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Probabilidad y Estadística
Transformación de una variable aleatoria
SEMANA 11. CLASE 15. MARTES 24/05/16
1. Transformación de una variable aleatoria
1.1. X e Y = H(X) son variables aleatorias discretas
1.1.1. CASO 1. H(X) es una función inyectiva
Ejemplo ilustrativo 1.
Sea X una variable aleatoria uniforme discreta para x = 1, 2,3, 4 . Sea Y una
función de la variable X, Y = H(X) = 2X + 3 . Halle la función de densidad de Y.
SOLUCIÓN.
La función de densidad de X será
 1 x = 1, 2, 3, 4
fX (x) =  4
0 otro caso
La función H es una función monótona creciente, por lo que a los valores
{1, 2, 3, 4} les corresponden los valores {5, 7, 9,11} , respectivamente. La función
de densidad de Y será
 1 y = 5, 7, 9,11
fY (y) =  4
otro caso
0
Ejemplo ilustrativo 2.
Sea X una variable aleatoria binomial con n = 4 y p = 0.4 . Sea Y una función de
la variable X tal que Y = H(X) = X2 . Halle la función de densidad de Y.
SOLUCIÓN.
La función de densidad de X viene dada por
 4 
x
4−x
  (0.4) (0.6)
fX (x) =  x 

0

x = 0,1, 2,3, 4
otro caso
La función H no es una función inyectiva para todo x, pero en el intervalo donde
se define la variable X si lo es. Ya que H se comporta como una función monótona
creciente, entonces a los valores {0,1, 2, 3, 4} le corresponden como imágenes los
valores {0,1, 4, 9,16} , respectivamente. La función de densidad de Y será
 4 
y
4−

 (0.4) (0.6)
fY (y) =  y 

0

y
y = 0,1, 4, 9,16
otro caso
1.1.2. CASO 2. H(X) no es una función inyectiva
Ejemplo ilustrativo 3.
Sea X una variable aleatoria uniforme discreta para x = −2, −1, 0,1, 2 . Sea Y una
función de la variable X tal que Y = H(X) = X2 . Halle la función de densidad de Y.
SOLUCIÓN.
La función de densidad de X será
 1 x = −2, −1, 0,1, 2
fX (x) =  5
otro caso
0
La función H no es una función inyectiva. La función de densidad de Y será
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1
Probabilidad y Estadística
Transformación de una variable aleatoria
 1
y=0
1
y=0
 5
1
1
 5
y =1
5 + 5
2
fY (y) = 
= 5
y = 1, 4
y=4
 15 + 15


0 otro caso
otro caso
 0
1.2. X es continua e Y = H(X) es discreta
Ejemplo ilustrativo 4.
Sea X una variable aleatoria uniforme continua para x ∈ (−2, 2) . Sea Y una función de la
variable X tal que
−1 si x ∈ (−2, −1)

Y = H(X) =  0 si x ∈ (−1, 0)
1
si x ∈ (0,2)

Halle la función de densidad de Y.
SOLUCIÓN.
La función de densidad de X será
1
x ∈ (−2, 2)

fX (x) =  4
0 otro caso
La función de densidad de Y será
 −1 1
dx
y = −1

4
1
y = −1
 −2
0
4

1
1
y=0

dx
y=0

fY (y) =  −1 4
= 4
1
y =1
 2
2
1


dx
y
=
1
0 otro caso
 0 4

0
otro caso

∫
∫
∫
1.3. X e Y = H(X) son variables aleatorias continuas
1.3.1. CASO 1. H(X) es una fución inyectiva
TEOREMA.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad fX (x) > 0 para
a < x < b e igual a cero en otro caso. Suponga que Y = H(X) es una función
continua, derivable y estrictamente monótona (creciente o decreciente) para toda
x. La función de densidad de Y viene dada por
f (H−1(y)) dx H(a) < y < H(b)
dy
fy (y) =  X

0
otro caso
Ejemplo ilustrativo 5.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad dada por
6x(1 − x) 0 < x < 1
fX (x) = 
.
0
otro caso

Determine la función de densidad de la variable aleatoria Y = X3 .
SOLUCIÓN. La función Y = g(X) = X3 es continua, derivable y monotona creciente
para toda x. Por lo tanto
x = g−1(y) =
3
y = y1/3 ⇒
dx 1 −2 /3
= y
dy 3
Aplicando el Teorema se tiene que
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Transformación de una variable aleatoria
63 y(1 − 3 y). 1

33 y2
fY (y) = 

0
0< y <1
2y −1/3 (1 − y1/3 ) 0 < y < 1
=
0
otro caso
otro caso 
2(y −1/3 − 1) 0 < y < 1
=
0
otro caso

Ejemplo ilustrativo 6.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad normal de parámetros µ y
σ dada por
fX (x) =
1
x −µ 2
− 1(
)
2 σ
, ∀x
∈R.
σ 2π
Determine la función de densidad de la variable aleatoria Z = (X − µ) / σ .
e
SOLUCIÓN.
La función Z = (X − µ) / σ es continua, derivable y monotona creciente para toda
x. Por lo tanto
x = g−1(z) = σz + µ ⇒
dx
=σ
dz
Aplicando el Teorema se tiene que
fZ (z) =
1
2π
e
− 1 z2
2 , ∀z
∈R .
Por lo tanto Z es una variable aleatoria con función de densidad normal de
parámetros µ = 0 y σ = 1
1.3.2. CASO 2. H(X) no es una función inyectiva
Ejemplo ilustrativo 7.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad fX (x) . Si Y = X ,
demuestre que
y>0
f (y) + fX (−y)
fY (y) =  X
.
0
otro
caso

SOLUCIÓN.
Se tiene que FY (y) = 0 si y ≤ 0 . Por otra parte
FY (y) = P {Y ≤ y} = P { X ≤ y} = P {−y ≤ X ≤ y}
= P {X ≤ y} − P {X ≤ −y} = FX (y) − FX (−y), y > 0
Diferenciando FY (y) respecto a y, se obtiene que
fY (y) =
d FY (y)
dy
= fX (y) + fX (−y), y > 0
Por lo tanto
y>0
f (y) + fX (−y)
fY (y) =  X
0
otro caso

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