Download números complejos

Álgebra y Geometría Analítica
Prof. Gisela Saslavsky
NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción: El conjunto de números complejos, C, puede verse como una ampliación del conjunto de los
números reales que permite resolver ecuaciones del tipo 𝑥 2 + 4 = 0. Para ello necesitamos números cuyos
cuadrados sean negativos, así que vamos a definir el número i, llamado unidad imaginaria, cuyo cuadrado vale -1
( ∃ 𝑖 ∈ ∁ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑖 2 = −1). Entonces, y aceptando que las leyes de las operaciones definidas para números
reales siguen valiendo, tenemos:
(2𝑖)2 = 4𝑖 2 = 4(−1) = −4,
(−2𝑖)2 = 4𝑖 2 = 4(−1) = −4
Luego, los números complejos 2i y -2i son soluciones de la ecuación 𝑥 2 + 4 = 0
Todo número real es un número complejo y, para los números reales, su suma y producto como números
complejos son iguales a su suma y producto como números reales.
Todo número complejo se puede escribir en forma única como el binomio a + b i, con a y b números reales. El
número real a se llama parte real del número complejo y el número real b se llama parte imaginaria.
∝= 𝑎 + 𝑏𝑖,
𝑅𝑒(∝) = 𝑎,
𝐼𝑚(∝) = 𝑏
Las siguientes propiedades de las operaciones aritméticas en C son válidas:
𝑆𝑖 ∝, 𝛽 𝑦 𝛾 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
(𝛼 + 𝛽) + 𝛾 = 𝛼 + (𝛽 + 𝛾)
(𝛼𝛽)𝛾 = 𝛼(𝛽𝛾)
𝛼+𝛽 =𝛽+𝛼
∝ 𝛽 = 𝛽𝛼
(𝛼 + 𝛽)𝛾 = 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾
∝ (𝛽 + 𝛾) = 𝛼𝛽 + 𝛼𝛾
1. 𝛼 = 𝛼
0𝛼 = 0
∝ +(−1) ∝= 0
Suma y producto en forma binómica:
∝= 𝑎 + 𝑏𝑖,
𝛽 = 𝑐 + 𝑑𝑖
𝛼 + 𝛽 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
𝛼𝛽 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
Conjugado y módulo:
̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖
El conjugado del número complejo ∝= 𝑎 + 𝑏𝑖 es el número complejo ∝
y su módulo o valor absoluto es el número real no negativo |∝| = 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2
Propiedades:
Álgebra y Geometría Analítica
|𝛼| ≥ 0,
̅ = |∝|2
∝∝
|𝛼| = 0 ↔ 𝛼 = 0,
|𝛼𝛽| = |𝛼||𝛽|
𝛼̿ = 𝛼
Prof. Gisela Saslavsky
̅̅̅̅
𝛼𝛽 = 𝛼̅𝛽̅
̅̅̅̅̅̅̅
𝛼 + 𝛽 = 𝛼̅ + 𝛽̅
|𝛼 + 𝛽| ≤ |𝛼| + |𝛽|
El inverso del número complejo ∝, ∝≠ 0 es ∝−1 =
∝= 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎
1
∝
̅
∝
= |∝|2 . O sea
(−𝑏)𝑖
∝−1 = 𝑎2 +𝑏2 + 𝑎2 +𝑏2
𝛼
Cociente en forma binómica: 𝛼, 𝛽 ∈ ∁, 𝛽 ≠ 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 ∝: 𝛽 = 𝛽 = 𝛼𝛽 −1
Ejemplo. Dados z1  2  3i y z2  1  2i , hallar (a) z 2 y (b)
z1
.
z2
(a) Como z2  1  2i entonces z2  1  2i
(b) Para hallar
z1
, sin tener que memorizar la fórmula, multiplicamos y dividimos por el conjugado z 2 .
z2
z1
2  3i
2  3i 1  2i (2  3i)( 1  2i)




z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i )(1  2i )

