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Probabilidad y Estadística Transformación de una variable aleatoria SEMANA 11. CLASE 15. MARTES 24/05/16 1. Transformación de una variable aleatoria 1.1. X e Y = H(X) son variables aleatorias discretas 1.1.1. CASO 1. H(X) es una función inyectiva Ejemplo ilustrativo 1. Sea X una variable aleatoria uniforme discreta para x = 1, 2,3, 4 . Sea Y una función de la variable X, Y = H(X) = 2X + 3 . Halle la función de densidad de Y. SOLUCIÓN. La función de densidad de X será 1 x = 1, 2, 3, 4 fX (x) = 4 0 otro caso La función H es una función monótona creciente, por lo que a los valores {1, 2, 3, 4} les corresponden los valores {5, 7, 9,11} , respectivamente. La función de densidad de Y será 1 y = 5, 7, 9,11 fY (y) = 4 otro caso 0 Ejemplo ilustrativo 2. Sea X una variable aleatoria binomial con n = 4 y p = 0.4 . Sea Y una función de la variable X tal que Y = H(X) = X2 . Halle la función de densidad de Y. SOLUCIÓN. La función de densidad de X viene dada por 4 x 4−x (0.4) (0.6) fX (x) = x 0 x = 0,1, 2,3, 4 otro caso La función H no es una función inyectiva para todo x, pero en el intervalo donde se define la variable X si lo es. Ya que H se comporta como una función monótona creciente, entonces a los valores {0,1, 2, 3, 4} le corresponden como imágenes los valores {0,1, 4, 9,16} , respectivamente. La función de densidad de Y será 4 y 4− (0.4) (0.6) fY (y) = y 0 y y = 0,1, 4, 9,16 otro caso 1.1.2. CASO 2. H(X) no es una función inyectiva Ejemplo ilustrativo 3. Sea X una variable aleatoria uniforme discreta para x = −2, −1, 0,1, 2 . Sea Y una función de la variable X tal que Y = H(X) = X2 . Halle la función de densidad de Y. SOLUCIÓN. La función de densidad de X será 1 x = −2, −1, 0,1, 2 fX (x) = 5 otro caso 0 La función H no es una función inyectiva. La función de densidad de Y será José Luis Quintero 1 Probabilidad y Estadística Transformación de una variable aleatoria 1 y=0 1 y=0 5 1 1 5 y =1 5 + 5 2 fY (y) = = 5 y = 1, 4 y=4 15 + 15 0 otro caso otro caso 0 1.2. X es continua e Y = H(X) es discreta Ejemplo ilustrativo 4. Sea X una variable aleatoria uniforme continua para x ∈ (−2, 2) . Sea Y una función de la variable X tal que −1 si x ∈ (−2, −1) Y = H(X) = 0 si x ∈ (−1, 0) 1 si x ∈ (0,2) Halle la función de densidad de Y. SOLUCIÓN. La función de densidad de X será 1 x ∈ (−2, 2) fX (x) = 4 0 otro caso La función de densidad de Y será −1 1 dx y = −1 4 1 y = −1 −2 0 4 1 1 y=0 dx y=0 fY (y) = −1 4 = 4 1 y =1 2 2 1 dx y = 1 0 otro caso 0 4 0 otro caso ∫ ∫ ∫ 1.3. X e Y = H(X) son variables aleatorias continuas 1.3.1. CASO 1. H(X) es una fución inyectiva TEOREMA. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad fX (x) > 0 para a < x < b e igual a cero en otro caso. Suponga que Y = H(X) es una función continua, derivable y estrictamente monótona (creciente o decreciente) para toda x. La función de densidad de Y viene dada por f (H−1(y)) dx H(a) < y < H(b) dy fy (y) = X 0 otro caso Ejemplo ilustrativo 5. Sea X una variable aleatoria con función de densidad dada por 6x(1 − x) 0 < x < 1 fX (x) = . 0 otro caso Determine la función de densidad de la variable aleatoria Y = X3 . SOLUCIÓN. La función Y = g(X) = X3 es continua, derivable y monotona creciente para toda x. Por lo tanto x = g−1(y) = 3 y = y1/3 ⇒ dx 1 −2 /3 = y dy 3 Aplicando el Teorema se tiene que José Luis Quintero 2 Probabilidad y Estadística Transformación de una variable aleatoria 63 y(1 − 3 y). 1 33 y2 fY (y) = 0 0< y <1 2y −1/3 (1 − y1/3 ) 0 < y < 1 = 0 otro caso otro caso 2(y −1/3 − 1) 0 < y < 1 = 0 otro caso Ejemplo ilustrativo 6. Sea X una variable aleatoria con función de densidad normal de parámetros µ y σ dada por fX (x) = 1 x −µ 2 − 1( ) 2 σ , ∀x ∈R. σ 2π Determine la función de densidad de la variable aleatoria Z = (X − µ) / σ . e SOLUCIÓN. La función Z = (X − µ) / σ es continua, derivable y monotona creciente para toda x. Por lo tanto x = g−1(z) = σz + µ ⇒ dx =σ dz Aplicando el Teorema se tiene que fZ (z) = 1 2π e − 1 z2 2 , ∀z ∈R . Por lo tanto Z es una variable aleatoria con función de densidad normal de parámetros µ = 0 y σ = 1 1.3.2. CASO 2. H(X) no es una función inyectiva Ejemplo ilustrativo 7. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad fX (x) . Si Y = X , demuestre que y>0 f (y) + fX (−y) fY (y) = X . 0 otro caso SOLUCIÓN. Se tiene que FY (y) = 0 si y ≤ 0 . Por otra parte FY (y) = P {Y ≤ y} = P { X ≤ y} = P {−y ≤ X ≤ y} = P {X ≤ y} − P {X ≤ −y} = FX (y) − FX (−y), y > 0 Diferenciando FY (y) respecto a y, se obtiene que fY (y) = d FY (y) dy = fX (y) + fX (−y), y > 0 Por lo tanto y>0 f (y) + fX (−y) fY (y) = X 0 otro caso □ José Luis Quintero 3