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Material de R e f e r e n c i a
Centro de Investigación e Innovación en Educación y TIC
Universidad de Santiago de Chile
Septiembre 2014
I.S.B.N.:
4º edición: Septiembre 2 014
©2006 por Centro Comenius
Universidad de Santiago de Chile
Editado por CIIET; Universidad de Santiago de Chile
Las Sophoras 175, Edificio CITECAMP, Estación Central.
Teléfono: 2 718 47 52
Geometría.cl: Aprender geometría creando soluciones.
Curso interactivo para profesores de Enseñanza Básica.
“Geometría.cl: Aprender Geometría Creando Soluciones”, es un curso en la modalidad a distancia para
la actualización docente, con cobertura nacional y financiado por el Ministerio de Educación de Chile a
través del Centro de Perfeccionamiento, Experimentación e Investigaciones Pedagógicas (CPEIP), desarrollado
por COMENIUS e impartido por el Centro de Investigación e Innovación en Educación y TIC de la Universidad
de Santiago de Chile. El curso ha tenido como foco a docentes de enseñanza b ás i ca , apunta a los
contenidos de geometría de esos niveles, se inserta en el marco de la reforma curricular, e incorpora
recursos digitales en las actividades de aprendizaje.
El desarrollo e implementación de la experiencia contempló entre otros: el diseño pedagógico del curso;
el diseño e implementación del curso en la plataforma Moodle; generación de diversos recursos de apoyo
a los contenidos; la aplicación de un Pre y Post Test además de evaluaciones online. La metodología de
trabajo situó al docente en el centro del aprendizaje, como un aprendiz que define en forma autónoma
su camino de aprendizaje. En este contexto el docente construye su conocimiento a través de la interacción
con: los materiales, el tutor y los compañeros.
Geometría.cl - básica fue aplicado el 2004 y 2005 para más de 1400 docentes. La experiencia obtuvo un
alto grado de retención 83%, nivel de aprobación 95%, un 25% de ganancia entre el pre y post test.
Además la valoración de parte de los participantes de la plataforma, el rol del tutor, los contenidos,
metodología y recursos, el acompañamiento del equipo pedagógico.
Equipo desarrollo y revisión de Contenidos
Fidel Oteiza
Manuel Galaz
Claudia Matus
Hernán Miranda
Gustavo Rodríguez
Osvaldo Baeza
Mauricio Moya
Lucrecia Zamorano
Jorge Maibé
Guido Montecinos
Adrián Silva
Sandra Leiva
María Isabel Escobar
Alicia Venegas
Evelyn Herrera
Macarena Escalante
Michael Yañez
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Índice
UNIDAD 1
“Formas Geométricas en el plano”
Figuras geométricas por todas partes
El proyecto griego
Términos primitivos y los primeros pasos
Punto
Recta
Plano
Definición 1: Rectas paralelas
Definición 2: Trazo
Definición 3: Rayo
Definición 4: Distancia entre dos puntos
Definición 5. Trazos o segmentos congruentes
¿Qué significa medir?
Definición 6: Circunferencia
Definición 7. Ángulo
Definición 8. Ángulos congruentes
Definición 9. Ángulo nulo
Definición 10. Ángulo completo
Definición 11. Ángulo extendido
Definición 12. Ángulo recto
Definición 13. Ángulo agudo
Definición 14. Ángulo obtuso
La clasificación de los objetos geométricos
Definición 15. Bisectriz de un ángulo
Definición 16. Ángulos complementarios
Definición 17. Ángulos suplementarios
Definición 18. Ángulos consecutivos
Definición 19. Ángulos adyacentes
Definición 20. Rectas perpendiculares
Definición 21. Simetral
Definición 22. Ángulos opuestos por el vértice
Teorema 1
Definición 23. Ángulos alternos
Definición 24. Ángulos internos y externos
Definición 25. Ángulos alternos internos
Definición 26. Ángulos alternos externos
Definición 27. Ángulos correspondientes
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geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
Índice
Teorema 2
Teorema 3
Teorema 4
Definición 28. Triángulo.
Definición 29. Ángulos interiores de un triángulo.
Definición 30. Altura de un triángulo.
Definición 31. Triángulo equilátero
Definición 32. Triángulo isósceles
Definición 33. Triángulo escaleno
Definición 34. Triángulo rectángulo
Construcción de triángulos
Desigualdad triangular
La noción de teorema, hipótesis y tesis
Teorema 5
Definición 35. Ángulo exterior de un triángulo
Teorema 6
Acerca del 5º postulado de Euclides
Definición 36. Polígono
Definición 37. Polígono convexo
Definición 38. Perímetro de un polígono
Definición 39. Polígono regular
Definición 40. Lados adyacentes
Definición 41. Lados opuestos
Definición 42. Ángulos interiores
Definición 43. Ángulos adyacentes
Definición 44. Ángulos opuestos
Definición 45. Paralelogramo
Definición 46. Rectángulo
Definición 47. Cuadrado
Definición 48. Rombo
Definición 49. Trapecio
Teorema 7
Área de una figura plana cerrada
Definición 50. Región poligonal
Definición 51. Unidad de área
Definición 52. Área de un rectángulo
Definición 53. Figuras equivalentes
Teorema 8: El teorema de Pitágoras
Perímetro de la circunferencia, área de un círculo, el número π
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Índice
UNIDAD 2
“Formas Geométricas en el espacio”
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Los actores geométricos del espacio
Midió la Tierra con una vara
Los actores geométricos del espacio
Definición 1. Poliedro.
Definición 2. Prismas
Definición 3. Paralelepípedo
Definición 4. Cubo
Definición 5. Pirámides
Definición 6. Cuerpos redondos
Definición 7. Cilindro recto
Definición 8. Cono recto
Definición 9. Esfera
Elementos básicos de un cuerpo
Redes planas de poliedros y cuerpos redondos
Áreas, volúmenes y aplicaciones de la geometría en el espacio.
Definición 10. Área de una superficie
Definición 11. Apotema
¿A qué llamamos volumen?
¡Comencemos con las fórmulas!
Principio de Cavalieri
La geometría sagrada: Los poliedros regulares
Sólidos Platónicos
El modelo de Kepler del sistema solar
Definición 12. Ángulo diedro
Definición 13. Ángulo poliedro
Definición 14. Poliedros regulares o platónicos
Definición 15. Tetraedro
Definición 16. Cubo o hexaedro
Definición 17. Octaedro
Definición 18. Dodecaedro
Definición 19. Icosaedro
Construyendo los sólidos platónicos
La regla de Euler
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UNIDAD 3
“Transformaciones en el plano”
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Composición de dos reflexiones en ejes concurrentes
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geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
Índice
La geometría de las ambulancias, del espejo y la naturaleza
Preparando el terreno: Plano cartesiano, coordenadas y vectores
Definición 1. Vector
Definición 2. Componentes de un vector
Definición 3. Vectores equipolentes
Definición 4. Vectores opuestos
Definición 5. Vector nulo
Suma de vectores
Transformaciones en el plano
Definición 6. Transformación isométrica o isometría.
Definición 7.Traslación.
Definición 8.Vector guía o de traslación.
Definición 9. Rotación.
Definición 10. Reflexión.
Definición 11. Simetría axial.
Definición 12. Simetría Central.
Definición 13. Simetría rotacional.
Definición 14. Movimiento directo.
Definición 15. Movimiento inverso.
Definición 16. Composición de isometrías.
Definición 17.Composición de traslaciones.
Definición 18.Composición de rotaciones.
Definición 19.Composición de reflexiones.
Definición 20. Mosaico, embaldosado o teselación
Definición 21. Teselación regular.
Definición 22. Teselación semirregular.
Teselaciones con transformaciones isométricas
Arte matemático y teselaciones
Arquitectura y diseño con historia: mosaicos de la Alhambra
Congruencia de figuras planas
Definición 23. Figuras planas congruentes.
Definición 24. Triángulos congruentes.
Criterios de congruencia de triángulos
Criterio LAL (lado -ángulo - lado).
Criterio ALA (ángulo - lado - ángulo).
Criterio LLL (lado - lado - lado).
Teoremas que en su demostración requieren el concepto de congruencia
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Presentación
Este Material de Referencia fue construido con la finalidad de apoyar, desde lo formal, los
contenidos geométricos que se abordarán en el curso “Geometría.cl: Aprender geometría
creando soluciones. Curso interactivo para profesores de Enseñanza Básica”.
El texto está compuesto de tres Unidades:
Unidad 1: Formas Geométricas en el plano
1.
Punto, recta, plano; segmento. Rectas paralelas y rectas perpendiculares. Simetral de un
trazo, trazos congruentes.
2.
Ángulo: concepto, tipos de ángulos, medida y congruencia de ángulos; bisectriz de un
ángulo. Propiedades de los ángulos opuestos por el vértice, de los ángulos que se forman
al intersectarse dos rectas paralelas por una tercera recta.
3.
Triángulos: desigualdad triangular, tipos de triángulos. Propiedad de la suma de los ángulos
interiores y de los ángulos exteriores de un triángulo. Elementos secundarios: altura,
bisectriz, simetral, transversal de gravedad; propiedades básicas. Construcción de triángulos
en situaciones simples, considerando como datos, sus lados, lados y ángulos y/o algún
elemento secundario. Área y perímetro de los triángulos. Teorema de Pitágoras.
4.
Cuadriláteros: tipos de cuadriláteros. Propiedad de la suma de los ángulos interiores de
un cuadrilátero. Elementos secundarios: altura, diagonales y medianas; propiedades básicas.
Área y perímetro de cuadrados, rectángulos, paralelogramos y cuadriláteros en general.
Propiedades de los paralelogramos en relación con la medida de los lados, paralelismo
de los lados opuestos, punto de intersección de las diagonales y ángulo en que se
intersectan.
5.
Polígonos en general: número de diagonales, suma de los ángulos interiores; polígonos
regulares.
6.
Circunferencia y círculo: Conceptos, Elementos secundarios: radio, cuerda, diámetro, recta
tangente, recta secante, arco, ángulos en la circunferencia.
Perímetro y área. Número. En triángulos y cuadriláteros, circunferencia inscrita y circunscrita.
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
Presentación
La Unidad se concentra en los conocimientos necesarios acerca de figuras planas, supone la
“invitación a los principales actores” de la geometría e introduce la noción y entrega experiencia,
con demostraciones simples. Los contenidos que aborda son los siguientes:
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UNIDAD 2: Formas Geométricas en el espacio
La Unidad se centra en figuras en el espacio, con un acento especial en la construcción de
los cuerpos que se estudia. Los contenidos que abordan en esta unidad son:
Presentación
1. Concepto y características de cubo, prismas rectos en general, pirámides y cuerpos
redondos (cilindro, cono y esfera).
2.
Poliedros regulares.
3.
Volumen y área de prismas, pirámides, cilindros, conos y esfera.
4.
Representaciones planas de cuerpos geométricos (redes y proyección Cavalieri).
5.
Resolución de problemas relacionados con cuerpos geométricos.
UNIDAD 3: Transformaciones en el plano
Esta unidad es eminentemente gráfica y de construcción. Se entrega de manera formal
definiciones alusivas a transformaciones isométricas en el plano (Traslación, Rotación y Reflexión) y
congruencia de figuras planas. Los contenidos que abordan en esta unidad son:
1.
Isometrías en el plano: conceptos de reflexión, rotación, traslación de figuras geométricas.
Teselaciones en el plano. Isometrías en un sistema de coordenadas cartesianas.
