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APARTADO 1.4
TERCER GRADO
SUBTEMA : RECTAS Y ANGULOS
Ángulo central:
Dibuja una circunferencia de centro O.
Traza dos semirrectas que partan de O: por ejemplo, OA y OB.
OA y OB son radios.
El ángulo AOB se llama ángulo central.
Angulo
central
Arco
central
Ángulo central es el ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la
circunferencia.
El arco AB corresponde al ángulo central se llama arco central.
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TERCER GRADO
SUBTEMA : RECTAS Y ANGULOS
Relación entre ángulos centrales y arcos centrales
Sobre una circunferencia, dibuja un ángulo central, por ejemplo, AOB.
Con un compás construye otro ángulo central igual: por ejemplo: COD.
Si el arco AB es igual al arco CD, entonces,
AOB=COD, y al revés.
Dos ángulos centrales son iguales si lo son los arcos correspondientes,
Si se divide una circunferencia en
cuatro partes iguales, cada ángulo
central vale 90º
360 º
 90º
4
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SUBTEMA : RECTAS Y ANGULOS
Ángulos centrales y arco: medida
En la primera figura, el ángulo completo se ha dividido en 360º partes iguales.
Cada una de estas partes iguales, por definición, es 1 grado (1º).
En la segunda figura, la circunferencia se ha dividido también en 360 partes
iguales.
¿Qué relación existe entre estas divisiones?
Según hemos visto en la diapositiva anterior, en una circunferencia, a arcos
iguales les corresponden ángulos centrales iguales, y recíprocamente. Por
tanto, cada parte de la circunferencia se llama también grado.
La medida del arco correspondiente al ángulo de 1º es un 1º de arco.
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TERCER GRADO
SUBTEMA : RECTAS Y ANGULOS
Ángulos inscritos
Sea la circunferencia de centro O, y en ella un punto A. Con vértice en A,
trazamos dos semirrectas secantes o tangentes. Se tienen los siguientes casos:
Los dos lados del
ángulo son secantes
Un lado del ángulo es
secante y el otro
tangente
Los dos lados del
ángulo son tangentes.
Es un ángulo llano.
Estos ángulos se llaman inscritos. El arco que abarcan los lados es BC
Ángulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vértice en la
circunferencia y sus lados son secantes o tangentes.
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SUBTEMA : RECTAS Y ANGULOS
Ángulos inscritos. Ejercicio resuelto
El ángulo central BOC mide 60º. ¿Cuánto medirá el ángulo inscrito BAC?
El ángulo BOA mide 120º, por ser suplementario de BOC = 60º.
El triángulo ABO es isosceles, por tener dos lados iguales: los radios.
Por lo tanto, los ángulos de la base son iguales y miden 30º. El ángulo
inscrito BAC mide 30º.
Son
iguales
El ángulo inscrito, BAC, mide la mitad del ángulo central, BOC, que abarca el
mismo arco BC:
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TERCER GRADO
SUBTEMA : RECTAS Y ANGULOS
El ángulo inscrito BAC mide aº. ¿Cuánto medirá el
ángulo central BOC y, por tanto, el arco que
abarca?
El triangulo ABO es isósceles, por tener dos lados
iguales: los radios (OA = OB).
Por tanto, los ángulos del triángulo miden aº , aº y
180º - 2aº.
El ángulo BOC = 2aº, por ser suplementario de BOA
Esta propiedad se cumple para cualquier ángulo inscrito
Esta propiedad se cumple para cualquier ángulo inscrito
La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca
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TERCER GRADO
SUBTEMA : RECTAS Y ANGULOS
Para trazar perpendiculares, utiliza el ángulo
inscrito
Dibuja una circunferencia de centro O y en
ella un diámetro BC.
Construye un ángulo inscrito cualquiera cuyos
lados pasen por los extremos del diámetro.
Como el arco que abarca mide 180º, el ángulo
inscrito mide la mitad, 90º
Este resultado permite resolver el siguiente problema:
Dada una recta y en ella un punto, trazar por ese
punto otra recta perpendicular a la dada.
Los pasos a seguir son:
Datos la recta r y en ella un punto A
Con centro en O, exterior a la recta, se traza una
circunferencia de radio OA que corta a la recta en B.
Se traza el diámetro de extremo B el otro extremo es
el punto C.
Se traza finalmente la recta CA
La recta CA es la perpendicular buscada