2  4i  3i  6i 2 8  i
8 1

  i
2
2
5
5 5
(1)  (2)
Raíces complejas de la ecuación real de segundo grado
Si el discriminante de la ecuación ax2  bx  c  0 (a, b y c números reales) es negativo, puede sustituirse el signo
negativo por i 2 y de esa forma obtener las raíces complejas de la ecuación.
Ejemplo. Resolver la ecuación x2  2x  6  0 .
Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:
x
(2)  (2) 2  4(1)(6) 2  4  24 2  20


2(1)
2
2
El discriminante es 20 , que puede escribirse como 20 i 2 . Por lo tanto:
x
2  20 2  20i 2 2  2 5 i


 1 5 i
2
2
2
Así, las raíces complejas de la ecuación son: x1 1  5 i y x2  1  5 i .
Todo número complejo puede escribirse en forma trigonométrica. ∝= |∝|(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃),
0 ≤ 𝜃 < 2𝜋,
𝜃 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝐴𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝛼 . Se denota comúnmente por ∝= |∝|𝒄𝒊𝒔(𝜽), 𝒐 ∝= 𝒓𝒄𝒊𝒔(𝜽).
Álgebra y Geometría Analítica
Prof. Gisela Saslavsky
Para hallar el argumento principal observamos que el número complejo puede representarse como un punto del
plano, en un sistema de coordenadas cartesianas, con su parte real en el eje horizontal y su parte imaginaria en
el eje vertical. Entonces,
𝑡𝑔 𝜃 =
𝑏
𝑎
𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0,
𝑆𝑖 𝑎 = 0, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∝= 𝑏𝑖, 𝜃 = 90º 𝑠𝑖 𝑏 > 0, 𝜃 = 270º 𝑠𝑖 𝑏 < 0
Ejemplo: Hallar la forma trigonométrica de z  1  i .
Hallemos r  (1)2  (1)2  2 y

 1 

4
 1 
ϴref  tan 1 
𝜋
Notar que z está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, 𝜃 = − 4 + 2𝜋:
7
7
7
𝑧 = 1 − 𝑖 = √2 (𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋) = √2 𝑐𝑖𝑠( 𝜋)
4
4
4
Para realizar operaciones de suma resulta conveniente manejar la forma binómica del complejo, para
operaciones de producto y cociente puede ser más fácil trabajar en forma trigonométrica, usando que, siendo
∝= |𝛼|(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃), 𝛽 = |𝛽|(𝑐𝑜𝑠𝜗 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜗) 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
𝛼 |𝛼|
𝛼𝛽 = |∝||𝛽|(cos(𝜃 + 𝜗) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝜗))
=
(cos(𝜃 − 𝜗) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜗)) , 𝛽 ≠ 0
𝛽 |𝛽|
Potencia y radicación de números complejos en forma trigonométrica:
Sea ∝= |∝|(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃).
La potencia enésima de α es
∝𝑛 = |∝|𝑛 (cos(𝑛𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)), 𝑛 ∈ 𝑍
𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒 𝑀𝑜𝑖𝑣𝑟𝑒
El número complejo α tiene n raíces enésimas distintas, que se calculan según la fórmula:
𝑛
𝑛
𝜃+𝑘 360º
)+
𝑛
√∝ = 𝑤𝑘 = √|∝| (cos (
𝜃+𝑘 360º
)) ,
𝑛
𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
𝑘 = 0,1, . . , 𝑛 − 1
Ejemplo: Hallar √𝑧 con z  1  i .
7
𝐴𝑞𝑢í 𝑛 = 2, |𝑧| = √2 𝑦 𝜃 = 𝜋 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑦𝑎 ℎ𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜.
4
7
𝜋 + 2𝑘𝜋
7
√
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋 + 2𝑘𝜋)) 𝑘 = 0, 1
√1 − 𝑖 = √2 (cos 4
2
4
4
7
4
15
𝑤0 = √2 𝑐𝑖𝑠 ( 𝜋) y 𝑤1 = √2 𝑐𝑖𝑠 ( 𝜋) . Comprobar que 𝑤0 2 = 𝑤1 2 = 1 − 𝑖
8
8