2.
Composiciones Isométricas.
3.
Congruencia figuras geométricas planas. Criterios de Congruencias de triángulos.
La permanente consulta a este texto potenciará el trabajo de las actividades de cada una de
las unidades del curso.
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CIIET U de Santiago
Unidad 1 :
For mas G e o m é t r i c a s
en el P la n o
Fidel Oteiza
Manuel Galaz
Jorge Maibé
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
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Figuras geométricas por todas partes
El proyecto griego
La geometría tiene antecedentes muy antiguos. En el Papiro Rhind, descubierto en la tumba
de Ramsés II, a fines del siglo XIX, se expone una larga lista de problemas de matemática. Es
el tratado de matemática más antiguo que se conoce, ¡1000 años antes de Tales de Mileto!
Por ejemplo, el problema 50 aborda el perímetro de la circunferencia y propone 3,16 como
una aproximación al número  (3,141531...). Y, su autor, Amhés, dice que recopila estos
problemas de otros papiros aún más antiguos. Pero fueron los griegos los que se propusieron
hacer de la geometría una estructura de conocimiento.
Hasta entonces, los conocimientos geométricos fueron desarrollados para resolver problemas
prácticos. Para la construcción, la navegación, o del gobierno. En Grecia, en el Siglo IV antes
de Cristo, se formularon las primeras proposiciones generales, no para un caso o un objeto,
sino que para toda una clase de entes abstractos. “La suma de los ángulos interiores de un
triángulo equivale a un ángulo extendido”, es una afirmación “para todos” los triángulos.
CIIET U de Santiago
¿Con qué contaban para demostrar?, ¿Cómo comenzar el proceso? Para definir un concepto
se requiere de otros, para armar un argumento, se requiere de algo seguro que le anteceda.
Ese proceso no puede llevarse al infinito. En algún punto “se sale de la mesa”. Euclides trazó
el camino y lo puso en práctica.
La idea, en sí, es simple. Comenzar con un conjunto, tan reducido como posible, de términos
primitivos 1, de conceptos que no se definen y luego usar esos términos para definir los
siguientes. En la actualidad se acostumbra aceptar las ideas de punto, recta y plano, como
primitivos, sin definir, para luego definir conceptos como trazo, rayo, ángulo, triángulo. El
proyecto desarrollado por Euclides, introduce las nociones de postulado y teorema. Los
postulados (aunque en la actualidad se utiliza la palabra axioma) son relaciones entre objetos
de la geometría que se aceptan como punto de partida, sin demostración. Un ejemplo es:
“por dos puntos diferentes pasa una y sólo una recta”2. Los teoremas son proposiciones que
establecen relaciones entre los objetos geométricos que pueden deducirse de los postulados.
“La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos”, es un teorema.
Se puede establecer una relación con un juego y sus reglas. El ajedrez tiene piezas y un tablero,
tal como la geometría tiene puntos, rectas, planos y otros objetos. Para jugar, se establecen
“reglas del juego” que son, en esta analogía, los postulados de la geometría. Una jugada
particular será válida si se ajusta a las reglas. Una proposición acerca de objetos geométricos
será aceptada como verdadera si se ajusta a los postulados. Para que las reglas de un juego
sean efectivas, se pide, además, que sean tan pocas como sea posible, que normen todas las
jugadas posibles y que no exista contradicciones al aplicarlas simultáneamente. En geometría,
también, se aplica algo similar, que los postulados sean los mínimos, que cubran todas las
situaciones posibles y que no generen situaciones contradictorias.
Otro aspecto de la tradición griega se refiere a la construcción de figuras. Aquí también
adoptaron una postura minimalista. “Toda construcción geométrica debe ser hecha con sólo
regla y compás”. La regla3 para generar la representación de rectas y el compás, para hacer
lo propio con circunferencias.
En síntesis, el proyecto griego se propuso definir los conceptos de la geometría, aceptar como
punto de partida un conjunto de postulados y luego proceder a demostrar las proposiciones
que establezcan relaciones entre los objetos de la geometría. Estos últimos son los teoremas.
Adicionalmente, para hacer geometría en el papel, se limitaron a la regla y al compás.
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
En ese proyecto los matemáticos griegos se dieron cuenta que era necesario “demostrar” las
proposiciones. Esto es, dar razones explícitas acerca de la veracidad de lo que afirmaban y
hacerlo de modo que estas razones pasasen el examen de otros matemáticos. Se valieron de
los desarrollo de la lógica - Aristóteles dejó el camino abierto - y se propusieron montar el
conocimiento matemático en bases firmes y tan simples como sea posible.
1 Estrictamente la noción de término primitivo se introdujo siglos más tarde, Euclides dio definiciones
- cuestionables - a los conceptos de punto, recta y plano. Ver www.euclides.org, observe que en el
sitio le dan la posibilidad de elegir el idioma.
2 Primer Postulado de Euclides.
3 Los griegos no utilizaban la regla para medir, como en la actualidad, sino que solo para ayudarse a
dibujar líneas rectas.
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Términos primitivos y los primeros pasos
Para comenzar, punto, recta y plano. Se aceptan como términos primitivos, no se los define,
sólo se describe la idea.
Punto. Euclides dice que “es lo que no tiene partes”. También se lo puede pensar como una
ubicación sin ancho, largo ni grosor: sin dimensión. Podemos pensar lo que es común a una
estrella lejana, a la punta de un alfiler, a la traza, en un papel, de la punta de un lápiz. En todo
caso, es una idea, un ente de razón que sólo existe en la mente del que lo piensa. Se los
suele denotar con letras mayúsculas, tales como A, B, C, etc.
Recta. Euclides comienza con línea: “una longitud sin anchura”. Para nosotros es la abstracción
de lo que nuestros sentidos nos muestran al percibir una línea de tren, o al tocar, con la yema
de los dedos, el borde de un vidrio o una regla. Podemos imaginar lo que hay entre una estrella
y nuestro ojo, el rayo de luz. También se agrega la idea de “no tener fin”, la recta se prolonga
indefinidamente en dos sentidos, “sin cambiar de dirección”. Se suele denotar una recta
con la letra L (por línea), o bien por dos puntos ubicados en ella, ejemplo la recta AB y se
denota AB .
B
A
Plano. En este caso Euclides habla de “superficie”, y dice: “es aquello que sólo tiene longitud
y anchura”. Nuevamente, nuestra experiencia nos apoya. Los vidrios de algunas vitrinas, la
superficie de una mesa, la superficie del agua quieta en un recipiente, son soportes para
abstraer e imaginar un plano. Tal como en la recta, el plano no tiene límites en sus dos
dimensiones. Se suele denotar por una letra griega o por tres puntos no coliniales ubicados
en el, ejemplo plano PQR.
P
Q
Inmediatamente con estas definiciones, tenemos, al igual que Euclides, nuestro primer Postulado:
Postulado (Primer Postulado de Euclides). Por dos puntos pasa una y sólo una recta.
A
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R
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B
A partir de esas nociones, nos proponemos, ahora, introducir otros objetos de la geometría
y comenzar a analizar sus relaciones. Más adelante, nos detendremos en las demostraciones.
Considere dos o más rectas en un plano. Estas pueden ser coincidentes, interceptarse o ser
paralelas, según si coinciden totalmente, si se cortan teniendo un (único) punto en común o
si no tienen ningún punto en común.
Rectas que se interceptan son dos rectas con un punto en común.
Definición 1. Rectas paralelas. Son aquellas rectas que estando en el mismo plano, no
tienen puntos en común 4.
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Ahora, los primeros “actores invitados”
4 Recordemos que una línea recta no tiene principio ni final.
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Definición 2. Trazo, dados dos puntos A y B en una recta5, se llama trazo o segmento AB,
a los puntos A, B y todos los puntos de la recta que están entre A y B. Los puntos A y B se
denominan los puntos extremos del trazo AB.
Notación: Para designar al trazo que une a los puntos A y B usaremos AB .
Definición 3. Rayo, dados dos puntos A y B en una recta, se llama rayo al punto A y a todos
los de la recta al mismo lado en que está B respecto de A. También diremos que el punto A
es el extremo del rayo AB.
Longitud de un trazo
Si decimos que un trazo mide 5 cm, estamos afirmando que la unidad elegida, el centímetro,
está contenida en el trazo 5 veces.
Definición 4. Distancia entre dos puntos. Llamaremos distancia entre dos puntos a la
longitud del trazo que los une, o equivalentemente, a la medida del trazo que tiene a estos
dos puntos como puntos extremos.
5 De acuerdo al Primer Postulado, siempre existe una recta (y solo una) que contiene a los puntos A y B.
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CIIET U de Santiago
Observación: Para referirnos a la medida del trazo AB usaremos m AB. Para designar
la longitud de un trazo es frecuente utilizar letras minúsculas, por ejemplo, la longitud de
y
son
AB se escribirá m AB a. Así, podemos también decir que dos segmentos AB MN
congruentes ( AB MN ) sí y sólo si tienen la misma longitud.
Reflexiones sobre la Medida
¿Qué significa medir?, ¿Cómo se determina la
longitud de un trazo?, ¿Cómo se comparan
dos terrenos?, ¿Qué significa que un cuerpo
tenga 20 cm3? ¿Qué significa que la medida
de un ángulo sea el doble de la medida de
otro? La noción de medida ha generado una
gran cantidad de pensamiento y de debate
entre los matemáticos. La búsqueda de una
respuesta a alguna de las preguntas con que
comenzamos este párrafo, fue causa del
desarrollo de importantes avances en el
pensamiento matemático.
La noción intuitiva de medida y comparación es tan común y la utilizamos con tal espontaneidad
que nos puede pasar inadvertida. Desde pequeños sabemos cuándo un trozo de torta es
mayor que otro o determinamos cuándo debemos detenernos para que el vaso no se derrame
o determinamos mentalmente nuestra capacidad de compra comparando un precio con la
cantidad de dinero en nuestro bolsillo.
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Definición 5. Se llaman trazos o segmentos congruentes a los que tienen igual longitud.
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Medida
¿Qué es medir? “La medición es una de las nociones que la ciencia ha tomado del sentido
común”6 . En los ejemplos anteriores, el niño compara dos trozos de torta y sobre la base de
su experiencia determina cuál es el mayor. Antes de iniciar el traspaso de líquido desde la jarra
al vaso, sabemos cuál volumen es mayor. Con el dinero, podemos ser mucho más precisos,
tenemos una unidad de medida que nos permite hacer la comparación.
Para medir se debe poder hacer comparaciones. Para comparar elegimos una característica
común de los objetos que deseamos comparar. En efecto, al comparar dos mesas podemos
observar el material del que están hechas o podemos considerar sus alturas, o su largo o su
color. Los ejemplos nos permiten pensar en otra distinción, se puede hacer comparaciones
cualitativas - las mesas difieren en cuanto color, por ejemplo - o hacer comparaciones
cuantitativas - “este chocolate tiene un costo, en pesos, igual al doble del de ese pastel”.
Normalmente lo que hacemos es elegir una magnitud como unidad de medida y determinar
una escala.
Si se trata de medir una longitud, se selecciona una longitud y se la designa “unidad”. Las
reglas graduadas muestran un número de centímetros y algunas de milímetros. En el sistema
de medidas de base centesimal se usa el metro como una unidad de medida y se lo subdivide
en centímetros (una centésima de metro), milímetros (una décima de centímetro). También
se usa el kilómetro, que equivale a mil metros.
Si se trata de medir áreas, de medir el área de una superficie, se utiliza el área de una superficie
como unidad. Por ejemplo, en el sistema con base diez, se usa el m2, que es el área de un
cuadrado de 1 m de lado. Del mismo modo se puede usar el cm2, que corresponde al área
de un cuadrado de 1 cm de lado o 1 Km2, que equivale al área de un cuadrado de 1 Km. de
lado.
Para medir volúmenes se procede de un modo similar, se utiliza el volumen de un cuerpo
como unidad. Por ejemplo, en el sistema con base diez, se usa el m3, que es el volumen de
un cubo de 1 m de lado. Del mismo modo se puede usar el cm3, que corresponde al volumen
de un cubo de 1 cm de lado.
6 De Medida, (1970) National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), citando a N.R. Campbell, Measurement,
The World of Mathematics (1956), J.R.Newman, director. N.Y.: Simon & Schuster.
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La pregunta parece inocente. Eso es lo que hacemos al medir. Colocamos la regla graduada
o el “metro” carpintero, primero en la ventana y luego en el muro y concluimos: “la ventana
tiene una altura que es la mitad de la muralla”, por ejemplo.
Podemos expresar la pregunta en términos “más matemáticos”, o más operacionales diciendo:
Dados dos trazos, dos longitudes, (Lima dice dos “grandezas”), ¿Es siempre posible encontrar
un tercer trazo que esté contenido un número entero de veces en ambos?
Por ejemplo, la figura, muestra que la longitud de PQ , contiene 2 veces en AB y 4 veces
en CD , entonces, concluimos: la longitud de CD es el doble que la de AB . También
podemos decir: “la longitud de AB es a la longitud de CD , como 2 es a 4”.
¿Es siempre posible encontrar una “medida común” entre dos trazos?
Los pitagóricos, Siglo IV AC, se toparon con una excepción, no pudieron encontrar un
“común medida” entre el lado de un cuadrado y su diagonal. ¡Oh sorpresa!, ¡No existe
una medida que pueda estar contenida, en forma entera y simultáneamente, en el lado de
un cuadrado y en su diagonal! Y, ¡Esto es así para todos los cuadrados!
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
¿Es siempre posible comparar las longitudes de dos trazos?
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Buscando medir, llegamos a la comparación, para comparar buscamos una “común medida”,
un trazo que contenga en forma entera en ambos trazos. Cuando la respuesta es positiva,
se genera un cuociente de enteros. Esto es, la comparación entre las longitudes de trazos se
relaciona con los números racionales. Sin embargo, los pitagóricos se encontraron con raíz
de 2, un número irracional.
Reuniendo los números racionales y los irracionales, los matemáticos construyeron los
números reales. Una búsqueda que se inició el Siglo V antes de Cristo y que generó matemática
nueva hasta nuestros días.
En la práctica podemos seguir midiendo con una regla graduada, pero conviene saber que
detrás de ese proceso hay mucho más.
Una nota para los que deseen seguir por este sendero. En la Biblioteca puede encontrar
“Medida y forma en geometría, longitud, área, volumen y semejanza” de Elon Lages
Lima7. A mediado de los 80, la Sociedad de Matemática de Chile y la Universidad de Santiago
trajeron al país a este notable matemático brasilero. El CPEIP publicó este documento. En él
encontrará un tratamiento del tema de la medida muy iluminador. La notación y los argumentos
pueden sobrepasar los conocimientos de un docente de básica, pero puede ser interesante
y, además, usted puede seguir aprendiendo, y ya sabe que lo tiene disponible.
Definición 6. Circunferencia. Dado un punto O en el plano, y un trazo de longitud r, se
llama circunferencia con centro en O y radio r, a los puntos del plano que están a una distancia
r de O.
7 Lima, Elon Lages (1991). Medida y Forma en Geometría, longitud, área, volumen y semejanza. Santiago
- Chile: Centro de Perfeccionamiento y Experimentación Pedagógica.
20
CIIET U de Santiago
Definición 7. Ángulo. Figura geométrica compuesta por dos rayos distintos que salen de un
punto en común. Los rayos se denominan lados del ángulo y su origen vértice del mismo.
C
A
B
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Nota: El Tercer Postulado de Euclides dice: “Hay una sola circunferencia con un centro y un
radio dados”.
21
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
22
Notación: Si denotamos por A al vértice, y a los rayos que lo forman AB y AC , se
distinguen dos ángulos: el <BAC correspondiente al ángulo mayor y <CAB al ángulo menor.
<CAB
<BAC
Medida de un ángulo
De la misma manera que hicimos anteriormente para definir la longitud de un trazo, diremos
que para medir un ángulo se le compara con otro que se toma como unidad. El ángulo que
se utiliza como unidad se obtiene de dividir una circunferencia en 360 partes iguales y el
ángulo de un grado es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones
consecutivas. Esta unidad, en forma numérica, se anotará 1º y de forma análoga a sus múltiplos.
Para referirnos a la medida de un ángulo CBA utilizaremos m CBA . También se
utilizan las letras griegas minúsculas para referirse a los ángulos o a su medida. Por
ejemplo m CBA . Este doble uso de las letras griegas para referirse al ángulo o a su
medida, es pertinente siempre que en el contexto en que se emplean se entienda a cual de
los dos usos se está refiriendo.
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Definición 9. Ángulo nulo. Se llama ángulo nulo al ángulo de medida 0º.
Definición 10. Ángulo completo. Se llama ángulo completo al ángulo de medida 360º.
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Definición 8. Ángulos congruentes. Dos ángulos son congruentes si tienen la misma
medida.
23
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Definición 11. Ángulo extendido. Se llama ángulo extendido a un ángulo cuyos
lados pertenecen a una misma recta. A este ángulo le asignamos la medida de 180º
(180 grados) 8.
Definición 12. Ángulo recto. Se llama ángulo recto a un ángulo que mide 90º. Así,
dos ángulos rectos que tengan en común sólo un lado, forman un ángulo extendido.
De esta forma, hemos dividido un ángulo extendido en dos ángulos rectos, y lo mismo podemos
hacer con un ángulo recto, y dividirlo en dos ángulos de 45º. Así podemos dividir un ángulo
extendido en cuatro ángulos de 45º, que equivale a decir que un ángulo de 45º está contenido
4 veces en uno extendido.
Tal como para medir la longitud de trazos contamos con reglas, para medir ángulos contamos
con transportadores. Originalmente, los transportadores no se utilizaban para medir ángulos,
sino para “transportarlos” (trasladarlos) de un lugar a otro, pues estos no estaban graduados.
8 Hacer corresponder 180 al ángulo extendido, se corresponde con lo que los babilonios hicieron al usar ángulos
en sus estudios astronómicos. Ellos dividieron la circunferencia o “ángulo completo” en 360 partes iguales.
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Definición 14. Ángulo obtuso. Se llama ángulo obtuso a un ángulo cuya medida es mayor
a 90º y menor a 180º.
La clasificación de objetos geométricos
¿Por qué clasificar las figuras geométricas?
En ciencia clasificar es una de las primeras formas de conocimiento. Las clasificaciones sirven
para describir y luego, al determinar relaciones, permiten expresar la extensión de determinados
descubrimientos.
Los objetos geométricos son los “ladrillos” con los que se construye el conocimiento que
llamamos geometría. Para el que estudia esta materia, le es indispensable conocer esos actores.
Primero poder nombrarlos y reconocerlos, luego las clasificaciones le ayudarán a encontrar
o comprender las relaciones que existen entre los actores de la geometría.
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Definición 13. Ángulo agudo. Se llama ángulo agudo a un ángulo cuya medida es mayor
a 0º y menor a 90º.
25
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Un triángulo puede ser escaleno, isósceles, equilátero, acutángulo, rectángulo, obtusángulo,
entre otras clasificaciones posibles
Así, por ejemplo, la propiedad de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
igual a dos rectos (180º), es una afirmación que se demuestra válida para todos los triángulos.
La afirmación: “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo
es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos” (el teorema
de Pitágoras) es válida sólo para triángulos rectángulos.
Observe que al definir una clasificación es necesario fijar una característica a partir de la cual
se hace la clasificación. En efecto, se clasifican los triángulos en escalenos, isósceles y equiláteros,
atendiendo a la relación entre las longitudes de sus lados. Se los clasifica en acutángulos,
rectángulos u obtusángulos, según las características de sus ángulos interiores.
Puede ser interesante que sepa lo que significan algunas de esas palabras. Por ejemplo, ángulo
(de ankon) significa codo. (Guedj, 2001, p. 159) y Escaleno quiere decir “cojo”: ya que
isósceles de Iso, iguales y skelos, piernas, quiere decir ¡con dos piernas iguales! ... luego
un escaleno, es un triángulo cojo. (Guedj, 2001, p. 38).
Definición 15.
Bisectriz de un ángulo. Se llama bisectriz de
un ángulo al rayo que lo divide en dos ángulos
congruentes entre sí.
Definición 16.
Ángulos complementarios. Dos ángulos cuya
suma9 es equivalente con un ángulo recto, se
llaman complementarios. (+ = 90º). Es
decir, dos ángulos son complementarios cuando
sus medidas suman 90.
Definición 17.
Ángulos suplementarios. Dos ángulos cuya
suma es equivalente a un ángulo extendido se
llaman suplementarios. (+ = 180º). Es
decir, dos ángulos son suplementarios cuando
sus medidas suman 180.
9 Entendemos por suma de ángulos yuxtaponerlos uno a continuación del otro, dejando los vértices como uno
común.
26
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Definición 19.
Ángulos adyacentes. Dos ángulos que tienen
un lado común y los otros dos forman una
línea recta se denominan ángulos adyacentes.
Nota. Los ángulos adyacentes son suplementarios y son un caso particular de ángulos
consecutivos.
Definición 20. Rectas perpendiculares. Se llama rectas perpendiculares a dos rectas, que
al cortarse, forman cuatro ángulos rectos.
Definición 21. Simetral. Dado un trazo AB, se llama simetral (también mediatriz) a la recta
perpendicular a AB que contiene al punto medio de dicho trazo.
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Definición 18.
Ángulos consecutivos. Dos ángulos que
tienen un vértice en común y un lado común
se denominan ángulos consecutivos.
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28
Observación: El punto medio M, divide a AB, en dos trazos congruentes por lo que
AM MB . Si la longitud de AB es c, m AMa y m AMa , entonces c a b .
Ángulos opuestos por el vértice
La figura muestra dos rectas que se interceptan en el punto A. En la figura se pueden observar
cuatro ángulos: , , y .
Definición 22. Ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos  con  y  con
 se llaman ángulos opuestos por el vértice.
Teorema 1. Dadas dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son
congruentes.
Hipótesis. Los ángulos y son opuestos por el vértice.
Tesis. Los ángulos y , son congruentes.
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El ángulo  es el suplemento del ángulo , luego: . . . . . . . . . . . . . . . . .  180 º
(ángulos adyacentes)
El ángulo  es también el suplemento del ángulo , luego: . . . . . . . . . .   180 º
. (ángulos adyacentes)
Restando ambas relaciones se obtiene: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 º
O, lo que es lo mismo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Ángulos entre paralelas
Las definiciones y teoremas siguientes utilizan la siguiente figura:
Observe la figura anterior. Los ángulos que se forman entre las rectas L y L', y la recta S, que
las corta en un ángulo arbitrario. Llamaremos transversal o secante a la recta S. Sean L y
L' dos rectas paralelas y S una transversal que las intercepta.
Definición 23. Los ángulos que se encuentran a distintos lados de la recta S se llaman
alternos. En la figura anterior, por ejemplo los ángulos 1 y 7 son alternos.
Definición 24. Los ángulos que se encuentran entre las rectas L y L', se llaman internos. Los
ángulos 1, 4, 6 y 7, son internos. Los ángulos que no son internos se llaman externos. Los
ángulos 2, 3, 5 y 8 son externos.
Definición 25. Son ángulos alternos internos los ángulos 1 con 7 y 4 con 6.
Definición 26. Son ángulos alternos externos los ángulos 2 con 8 y 3 con 5.
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Demostración.
29
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30
Definición 27. Ángulos correspondientes son aquellos que se encuentran a un mismo lado
de la transversal y uno de ellos es externo y el otro interno. Son ángulos correspondientes el
1 con 5, el 2 con 6, el 3 con 7 y el 4 con 8. Una definición alternativa de ángulos correspondientes
es decir que son aquella pareja de ángulos que no son ambos internos (y por tanto no son
ambos externos) y están al mismo lado de la recta transversal.
Teorema 2. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, los ángulos correspondientes
son congruentes.
Si L // L' y S una recta transversal,
entonces
<
<
<
<
2
1
3
4
 <6
 <5
 <7
 <8
Teorema 3. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, los ángulos alternos internos
son congruentes.
Si L // L' y S una recta transversal,
entonces
< 1  <7
< 4  <6
Teorema 4. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes
son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Si <2  <8 y <3  <5
entonces L // L' y S es una recta
transversal
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Triángulos
Definición 28. Triángulo. Dados tres puntos que no pertenecen a una misma recta (tal trío
de puntos se denominan no colineales10), se llama triángulo a la figura formada por los tres
trazos que los unen.
Notación y convenciones. A los puntos que determinan un triángulo, se los llama vértices
y a los trazos que lo forman, se los llama lados del triángulo. Se acostumbra a designar los
vértices por letras mayúsculas: A, B, C y los lados pueden designarse como trazos en base a
los vértices que los determinan: AB, BC y CA o también lado a, lado b, lado c. De esta
manera, para referirnos al triángulo formado por estos tres trazos, hablamos del triángulo
ABC, o simplemente ΔABC.
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Nota: Estos teoremas se relacionan con el 5º Postulado de Euclides: “Si una recta secante
corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, y la suma de los cuales sea
menor a dos rectos, entonces las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el
mismo lado”.
10 Pues no comparten la misma línea. Por tanto, un trío de puntos que están en la misma recta, se dice que son
colineales.
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32
Definición 29. Ángulos interiores de un triángulo. A los ángulos CAB, ABC y BCA, se los
llama ángulos interiores del triángulo ABC.
Definición 30. Altura de un triángulo. Segmento de la perpendicular bajada desde el vértice
de un triángulo hasta su base o prolongación de su base, así como la longitud de este segmento
(Enciclopedia de las Matemáticas, 1993, Ed. MIR, p.190)11.
m CD h
Definición 31. Triangulo equilátero. Se llama triángulo equilátero al que tiene sus tres
lados congruentes12.
C
A
B
11 Se suele designar por h a las alturas del triángulo y, en oportunidades, se refiere a la magnitud del trazo, esto
es, se usa la expresión altura tanto para designar el trazo como la medida del mismo.
12
Equilátero (del latín): Equi, igual, y lateris, lados.
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C
A
B
Definición 33. Triángulo escaleno, se llama triángulo escaleno al que tiene sus tres lados
no congruentes (diferentes)14.
C
B
A
Definición 34. Triángulo rectángulo (hipotenusa y catetos). Se llama triángulo rectángulo
a un triángulo con un ángulo recto15. Los lados del ángulo recto se llaman catetos y el lado
que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa.
C
Cateto
Cateto
A
Hipotenusa
B
13 Isósceles (del griego): Iso, iguales, y skelos, piernas. ¡Un triángulo isósceles es un triángulo con dos piernas
iguales! (Guedj, 2001, p. 38)
14
En consecuencia, un escaleno, es un triángulo cojo (continuación de la cita anterior).
15 Notemos que hablamos de “un ángulo recto”. ¿Porqué no dos o más ángulos rectos? Porque esto contradice
el teorema 4 de la sección anterior.
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Definición 32. Triángulo isósceles. Se llama triángulo isósceles a un triángulo que tiene sólo
dos lados congruentes13.
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34
Construcción de triángulos
Al construir una figura geométrica, se comienza por un enunciado del tipo: construir ....,
dados ... Por ejemplo: construir un triángulo, dados sus tres lados.
Recomendaciones.
1. Comience por una figura de análisis, en la que se supone que la construcción está
realizada y resalte, marque en ella los elementos dados. En este caso, ésta sería una
figura de análisis:
C
B
A
2.
Establezca las relaciones que se observan entre los elementos dados y los que falta por
determinar. En nuestro caso, si comenzamos por un lado, el AB, por ejemplo, observamos
que el vértice C, opuesto, está a la distancia b de A y a la distancia a de B, lo que sugiere
el uso de un compás, con abertura b y centro en A y luego aplicar la misma idea en el
vértice B. “La circunferencia con centro A y radio b, es el lugar geométrico de todos los
puntos del plano que están a la distancia b del punto A”.
C
b
a
A
B
c
3. Establezca las medidas de los elementos dados. En nuestro caso, las magnitudes de tres
trazos, tal como en la figura.
b
a
c
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Si ha encontrado las relaciones (2), construya la figura usando instrumentos. En nuestro
caso, comenzamos por copiar el lado AB, la base del triángulo y trazamos la circunferencia
C (A, b)16 y la circunferencia C (B, a)17. El punto C, buscado para completar el triángulo
pedido, se encuentra en la intersección entre ambas circunferencias.
C
A
5.
B
A
B
Termine la construcción analizando lo hecho. De una parte, este es el momento en que
se pueden observar las condiciones que deben cumplir los datos para que la construcción
sea posible, el número de soluciones que existen y además, es un momento de aprendizaje
importante. Esta “mirada para atrás”, es una de las recomendaciones para aprender en
matemática (Polya, 1995). En este caso, ¿Qué condiciones deben cumplir los lados dados
para que el problema tenga solución? En los casos en que se puede construir, ¿cuántas
soluciones se obtienen? ¿Qué sucede si c = a + b?, ¿si c > a + b?, ¿si c < a + b?
Desigualdad triangular
La construcción anterior muestra que un lado de un triángulos es menor que la suma de los
otros dos. Para un triángulo ABC, cuyos lados son a, b y c, podemos escribir18:
C
c<a+b
b
a
a<b+c
b<a+c
A
c
B
Triángulo ABC
Tres formas de escribir la
“desigualdad triangular”
Si consideramos c = m(AB) como el “camino” que hay que recorrer para ir desde A hasta
B, podemos introducir la expresión “la recta es el camino más corto entre dos puntos”. Observe
que en este caso, “recta” se refiere al trazo que une los dos puntos.
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4.
16 Circunferencia con centro en el vértice A y radio el lado b, dado.
17 Del mismo modo, circunferencia con centro en B y radio a.
18 Aceptando que a, b y c son las longitudes de los lados que designan.
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35
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36
La noción de teorema, hipótesis y tesis, la estructura
“SI ..., ENTONCES ...”
Un teorema es una afirmación matemática cuya veracidad se establece mediante su demostración.
Una demostración es un razonamiento ajustado a determinadas reglas, que argumenta el
teorema. A continuación trabajaremos con el teorema de los ángulos interiores de un triángulo:
“los ángulos interiores de un triángulo suman dos rectos”.
¿Con qué se cuenta para hacer una demostración? De acuerdo con lo que vimos en la
introducción, se cuenta con: a) los términos primitivos y los términos definidos; b) los postulados
o axiomas; c) los teoremas ya demostrados y d) las reglas de la lógica.
Euclides, en sus Elementos, introdujo la idea de “Nociones Comunes” 19, que son reglas
aplicables a cualquier razonamiento. Por ejemplo, al demostrar el Teorema 1, relacionado
con los ángulos opuestos por el vértice, usamos una de esas nociones comunes: “Si a cantidades
iguales se les sustraen cantidades iguales, la igualdad se mantiene”20.
Además de su enunciado, es conveniente distinguir, en un teorema, las condiciones en que
la proposición se cumple, que llamamos Hipótesis, y lo que se afirma que ocurre, la Tesis. Por
ejemplo, en el Teorema 5 (a continuación) la condición (Hipótesis), es que se trata de un
triángulo y la afirmación (tesis) es “los ángulos interiores suman dos rectos”. Para demostrar
esta tesis, se parte de los datos que entrega la hipótesis y se debe llegar a la tesis usando
los recursos que antes señalamos.
Observe el siguiente teorema, sus partes y su demostración:
19 Ver www.euclides.org
20 Estas vienen en su mayoría de la aritmética y el álgebra. Los griegos influyeron fuertemente en esta última
especialidad de la Matemática, junto con la Geometría de Euclides.
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Hipótesis: ABC triángulo (esto quiere decir que los resultados de la demostración se aplican
a todo triángulo que cumpla la hipótesis).
Tesis: + + = 2R (180º)
Demostración
Sea L una paralela a AB por el punto C (se escogió trazar una paralela a la base pasando por
el vértice opuesto. Esto es posible a partir del 5º postulado de Euclides21)
En la figura:
L
El ángulo ' en C es congruente con el ángulo , en A (Teorema 3, ángulos alternos internos
entre paralelas).
Por igual razón:
El ángulo ' en C, es congruente con el ángulo , en B.
21 Este postulado ha generado muchas preguntas en la historia de la geometría y estudiando su necesidad, tres matemáticos
del Siglo XIX, K.F. Gauss (alemán), J. Bolyai (húngaro) y N. I. Lobachevski (ruso) desarrollaron teorías geométricas diferentes
a la de Euclides, que tuvieron gran influencia en el desarrollo de la ciencia del siglo XX (ver lectura).
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TEOREMA 5: La suma de los ángulos interiores de un triángulo suman dos rectos (180º).
37
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
38
Si se observa la figura, en el vértice C, se tiene que:
' + + ' = 2R (ángulo extendido)
Reemplazando ' por y ' por , se tiene:
+ + = 2R (180º)
Que era lo que se deseaba demostrar.
Ángulos exteriores de un triángulo
Los vértices de un triángulo determinan sus lados, y como por dos puntos pasa una y sólo
una recta, cada pareja de vértices de un triángulo determina una recta. La figura siguiente
muestra un triángulo y las rectas que determina. L es la recta que pasa por A y B; L' la que
pasa por B y C, y L'' la que pasa por C y A.
También es útil considerar algunos de los rayos determinados por los vértices de un triángulo.
La figura siguiente muestra tres de esos rayos: AB , BC y CA . Al referirnos a la extensión
de un lado, nos estaremos refiriendo a uno de estos rayos.
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Si se considera las tres rectas determinadas por los vértices de un triángulo, en cada vértice
se forman dos ángulos exteriores y un tercero, opuesto por el vértice al ángulo interior
correspondiente.
Nota. El ángulo exterior de vértice A, se acostumbra designar ' , de manera similar a los
otros ángulos exteriores se les asignará ' y '
TEOREMA 6: La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no
adyacentes.
Hipótesis: ABC triángulo.
Tesis: ' = + ; también ' = + ' = + .
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Definición 35. Ángulo exterior de un triángulo. Se llama ángulo exterior de un triángulo,
al ángulo formado por un lado del triángulo y la extensión de otro adyacente. En la figura
siguiente, se puede observar tres ángulos exteriores, uno en cada vértice.
39
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
'
'
En la figura se puede observar que:
El ángulo exterior ' + = 2R (180º) (forman un ángulo extendido que es igual a dos rectos,
2R)
De dónde:
Del Teorema 5, sabemos que:
De dónde:
+ + = 2R
+ = 2R – relación (2)
Comparando las relaciones (1) y (2), se concluye que: ' = + 
El ángulo exterior ', es congruente con la suma de los dos interiores no adyacentes, + 
Lectura acerca de la historia de la geometría
Acerca del 5º postulado de Euclides
En los Elementos de Euclides se puede leer: “Postulado 5º. Si una recta secante corta a dos
rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos
rectos; las rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado”22. Es más común
el enunciado que dice: “por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una
recta paralela a la dada”. Este postulado dio mucho que hacer. Durante siglos los matemáticos
trataron de demostrar este postulado a partir de los demás, en la idea que se trata de un
teorema y no de un postulado. A comienzos del siglo XIX, K. F. Gauss en Alemania (1777 1855), J. Bolyai en Hungría (1802 - 1860) y N. I. Lobachevski, en Rusia (1793 - 1856), trabajando
sobre este postulado, generaron teorías geométricas diferentes a la de Euclides, se las llama
22 En www.euclides.org
40
' = 2R –  relación (1)
CIIET U de Santiago
Durante el siglo XX, los astrónomos han usado estas geometrías para explicar fenómenos en
los que encontraron discrepancias con la geometría euclidiana. En particular, Albert Einstein
aplicando su teoría física, anticipó que un rayo de luz (lo que más se acerca a nuestra noción
de recta en el mundo físico) se curvaría al pasar cerca de una masa, del Sol por ejemplo.
Observando fotos tomadas de una región del cielo antes y después de un eclipse de Sol,
detectaron que en efecto, las estrellas que rodeaban al Sol se habían “acercado” a la zona
en la que estaba el Sol eclipsado. Este tipo de fenómenos se ajusta a una geometría no
euclidiana.
Polígonos
Definición 36. Polígono. Se llama polígono a una figura plana, cerrada, limitada por
trazos. Los extremos de los trazos se denominan vértices y los trazos se llaman lados
del polígono.
En el arte
Triángulos en la construcción
Un polígono de cinco lados
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
“geometrías no euclidianas”. En estas geometrías, los términos punto, recta y plano se
interpretan de un modo diferente al que hemos utilizado en este curso y, por un “punto”
fuera de una “recta” puede que no sea posible trazar una “paralela” o que por él pasen más
de una “paralela” a la “recta” considerada.
En particular, el triángulo
Es un polígono de tres lados
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41
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
42
Cuadriláteros
Cuadrilátero
Estrellas de mar
Un polígono no-convexo
Un panal de abejas
Hexágono
CIIET U de Santiago
Los polígonos se clasifican según el número de lados
Número de lados
Nombre del polígono
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Eptágono
Octógono
Nonágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
n
n-ágono
Los polígonos pueden ser convexos o no convexos
Definición 37. Polígono convexo. Se llama polígono convexo a un polígono en el que una
recta que contenga uno de sus lados, hace que todos los puntos del polígono estén en uno
de los semiplanos que la recta define.
Polígono convexo y una recta que contiene
uno de sus lados.
Observe que la recta no corta a los otros, que
todos los puntos del polígono están “del
mismo lado de una recta que contiene un
lado”.
Polígono no-convexo y una recta que
contiene uno de sus lados. Observe que puede
haber una recta que al contener un lado,
corta a otros lados y que existen puntos del
polígono a “ambos lados de una recta que
contiene un lado”.
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I.
43
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
44
Definición 38. Perímetro de un polígono. Se llama perímetro de un polígono a la suma
de las longitudes de todos sus lados.
Un terreno rectangular y una cerca que lo
limita
El perímetro es la longitud de la cerca
Polígonos regulares
Definición 39. Polígono regular. Un polígono que tiene todos sus lados congruentes
y todos sus ángulos interiores congruentes, se llama polígono regular.
En particular el triángulo equilátero y el cuadrado, son polígonos regulares.
Algunos polígonos regulares
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Triángulo equilátero
Cuadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.
Definición 40. Lados adyacentes. En un cuadrilátero, se llaman lados adyacentes, a los
lados que tienen un vértice común. Esta definición también se aplica a los polígonos en general.
En el cuadrilátero de la figura, los lados
AB y AD tienen un vértice común, se
llaman lados adyacentes. También son
adyacentes los lados AB y BC .
Definición 41. En un cuadrilátero se llaman lados opuestos a los lados que no tienen un
vértice común.
En el cuadrilátero de la figura, los lados
AB y DC no tienen un vértice común,
se llaman lados opuestos. También son
opuestos los lados AD y BC .
Definición 42. Ángulos interiores. En un cuadrilátero (también en un polígono), un ángulo
formado por dos lados contiguos se llama ángulo interior del cuadrilátero si este ángulo
tiene una intersección no vacía con la región interior del cuadrilátero.
D
C
A
Los ángulos formados por dos lados
contiguos de un cuadrilátero, y en
general de un polígono, como están
marcados en la figura, se llaman
ángulos interiores.
B
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Los cuadriláteros, sus elementos y su clasificación
45
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
46
Definición 43. Ángulos adyacentes. En un cuadrilátero, también en un polígono, dos
ángulos interiores que tienen un lado en común, se llaman ángulos adyacentes.
D
C
Los ángulos DAB y ABC por tener común
el lado AB , se dice que son ángulos
adyacentes.
A
B
Definición 44. Ángulos opuestos. En un cuadrilátero, dos ángulos interiores que no tienen
un lado en común, se denominan ángulos opuestos.
D
C
A
En el cuadrilátero de la figura, los ángulos
DAB y BCD son interiores y no tienen
un lado en común, por lo que se
denominan ángulos opuestos.
B
Definición 45. Paralelogramo. Se llama paralelogramo a un cuadrilátero cuyos lados
opuestos son paralelos.
En la arquitectura
CIIET U de Santiago
Paralelogramo
En el diseño
Rectángulo
Definición 47. Cuadrado. Un cuadrado es un rectángulo con sus cuatro lados congruentes.
También podríamos decir que un cuadrado es un rectángulo equilátero.
En la arquitectura
Cuadrado
Definición 48. Rombo. Un paralelogramo con sus cuatro lados congruentes se llama rombo.
En el Metro de Santiago
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Definición 46 Rectángulo. Un paralelogramo con sus cuatro ángulos interiores rectos se
llama rectángulo.
Rombo
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47
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
48
Definición 49. Trapecio. Un cuadrilátero con dos y sólo dos lados paralelos se llama
trapecio.
En la arquitectura
Trapecio
Algunas propiedades de los elementos del cuadrilátero
Ángulos interiores de un cuadrilátero
Teorema 7. Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman dos ángulos extendidos (360º).
Hipótesis: , , y son los ángulos
cuadrilátero.
Tesis:
+ + + = 360º
extendidos)
interiores
de un
(dos ángulos
El plan para demostrar este teorema consiste en dividir el cuadrilátero en dos triángulos y
sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, sumamos los ángulos
interiores de ambos triángulos llegando a concluir que la suma de los ángulos anteriores del
cuadrilátero es 360º.
CIIET U de Santiago
En la figura, el trazo AC divide al cuadrilátero ABCD en dos triángulos.
También se tiene: ' + '' = (1) y,
' + '' = (2) En el triángulo
ABC, se tiene:
' + + ' = 180º
(3)
En el triángulo CDA, se tiene:
'' + + '' = 180º (4)
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4), tenemos:
' + + ' + ('' + + '') = 360º
Asociando los ángulos (propiedad conmutativa de la suma) se obtiene:
(' + '') + + (' + '') + = 360º
Reemplazando las sumas (' + '') por  y (' + '') por , (ecuaciones 1 y 2) tenemos:
+
+
360º,
+
=
que es lo que se quería demostrar.
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Demostración
49
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
50
Área de una figura plana cerrada
¿Qué es lo que se resuelve con el concepto de área?
Podemos pensar que el sitio de una propiedad es un rectángulo, ¿Cuánto mide la superficie
de la propiedad? Si se desea pintar una pared, es necesario saber cuánta pintura comprar. Los
vidrios, las cerámicas, se venden por metro cuadrado (m2).
¿Qué es un m2?
Una gráfica mostrando un muro recubierto
con cerámica cuadrada
Usaremos un concepto intuitivo de área, diciendo que es un número real que se asocia a una
figura plana cerrada.
¿Cómo se calcula? Determinando en la figura cerrada cuántas veces contiene un cuadrado
de lados iguales a una unidad de longitud.
Un rectángulo sobrepuesto a una
cuadrícula
CIIET U de Santiago
¿Cuántos cuadrados de lado uno se
requieren para cubrir el rectángulo?
Es importante distinguir entre un polígono, que está formado por trazos, y la región que
delimita ese polígono. Tal como distinguimos entre la cerca que delimita un terreno y el terreno
mismo.
Un terreno y una cerca
delimitada (achurado)
Un cuadrilátero y la porción
Definición 50. Región poligonal. Dado un polígono, llamaremos región poligonal a la
porción del plano delimitada por el polígono23.
Unidades de Área
Para medir el área de una región poligonal se elige un área como unidad. Es cómodo utilizar
como unidades de área a cuadrados de lado uno. Puede ser un cuadrado de lado 1cm, 1m,
1Km, etc.
Definición 51. Se llama unidad de área a un cuadrado de lados unitarios. Así, por ejemplo,
el cm2, el m2 y el km2 son unidades de área.
Una cuadrícula, tal como el
cuaderno de matemática.
Un cuadrado elegido como
unidad
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Supongamos que elegimos un cuadrado con lados iguales a 1 cm como unidad. A este
cuadrado lo llamaremos “centímetro cuadrado” y lo abreviaremos cm 2. Más adelante
definiremos qué es una unidad de área formalmente.
23 Un polígono divide al plano en tres partes, según si los puntos que las conforman, quedan en el polígono, dentro
del polígono o son exteriores a él.
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
51
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
52
Si se tiene un rectángulo de 6 cm de largo y 4 cm de ancho ¿Cuántas unidades de 1 cm2
contiene? Tiene 6 columnas con 4 unidades cada una, en total tiene 6 · 4 = 24 cm2.
Si el rectángulo contiene cantidades enteras de unidades de longitud en sus lados, podemos
generalizar y decir que para calcular el área de un rectángulo se multiplican las longitudes de
sus lados contiguos.
Área de una región rectangular 24
Definición 52. Área de un rectángulo. El área de una región rectangular o área del
rectángulo se obtiene como el producto de las magnitudes de sus lados contiguos.
Área de un rectángulo de
lados a y b
b
A=a·b
a
Nota: basta medir un rectángulo real con una regla graduada, por ejemplo una hoja de papel
o una página de un libro, para observar que, frecuentemente, las longitudes de los lados de
un rectángulo no son números enteros. Mediante la definición 44, estamos aceptando que,
por ejemplo, un rectángulo de lados 5,61 cm por 4,32 cm, tiene un área de 24,2352 cm2.
Más general aún, la definición se puede aplicar a una región rectangular cuyos lados tienen
longitudes expresadas en números enteros, racionales o reales. Si conoce los números racionales
e irracionales, puede consultar al trabajo de Elon Lages Lima “Medida y forma en geometría”25.
Allí encontrará un tratamiento muy general a la medición de longitudes, áreas y volúmenes.
24 Nota. Es frecuente hablar de “área del cuadrado”, “área del rectángulo”, “área del triángulo”, y en general,
de la figura que delimita la región cuya área se mide. Lo importante es saber que el área es un número que se
asigna a la región del plano delimitada por una figura cerrada.
25
Lima, Elon Lages (1991). Medida y Forma en Geometría, longitud, área, volumen y semejanza. Santiago - Chile:
Centro de Perfeccionamiento y Experimentación Pedagógica.
CIIET U de Santiago
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. Para afirmar esto,
estamos pensando que un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son congruentes, de modo
que aplicando la definición 45, tenemos:
Área de un cuadrado de lado a es:
a
A = a · a = a2
a
Definición 53 Figuras equivalentes. Dos figuras se dicen equivalentes si tienen igual área.
Por ejemplo, un rectángulo de lados 4 cm y 9 cm es equivalente a un cuadrado de
lado 6 cm. En efecto, el área del rectángulo es 4 cm · 9 cm= 36 cm2 y la del cuadrado es
6 cm · 6 cm= 36 cm2.
Figuras congruentes. En esta oportunidad usaremos una noción intuitiva de congruencia.
Figuras que “superpuestas” coinciden en toda su extensión o figuras que observamos tienen
la misma forma y el mismo tamaño, las llamaremos congruentes. Dos páginas de un libro,
dos baldosas de un mismo embaldosado, dos triángulos equiláteros de lado 30 cm, dos discos
pare, los rombos del logo del Metro de Santiago, son ejemplos de figuras congruentes.
A continuación usaremos el hecho de que dos figuras congruentes son equivalentes. Esto
es, que figuras congruentes tienen la misma área.
El tema será retomado en la unidad tres de este curso.
Área de un paralelogramo
Observe la figura siguiente en la que un paralelogramo se puede comparar con un rectángulo
equivalente.
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Área de una región cuadrada, área del cuadrado
53
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
54
D
A
C
B
Dado un paralelogramo ABCD
D
A
C
A´
B
B´
Se puede construir un rectángulo
A´B´CD equivalente
Observe que la altura del paralelogramo es un lado del rectángulo. Se puede comprobar que
los triángulos A A´D y B B´C son congruentes, “lo que se recorta del paralelogramo de un lado
se lo agrega en el otro” generándose un rectángulo de igual base y con un lado igual a la
altura del paralelogramo. Esto es, el cálculo del área de un paralelogramo se reduce al de un
rectángulo de lados iguales a la base y a la altura del paralelogramo. Se concluye que:
El área de un paralelogramo es el producto de la base por su altura.
Área de un paralelogramo de
base a y altura h
h
A= a·h
a
Área de un triángulo
Para obtener el procedimiento para calcular el área de un triángulo conocidos un lado y la
altura que cae en ese lado hacemos lo siguiente:
Al Triángulo ABC le trazamos L paralela a AB , por C y L´, paralela a AC por B.
CIIET U de Santiago
Se formó el paralelogramo
ABEC que tiene una base
congruente con la base del
triángulo y una altura de igual
medida que la altura h del
triángulo.
Se puede verificar que el triángulo CBE es congruente con el triángulo dado. Esto es, que el
paralelogramo ABEC tiene un área igual al doble que la del triángulo. Se puede concluir
entonces que:
El área de un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo con base y alturas
iguales en longitud. Es decir, es igual a la mitad del producto de la base por la altura.
Área de un triángulo de
base c y altura h.
A  12 c · h
En síntesis, para obtener las relaciones que dan el área de cuadrados, paralelogramos y
triángulos, se procedió del modo siguiente:
Se partió del área de un rectángulo, A = largo · ancho
El cuadrado es un rectángulo de lados iguales, luego:
A = lado · lado,
A = a2 .
Se mostró que un paralelogramo es equivalente a un rectángulo de igual base e igual altura,
esto es:
A = b · h.
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Un triángulo ABC, de altura h
y las paralelas L y L´ a los lados
AB y AC.
55
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
56
Por último, se mostró que un triángulo es equivalente a la mitad de un paralelogramo que
tiene la misma base y la misma altura que el triángulo.
A  12 c · h
Para establecer estas fórmulas de área, tuvimos que introducir la noción de congruencia y
aceptar que dos triángulos son congruentes cuando se pueden “superponer”. Más adelante
regresaremos a este punto, al estudiar la congruencia de figuras planas.
Dos famosos: el teorema de Pitágoras y la circunferencia
TEOREMA 8. Pitágoras. En un triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre
la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Hipótesis: ABC triángulo rectángulo en C, AB=c, BC=a y AC=b.
Tesis: c2 = a2 + b2
CIIET U de Santiago
Este es uno de los teoremas más citados en el desarrollo de la matemática.
Para comenzar, algunos casos particulares conocidos desde siglos antes de Pitágoras.
Los constructores usan el triángulo de lados 3, 4 y 5, para marcar ángulos rectos. Saben que
si un triángulo tiene, por ejemplo, catetos de 3 y 4 metros y lo completan con una hipotenusa
de 5m, el resultado es un triángulo rectángulo.
Además, se tiene que:
32 + 42 = 52
9 + 16 = 25
Se puede comprobar que también es cierto para triángulos de lados que sean múltiplos de
los señalados, es decir, para triángulos que son “semejantes” al de lados 3, 4 y 5.
Por ejemplo:
62 + 82 = 102
36 + 64 = 100
Y, en general, triángulos con lados proporcionales al triángulo de lados 3, 4 y 5.
Los constructores cuando hacen uso de este hecho, usan el teorema recíproco de Pitágoras,
esto es, si en un triángulo la suma de los cuadrados de dos de sus lados es igual al cuadrado
del tercero, entonces el triángulo es rectángulo.
Se han realizado múltiples formas para “mostrar” que el teorema es válido y también múltiples
demostraciones del mismo. En las páginas siguientes se reproduce dos de esas demostraciones
que pueden ser hechas en papel, recortadas y comprobadas experimentalmente.
En el sitio web http://www.cut-the-knot.org el visitante podrá encontrar 43 demostraciones
del teorema de Pitágoras que recurren a los más variados recursos: geométricos, algebraicos,
etc.
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Aspectos relevantes del teorema de Pitágoras
57
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
58
Esta es una primera demostración del teorema
En la figura siguiente, el cuadrado mayor tiene lados de longitud a + b, siendo a y b las
longitudes de los trazos que se indican:
AE = BF = CG = DH = a
y
EB = FC = GD = HA = b
Los trazos EF, FG, GH y HE tienen todos un misma longitud que llamaremos c.
Usando la noción de congruencia (que veremos con detención más adelante) es posible
demostrar que los cuatro triángulos de la figura son congruentes y que por lo tanto tienen
la misma área y que el cuadrilátero inscrito, EFGH es un cuadrado.
El área del cuadrado mayor se puede expresar como:
A = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(1)
También es igual a la suma de las áreas del cuadrado EFGH (el inscrito) con la de los cuatro
triángulos congruentes que lo rodean.
Esto es:
A = c2 + 4 · ( 21 ab) = c2 + 2ab
(2)
En (1) y en (2) hemos calculado el área del cuadrado ABCD de dos modos distintos. Como
es el mismo cuadrado, ambas ecuaciones determinan la misma área por lo que igualando el
resultado obtenido en (1) con el obtenido en (2), tenemos:
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
CIIET U de Santiago
a2 + b2 = c2
o lo que es lo mismo
c2 = a2 + b2
Esta es una segunda demostración del teorema
A continuación otra forma de demostración que se puede “ver” recortando la figura y
comparando las regiones que allí se forman 26.
Lados del cuadrado ABCD: AD = AB = BC = CD = a
Lados del cuadrado DEFG: DE = EF = FG = GD = b
Se construye AH = b.
Se une H con F .
Se une H con B .
Se completa el cuadrado HBIF .
Llamemos c al lado HB = BI = IF = FH .
Entonces tenemos:
- El triángulo ABH, tiene lados de
medidas AH = b , AB = a y HB = c .
- Cuadrado ABCD de área a2 .
- Cuadrado DEFG de área b2 .
- Cuadrado DEFG de área c2 .
Recorte el triángulo FGH y sobrepóngalo al
triángulo FIE.
Recorte el triángulo ABH y sobrepóngalo al
triángulo BIC.
Por lo tanto, utilizando dos cuadrados de
áreas a2 y b2 podemos cubrir otro cuadrado
de área c2 .
A continuación se proporciona un modo manipulativo de visualizar el teorema de
Pitágoras.
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
De donde, restando a ambos miembros 2ab, obtenemos la tesis, o sea, lo que queríamos
demostrar:
26 Gentileza del Dr. Gonzalo Riera, de la Facultad de Matemática de la Pontificia Universidad Católica de Chile. El
Dr. Riera es el autor de la serie Matemática Aplicada editada por Zig Zag.
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
59
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
60
Una comprobación que se puede realizar en papel o cartulina
Sobre el papel dibuje dos cuadrados, uno sobre otro y de lados diferentes. Anote los vértices
tal como en la figura. A los lados del mayor, abajo, los marca con la letra “a” y a los del otro,
arriba, con la letra “b”.
Copie el lado “b” sobre el lado AD, a partir de A, determinando H.
Una H con F y con B, formando los trazos HF y HB.
Prolongue DC, más allá de C.
Trace una perpendicular a HF, en F.
Trace una perpendicular a HB, por B.
Las dos perpendiculares se deben haber cortado con la prolongación de DC en un punto, I
en la figura.
Calque la figura en papel trasparente.
Recorte los triángulos ABH y HFG. Compare el área del cuadrado mayor: BIFH, el que está
inclinado, con la suma de las áreas de los dos cuadrados con que se inició la construcción.
Observe que tienen una región en común y que retirando dos triángulos de un lado y
sobreponiéndolos en el otro, es posible verificar que el área del mayor es igual a la suma de
las áreas de los dos menores.
CIIET U de Santiago
El determinar el valor de la razón entre el diámetro con la longitud de la circunferencia (el
número ) y, más aún, el cálculo del área del círculo, son problemas que fueron abordados
desde la antigüedad.
Los babilonios estimaron que el diámetro contiene en el perímetro de la circunferencia 31/8,
esto es 3,125. Los egipcios usaron la cifra 3,16. En Grecia se plantearon el problema de obtener
un cuadrado equivalente a un círculo y hacerlo con regla y compás. En 1737, el matemático
Suizo Euler llamó a la razón entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro.
Arquímedes, cerca del año 250 antes de Cristo, apartándose de la restricción de la regla y el
compás, hizo el siguiente razonamiento:
Si se inscribe un polígono regular de n lados en una circunferencia y se circunscribe otro,
también de n lados, tal como en la figura.
Un hexágono (n = 6) inscrito en una circunferencia
de radio r y un hexágono, circunscrito a la misma
circunferencia.
Entonces el área del círculo es mayor que el área del polígono inscrito y es menor que la
del circunscrito:
Área del hexágono inscrito < Área del círculo < Área del hexágono circunscrito
También el perímetro de la circunferencia queda comprendido entre los perímetros del hexágono
inscrito y el circunscrito.
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Perímetro de la circunferencia y área del círculo, el número 
61
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
62
Perímetro del
hexágono inscrito
<
Perímetro de la
circunferencia
<
Perímetro del
hexágono circunscrito
Si el radio del círculo es 1, el perímetro p, de la circunferencia queda entre 6 y 6,928 lo que
da para un valor entre 3 y 3,46.
Si se aumenta el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos, la
diferencia entre los valores que acotan n disminuye. Arquímedes encontró que n se encuentra
entre 3 10
y 3 10
, lo que da un valor para de 3,14.
71
70
Lo interesante de la idea de Arquímedes es que permite aproximar el valor de tanto como
se desee o se necesite, aumentando el número de lados de los polígonos. Mediante computadores
se han obtenidos varios millones de dígitos exactos.
Si una rueda de radio “r” rueda sobre el plano, sin resbalar y un punto de esa rueda toca el
suelo dos veces sucesivas, ¿Qué distancia, sobre el plano “marca” el paso sucesivo del punto?
Algo así como “desenrollar” el perímetro de la circunferencia.
Una rueda, un punto en la circunferencia deja una huella igual al perímetro de la circunferencia.
¿Cuántas veces contiene el diámetro en el perímetro?
El perímetro de la circunferencia es  veces el diámetro, o sea  · d o, lo que es lo
mismo:
C = 2 r
El perímetro de una circunferencia es el doble del producto de por el radio.
CIIET U de Santiago
La figura siguiente muestra un círculo dividido en “n” partes iguales mediante radios.
Si siguiendo la línea marcada por los radio, se cortan sectores del círculo (como en una pizza)
y se los dispone del modo que muestra la figura siguiente.
Podemos pensar que el área de rectángulo aproximado es igual al área del círculo. Un lado
de este “rectángulo” está formado por arcos que sumados dan la mitad del perímetro (C/2)
que es la mitad del perímetro de la circunferencia que rodea al círculo, esto es n r.
El otro lado del “rectángulo” es el radio del círculo. Luego su área es (largo por ancho)
A = · r · r
A = r2
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Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
Área del círculo
63
Unidad 1: Formas Geométricas en el Plano
64
Referencias
•
Gueddj, Denis (2001). El Teorema del Loro, novela para aprender matemáticas. Barcelona,
España: Editorial Anagrama.
•
Lima, Elon Lages (1991). Medida y Forma en Geometría, longitud, área, volumen y
semejanza. Santiago - Chile: Centro de Perfeccionamiento y Experimentación Pedagógica.
•
Strathern, Paul (1999). Pitágoras y su Teorema. Madrid, España: siglo veintiuno editores.
•
Strathern, Paul (1999). Arquímedes y la palanca. Madrid, España: siglo veintiuno editores.
CIIET U de Santiago
Unidad 2 :
For mas G e o m é t r i c a s
en el Es p a c io
Gustavo Rodríguez Sepúlveda
Guido Montecinos Urra
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
65
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
66
¡Al infinito y más allá...!
Los actores geométricos del espacio
Tipo 2 Cristal del
Adenovirus de Hexon en
forma de cubo
Nuestro planeta Tierra es visto
como una esfera.
Museo de Louvre en Francia
Pilar en forma de
paralelepípedo recto
Dados en forma de dodecaedro
La Torre de Pisa que tiene forma de cilindro y la
iglesia que tiene distintas formas de prismas.
Lámpara en forma de cono
Prisma recto de base triangular
Los volcanes tienen forma similar de cono
CIIET U de Santiago
¿Ha oído hablar de un griego llamado Eratóstenes? Su nombre seguramente es mucho más
conocido entre los que cultivan la astronomía, quienes lo tienen en alta estima. ¿Por qué razón?
Eratóstenes nació en torno al año 276 antes de nuestra era y recibió buena parte de su formación
en Grecia, si bien pasó muchos años como bibliotecario en Alejandría. Alrededor del año 201
Eratóstenes basándose en un correcto principio de astronomía, con tan solo una vara, logró
determinar las dimensiones del globo terráqueo. ¿Le parece insólito? Pues bien, veamos cómo
lo hizo.
En la ciudad egipcia de Siena situada en el Alto Nilo,
en las cercanías del trópico de Cáncer, a 23º 23' Norte,
notó que al mediodía del primer día de verano (solsticio
de verano), los rayos de sol iluminaban directamente
el fondo de un profundo pozo vertical. En otras palabras,
el sol estaba entonces en su cenit (la vertical) y sus
rayos eran perpendiculares a la superficie de la Tierra
en aquella latitud. Sin embargo, en la misma fecha y
hora, pero en Alejandría, a 5.000 estadios28 al norte,
sí se observaba una sombra.
Colocó en Alejandría un gnomon, un simple palo vertical, y al mediodía, cuando el sol se
encontraba en su cenit, midió el ángulo de la sombra que proyectaba la vara: 7º 12' con respecto
a la vertical.
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
Midió la Tierra con una vara
28 El estadio era una unidad griega de longitud que variaba de una localidad a otra. Según se cree, media entre
160 y 185 metros.
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
67
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
68
Pues bien, dado que él creía en la esfericidad de
nuestro planeta, y sabía que un círculo tiene 360
grados, dividió 360º entre 7º 12'.¿Cuál fue el
resultado? El ángulo correspondía a la cincuentava
parte de un círculo completo. De ahí dedujo que
los 5.000 estadios de distancia entre Siena y
Alejandría tenían que corresponder a la
cincuentava parte de la circunferencia terrestre.
Así pues, multiplicó 50 por 5.000 y llegó a la
cifra de 250.000 estadios para la longitud de la
circunferencia del globo terráqueo.
¿Se aproxima dicha cifra a los cálculos actuales? Sus 250.000 estadios dan una distancia de
entre 40.000 y 46.000 kilómetros. Valiéndose de las naves en órbita, los astrónomos han medido
el meridiano terrestre (el círculo Máximo que pasa por los dos polos), y han obtenido la cifra
de 40.008 kilómetros, sorprendentemente cercana a la que ofreció Eratóstenes hace más de
dos mil años. La precisión de su cálculo resulta aún más asombrosa si tenemos en cuenta que
utilizó únicamente una vara y el razonamiento geométrico. En la actualidad, los astrónomos
emplean este mismo método para calcular a qué distancia se encuentran puntos situados fuera
del sistema solar.
Algunos tal vez encuentren sorprendente que Eratóstenes supiera que la Tierra es redonda.
Después de todo, hasta hace apenas unos siglos hubo hombres de ciencia que la creían plana.
Los antiguos griegos, sin embargo, ya habían deducido su auténtica forma a partir de observaciones
científicas. (Revista ¡Despertar! del 22 junio 2004, pág. 13).
CIIET U de Santiago
Para comenzar a explorar el espacio podemos distinguir dos tipos de cuerpos geométricos:
poliedros y redondos.
TETRAEDRO
HEXAEDRO
POLIEDROS
REGULARES
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
CUERPOS
POLIEDROS
(Todas sus caras
planas)
PRISMAS
POLIEDROS
IRREGULARES
PIRAMIDES
CUERPOS
GEOMETRICOS
CILINDRO
CUERPOS
REDONDOS
(Al menos una
cara curva)
ESFERA
CONO
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
Los actores geométricos del espacio
69
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
70
Como muestra el esquema, comencemos por analizar los cuerpos poliedros.
Definición 1. Poliedro, cuerpo geométrico formado por regiones planas denominadas caras
que son polígonos. Los lados y vértices de las caras reciben los nombres de aristas y vértices del
poliedro.
Un poliedro está formado por un número finito de regiones poligonales. Si dos regiones se
intersectan, lo hacen en una arista o en un vértice.
Nota: Las líneas segmentadas en las figuras representan a una arista oculta del cuerpo geométrico.
Poliedro convexo, poliedro en el que el plano que contiene a cada cara deja a todas las demás
a un mismo lado, es decir, deja al resto de las caras en un mismo semiespacio, en caso contrario
se llama poliedro no-convexo.
Poliedro convexo
Poliedro no-convexo
Poliedro regular, poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes y todos los ángulos
que se forman al intersectar tres o más caras en un vértice, tiene el mismo número de éstas.
Definición 2. Prismas, poliedro que posee un par de caras congruentes sobre planos paralelos
(llamados bases) y todas las demás caras son paralelogramos y se denominan caras laterales.
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La altura de un prisma es la longitud de la perpendicular entre las dos bases. En los prismas
rectos es la longitud de la arista.
Prisma recto
Prisma oblicuo
Definición 3. Paralelepípedo, es un prisma recto, de seis caras, cuyas caras opuestas son
paralelas y congruentes.
Paralelepípedo recto, es aquel que tiene sus aristas laterales perpendiculares al plano de la base,
en caso contrario se denomina paralelepípedo oblicuo.
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
Prisma recto, se denomina así al prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.
Si no lo son se le denomina prisma oblicuo.
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
72
Paralelepípedo recto de
base rectangular
Paralelepípedo oblicuo de
base rectangular
El cubo es un caso particular de este tipo de prisma.
Definición 4. Cubo, paralelepípedo recto limitado por seis caras cuadradas, este prisma también
es conocido como hexaedro regular.
Definición 5. Pirámides, poliedro en el cual todas sus caras, menos una, tienen un vértice
común, estas caras laterales son triangulares. Ese vértice común es el vértice de la pirámide o
cúspide, y la cara que no contiene al vértice es la base de la pirámide, que es un polígono. La
pirámide recibe el nombre de acuerdo a la base, por ejemplo, si la base es un cuadrado la
pirámide recibe el nombre de Pirámide cuadrada, si es un pentágono Pirámide pentagonal, etc.
La altura de una pirámide es el segmento perpendicular desde la cúspide a la base.
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Pitámide recta
Pitámide oblicua
Pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular. El pie de su altura
coincide con el centro del polígono basal. Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes.
Pasemos ahora a analizar los cuerpos redondos.
Definición 6. Cuerpos redondos
Cuerpos geométricos redondos son aquellos que están limitados por superficies curvas, o por
superficies curvas y planas.
Definición 7. Cilindro recto
Cuerpo geométrico formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros
pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos círculos.
Juego de Ollas
Cilindro
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
Una pirámide es recta cuando el pie de la altura equidista de todos los vértices basales, en caso
contrario es oblicua.
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
75
74
Definición 8. Cono recto
Cuerpo geométrico que tiene una base circular y un eje que es perpendicular a la base.
Mineral llamado Natrolita
Cono
Definición 9. Esfera
Cuerpo geométrico limitado por la superficie formada por todos los puntos del espacio tales
que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro es siempre la
misma.
Bolas de billar
Ahora, los elementos básicos de un cuerpo
A partir de las definiciones anteriores introduciremos
otros objetos de la geometría en los cuerpos y
analizaremos sus relaciones.
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Esfera
Caras, porción del plano (región poligonal) que forman un poliedro.
Aristas, es el segmento que se forma al intersectarse dos caras.
Vértices, es el punto donde concurren tres o más caras.
Diagonales, segmento que unen dos vértices opuestos en una cara o que no estén situados
en la misma cara.
Planos diagonales, porción del plano (polígono) que une dos aristas no situadas en la misma
cara. No en todos los poliedros existen.
Ángulos diedros, son los ángulos que se forman al intersectar dos caras.
Ángulos poliedros, son los ángulos formados por varios ángulos planos que tiene un mismo
vértice y dos a dos una arista común.
Algunas consideraciones básicas en el espacio
Una recta L es perpendicular a un plano, si toda recta L' contenida en el plano y que intersecta
a L es perpendicular con ésta.
Diremos que una recta es oblicua con respecto a un plano si la intersecta, pero no
perpendicularmente.
