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Álgebra y Geometría Analítica
Prof. Gisela Saslavsky
NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción: El conjunto de números complejos, C, puede verse como una ampliación del conjunto de los
números reales que permite resolver ecuaciones del tipo
. Para ello necesitamos números cuyos
cuadrados sean negativos, así que vamos a definir el número i, llamado unidad imaginaria, cuyo cuadrado vale -1
(
). Entonces, y aceptando que las leyes de las operaciones definidas para números
reales siguen valiendo, tenemos:
Luego, los números complejos 2i y -2i son soluciones de la ecuación
Todo número real es un número complejo y, para los números reales, su suma y producto como números
complejos son iguales a su suma y producto como números reales.
Todo número complejo se puede escribir en forma única como el binomio a + b i, con a y b números reales. El
número real a se llama parte real del número complejo y el número real b se llama parte imaginaria.
Las siguientes propiedades de las operaciones aritméticas en C son válidas:
Suma y producto en forma binómica:
Conjugado y módulo:
El conjugado del número complejo
es el número complejo
y su módulo o valor absoluto es el número real no negativo
Propiedades:
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El inverso del número complejo
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es
. O sea
Cociente en forma binómica:
Ejemplo. Dados z1  2  3i y z2  1  2i , hallar (a) z2 y (b)
z1
.
z2
(a) Como z2  1  2i entonces z2  1  2i
(b) Para hallar
z1
, sin tener que memorizar la fórmula, multiplicamos y dividimos por el conjugado z2 .
z2
z1
2  3i
2  3i 1  2i (2  3i)(1  2i)




z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i)( 1  2i)

2  4i  3i  6i 2 8  i
8 1

  i
2
2
5
5 5
(1)  (2)
Raíces complejas de la ecuación real de segundo grado
Si el discriminante de la ecuación ax2  bx  c  0 (a, b y c números reales) es negativo, puede sustituirse el signo
negativo por i 2 y de esa forma obtener las raíces complejas de la ecuación.
Ejemplo. Resolver la ecuación x2  2 x  6  0 .
Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:
x
(2)  (2) 2  4(1)(6) 2  4  24 2  20


2(1)
2
2
El discriminante es 20 , que puede escribirse como 20i 2 . Por lo tanto:
x
2  20 2  20i 2 2  2 5 i


 1 5 i
2
2
2
Así, las raíces complejas de la ecuación son: x1 1  5 i y x2  1  5 i .
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Todo número complejo puede escribirse en forma trigonométrica.
. Se denota comúnmente por
o
.
Para hallar el argumento principal observamos que el número complejo puede representarse como un punto del
plano, en un sistema de coordenadas cartesianas, con su parte real en el eje horizontal y su parte imaginaria en
el eje vertical. Entonces,
Ejemplo: Hallar la forma trigonométrica de z  1  i .

 1 

4
 1 
ϴref  tan 1 
Hallemos r  (1)2  (1)2  2 y
Notar que z está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto,
:
Para realizar operaciones de suma resulta conveniente manejar la forma binómica del complejo, para
operaciones de producto y cociente puede ser más fácil trabajar en forma trigonométrica, usando que, siendo
o
o
Potencia y radicación de números complejos en forma trigonométrica:
o
Sea
.
La potencia enésima de α es
o
El n mero omplejo α tiene n raí e ené ima distintas, que se calculan según la fórmula:
o
con z  1  i .
Ejemplo: Hallar
í
o
y
Comprobar que