
R
5. El ∆PQR es recto en R, RE es altura, PQ = 26 cm y PR = 10 cm.
Determina la razón entre las áreas de los triángulos PER, REQ y PRQ.
P
E
Q
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
6. Los catetos de un triángulo rectángulo son 6 y 8 cm:
6.1 Calcula la altura correspondiente a la hipotenusa.
6.2 Calcula la hipotenusa.
6.3 Calcula el producto de los catetos.
6.4 Existe alguna relación entre la altura y los catetos e hipotenusa. Comenta con tus
compañeros, analicen el problema para otros triángulos rectángulos, verifiquen su conjetura
y traten de demostrar la relación que encontraron.
7. Dado el triángulo de la figura completa:
7.1 a2=p·____
7.2 b2=q·____
7.3 a2+b2=______
7.4 a2+b2= c·( __+__)
7.5 a2+b2= ____
7.6 ¿Qué Teorema acabas de demostrar?
8. Como recordamos en el ejercicio anterior el Teorema de Pitágoras establece que en un
triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa.
¿Existirá un triángulo en el que la suma de los cuadrados de dos de sus lados sea igual al
cuadrado del otro lado y no ser triángulo rectángulo?
Recíproco del Teorema de Pitágoras: Si en un triángulo se tiene que la suma de los
cuadrados de dos lados es igual al cuadrado del tercero entonces el triángulo es rectángulo.
Consideremos un triángulo ABC en el que se satisface a2+b2= c2. Dibujamos un triángulo
adyacente DCA recto en C tal que DC =a.
A
D
c
b
a
C
a
B
Como el triángulo DCA es rectángulo en C podemos aplicar Pitágoras y tenemos también
a2+b2= c2
¿Cómo son AD y AB? ¿Cómo son los triángulos DCA y CBA? ¿Qué podemos decir de los ángulos
DCA y ACB?
Finalmente ¿Qué tipo de triángulo es ABC?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO