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Tema 11: Geometría
Contenidos: Rectas y planos en el espacio
Nivel: 4° Medio
Geometría del espacio
1. Geometría del espacio
La geometría del espacio o Estereometría estudia los cuerpos y figuras cuyos
elementos geométricos no están en un mismo plano.
1.1 Teoremas y propiedades relativos a rectas en el espacio
Dos rectas en el espacio pueden ser paralelas, alabeadas o secantes.
1. Rectas paralelas
Dos rectas paralelas siempre están contenidas en un mismo plano.
2. Rectas alabeadas
Dos rectas alabeadas no se interceptan, no son paralelas y no existe un plano
que las contenga.
Se encuentran en planos paralelos, pero las rectas no son paralelas.
3. Rectas secantes
Dos rectas secantes son siempre coplanares (están en un mismo plano) y se
intersectan en un punto.
1.2 Teoremas y propiedades relativos a planos en el espacio
Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o secantes.
1. Planos paralelos
Dos planos paralelos no tienen puntos en común. La distancia entre ellos es
constante. En los objetos que nos rodean, se pueden determinar planos
paralelos; por ejemplo, el cielo de una casa y el suelo son planos paralelos.
Hoy en día, la creatividad y el arte nos presentan diversidad de ángulos
diedros y ángulos poliedros que armonizan en el mundo de la arquitectura
moderna. Los edificios no siempre forman ángulos diedros que son rectos. Las
estructuras artísticas en metal y madera son realizadas en una armonía que
quiebra las estructuras recto-rectangulares.
Si deseas visualizar más imágenes de aplicación, visita:
www.udc.es/dep/dtcon/.../04-PRG1/04-PRG1.htm
2. Planos secantes
Dos planos secantes se interceptan en una línea recta. El ángulo que forman se
denomina ángulo diedro
Un ángulo formado por varios ángulos diedro y que tienen un mismo vértice y
dos a dos un arista común se denomina ángulo poliedro.
Cada vértice de un cuerpo geométrico es ángulo diedro.
3. Planos y rectas perpendiculares
Dos rectas perpendiculares que pertenecen a un mismo plano, siempre son
secantes, y se interceptan formando ángulos rectos en un plano.
1.3 Recta perpendicular a un plano
Una recta es perpendicular a un plano si todas las rectas del plano que pasan
por el punto de intersección de la recta con el plano son perpendiculares a ella.
En la figura, todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección
de L con el plano son perpendiculares a L.
Ejemplo:
Podemos calcular el trazo BP aplicando el Teorema de Pitágoras.
Desde P hasta el vértice continuo de B se obtiene la misma medida de BP,
puesto que P es punto medio;
(BP)2 + (BP)2 = 42
Luego:
2 (BP)2 = 16 Î BP =
, es decir BP =
Ahora, aplicamos nuevamente el Teorema de Pitágoras en el triángulo APB
para calcular la medida del trazo AB.
(BP)2 + (AP)2 = (AB)2
1.4 Planos perpendiculares
Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene una recta
perpendicular al otro plano. Los planos forman un ángulo diedro de 90º.
Ejemplo:
¿Cuántos ángulos diedros se pueden contar en un cubo? ¿Cuántos ángulo
poliedro hay en el mismo cubo?
Cada arista es intersección de dos planos, por tanto tiene 12
ángulos diedros. Cada vértice del cubo genera un ángulo
poliedro, por tanto el cubo tiene 8 ángulos poliedros.
Observa a tu alrededor y verás planos, rectas, cuerpos redondos que se
interceptan o no se interceptan, paralelos, perpendiculares o secantes.
Sitios sugeridos
Ejercicios de planos y rectas:
http://www.educarchile.cl/medios/171220049558.doc
Sólidos geométricos en el espacio:
http://www.santamaria.edu.pe/webareas/matematica/Gali/Web
s/Presentaci%C3%B3n8.ppt
http://www.sectormatemaica.cl/ppt/poliedros.ppt