Dos recta se denominan coplanares si estas pertenecen al mismo plano.
Estas rectas pueden presentarse en los siguientes casos:
Rectas paralelas.
Rectas concurrentes o se cortan en el plano (por ende, se cortan en el espacio).
Rectas coincidentes.
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En los poliedros podemos encontrar elementos como:
75
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
77
76
Redes planas de poliedros y cuerpos redondos
En muchos poliedros o cuerpos redondos, la superficie se puede representar como una
figura bidimensional (figura geométrica en un plano), llamando a esto una red para el cuerpo
geométrico.
A continuación se presentan algunas redes de cuerpos poliedros y redondos.
Cuerpo
Hexaedro regular o Cubo
Pirámide regular de base
triangular
Pirámide regular de base
cuadrada
Paralelepípedo recto de base
rectangular
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Red plana
Figura
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Prisma recto de base
triangular
Prisma recto de base
pentagonal
Prisma recto de base
hexagonal
Cilindro recto
Cono recto
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
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78
Áreas, volúmenes y aplicaciones de la geometría en el espacio.
¡Eureka, eureka! ¡Lo encontré!
¡Eureka, eureka! Eso es lo que dicen que gritó un día
Arquímides mientras daba un salto fuera de la bañera y
corrió desnudo por la calle. Acababa de tener una idea
genial, que le ayudaría (a él y a todos nosotros después) a
medir el volumen de los cuerpos por irregulares que fueran
sus formas.
Medir volúmenes de cuerpos regulares (un cubo, por ejemplo) era algo que ya se sabía hacer
en la época de Arquímides, tres siglos antes de Cristo. Pero con volúmenes de formas irregulares
(una corona, una joya, el cuerpo humano) nadie lo había conseguido.
Hasta que Arquímides se dio cuenta de que cuando entraba
en la bañera llena de agua hasta el mismo borde, se
derramaba una cantidad de agua. Y tuvo la idea: si podía
medir el volumen de esa agua derramada habría hallado
el volumen de su propio cuerpo.
En el siglo III a. de C., el rey de Siracusa le pidió a Arquímedes
que le solucionara un problema. El rey había recibido una
corona que, supuestamente, era de oro puro; pero
sospechaba que fuera cierto.
Grabado que representa a Arquímides
Historia de la humanidad. Renacimiento y
humanismo, Laurousse, Barcelona,1997.
Cuenta la historia que Arquímedes un día que se encontraba en un baño público observó que
sus piernas podía levantarlas fácilmente cuando estaban sumergidas. Esta fue la chispa que le
permitió llegar a lo que ahora conocemos como "Principios de Arquímedes". Fue tan grande
el entusiasmo que le produjo el descubrimiento de su principio que tomó la corona en una mano
y salió desnudo del baño corriendo por las calles de Siracusa y gritando su célebre exclamación
de júbilo: "¡Eureka!, ¡eureka!" que quiere decir "ya lo encontré". Lo que había hallado era un
método para determinar la densidad de los cuerpos tomando como unidad la del agua.
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Algunos conceptos previos al estudio de las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos.
Definición 10. Área de una superficie, es más fácil determinar el área de las superficies
poliédricas como la suma de las áreas de sus caras planas. (Enciclopedia de las matemáticas,
editorial MIR, pág. 447, 1998).
Sin embargo es mucho más difícil definir el áreas de las superficies curvas y por esta razón no
se dará dicha definición formal, ya que incluye en ella los conceptos de límite, clase de superficies
e integral, los que no serán abordados en éste curso.
Definición 11. Apotema: El apotema () de un polígono
regular es el segmento perpendicular trazado desde el centro
de un polígono regular a cualquiera de sus lados.
También se le llama apotema () a la longitud de éste
segmento.
Ahora, podemos observar que en los cuerpos geométricos existe el apotema. En particular, el
Apotema de una pirámide regular es igual a la altura de su cara lateral. (Enciclopedia de las
matemáticas, editorial MIR, pág. 379, 1998).
¿A qué llamamos volumen?
Una idea intuitiva de lo que es el volumen de un cuerpo sería “la cantidad de espacio que ocupa
el cuerpo”.
Mientras que el área (A) es una medida de la superficie de una figura plana, el volumen (V) es
una medida de la capacidad que ocupa un cuerpo en el espacio. Por ejemplo, la cantidad de
centímetros cúbicos (cc) de bebida que esta envasada o la cantidad de litros (lt) que posee un
estanque.
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Comencemos el estudio
79
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
80
Como los cuerpos tienen tres dimensiones el volumen se mide en unidades cúbicas; por lo
general, se acostumbra tomar como unidad de volumen un cubo cuya arista mide una unidad
de longitud, el que se denomina cubo unitario.
A partir de la regla para el cálculo del volumen del paralelepípedo recto de base rectangular se
pueden derivar las reglas que permiten calcular el volumen de los cuerpos poliedros.
V = área de la base · altura
= largo · ancho · altura
¡Comencemos con las fórmulas!
Volumen y área de un paralelepípedo recto
Si tenemos un paralelepípedo de longitud l de largo, altura h -en este caso la altura es congruente
con su arista lateral- y ancho a, se obtiene el volumen mediante la fórmula:
V  l a h
En particular, el cubo tiene la longitud, la altura y el ancho de igual medida a, por lo tanto
tenemos que:
V a3
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Volumen de una pirámide
Sea Ab el área de la base de la pirámide y h la altura de la pirámide, entonces el volumen del
cuerpo se obtiene mediante la fórmula:
V 
1
Ab · h
3
En particular el caso de la figura anterior, que es una pirámide de base cuadrada de longitud
de arista l, por lo que el área basal se obtiene mediante la expresión Ab  l · l  l 2 .
Volumen de un prisma
Sea Ab la medida del área de la base del prisma y h la medida de su altura, entonces el volumen
del cuerpo se obtiene mediante la fórmula:
V  Ab · h
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
El área de los paralelepípedos se obtiene sumando las áreas de cada una de las caras que
componen éste tipo de cuerpos. En general, de la misma forma obtenemos el áreas de los
cuerpos poliedros (prismas, pirámides, etc).
81
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
82
Volumen y área de un cilindro
El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura.
Si tenemos un cilindro circular recto cuya altura mide h y el radio mide r, entonces el volumen
se obtiene mediante la fórmula:
V  r 2 h
Área de la superficie cilíndrica
(sin las tapas)
Asc  2r h
Volumen y área de un cono
El volumen de un cono es un tercio del producto del área de la base por la altura.
Si tenemos un cono circular recto cuya altura mide h, el radio mide r, el volumen se obtiene
mediante la fórmula:
V 
1
· r2 · h
3
Área del manto conociendo la
longitud de la generatriz g, se obtiene
mediante la fórmula:
A  · r · g
Volumen y área de una esfera
Si una esfera tiene un radio r, entonces el área del cuerpo se obtiene mediante la fórmula:
A  4· r 2
El volumen de una esfera es igual a un
tercio del producto de su radio por su área.
De acuerdo a esto tenemos que la fórmula
para obtener el volumen de una esfera es:
V 
4
· r 3
3
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El cálculo del volumen de los poliedros en general no es tan sencillo, pero gracias a los estudios
realizados por el matemático italiano y profesor de la universidad de Bolonia, Bonaventura
Cavalieri (1598 - 1647), el problema del cálculo de volumen resulta en muchos casos ser más
simple.
Cavalieri advirtió que tres pilas de igual número de cartulinas iguales tiene el mismo volumen.
Sin embargo, no es necesario que las cartulinas tengan la misma forma, basta con que las
secciones de cartulina que se producen tengan igual área para que los sólidos que forman
tengan el mismo volumen.
Entonces el principio dice que: “Si en dos o más cuerpos de igual altura, las áreas de las secciones
producidas con los mismos planos paralelos a la base limitándolos son iguales, entonces los
cuerpos tienen el mismo volumen”.
Si A1 = A2 = A3, entonces V1 = V2 = V3, para todos los posibles planos paralelos a las bases.
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Principio de Cavalieri
83
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
84
La geometría sagrada
Los poliedros regulares
Partenón. Imagen extraída de www.znanje.org/i/i22/02iv01/02iv0115/grcka.htm
Sólidos Platónicos
¿Por qué reciben éste nombre?
Dentro de las infinitas formas poliédricas que existen hay unas que, por sus simetrías, han ejercido
siempre una gran atracción sobre los hombres. Se trata de los poliedros regulares, cuyas caras
son polígonos regulares iguales entre sí y en cuyos vértices concurren el mismo número de caras.
Los prefijos Tetra, Hexa, Octa, Dodeca e Icosa que dan nombre a los cinco poliedros regulares
indican el número de polígonos (caras) que forman el cuerpo.
Platón, en su obra Timaeus (siglo IV a. C.) les
atribuyó un significado místico. Asoció cada
uno de los cuatro elementos que según los
griegos formaban el Universo, fuego, aire, agua
y tierra a un poliedro: fuego al tetraedro por
tener la forma “más aguda y más móvil”, tierra
al cubo por ser la forma “más sólida y menos
móvil”, aire al octaedro y agua al icosaedro.
Finalmente asoció el último poliedro regular, el
dodecadro, al Universo. Por este motivo estos
poliedros reciben el nombre de sólidos platónicos.
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Johannes Kepler en su obra “Mysterium Cosmographicum” realiza una interpretación cosmológica
de la asociación de Platón entre poliedros y elementos. Por ejemplo, justifica la asociación de
la tierra con el cubo porque, asentado sobre cualquiera de sus bases, es el de mayor estabilidad.
La asociación entre Universo y Dodecaedro la atribuye al hecho de que el número de sus caras
coincide con el de signos del zodiaco.
En 1595, Kepler convencido de “haber comprendido los secretos del creador” creó un modelo
del sistema planetario que utilizaba los sólidos platónicos para describir las distancias entre las
órbitas de los seis planetas que se conocían entonces.
En su modelo Kepler parte de una esfera exterior para proseguir con la construcción, inscribiendo
sucesivamente: un cubo, la esfera de Júpiter, un tetraedro, la esfera de Marte, un dodecaedro,
la esfera de la Tierra, un octaedro y finalmente la esfera de Mercurio.
En su obra la interpretación cosmológica de los sólidos
platónicos*:
“La Tierra (la esfera de la Tierra) es la medida del resto
de las esferas. Circunscriba un dodecaedro a su
alrededor y la esfera que le rodea será la de Marte;
circunscriba un tetraedro alrededor de la esfera de
Marte y la esfera que le rodea será la de Júpiter y la
esfera que le rodea será la de Saturno. Ponga ahora
un icosaedro dentro de la esfera de la Tierra y la esfera
inscrita en él será la de Venus; coloque un octaedro
dentro de la esfera de Venus y la esfera inscrita en él
será la de mercurio”.
* Tomado de “Las Matemáticas en la vida cotidiana”.
Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid.
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
El modelo de Kepler del sistema solar
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
86
87
En el trabajo con los cuerpos geométricos, y en particular con los cuerpos poliedros hemos visto
que existen ángulos, estos pueden ser ángulos diedros o ángulos poliedros.
Definición 12. Ángulo diedro, figura formada por dos semiplanos que tienen una arista
común. Los semiplanos se llaman caras del ángulo diedro.
Definición 13. Ángulo poliedro, figura formada por tres o más plano que se cortan dos a dos
según rectas concurrentes en el mismo vértice. Según el número de diedros el poliedro recibirá
el nombre de: triedro, tetraedro, pentaedro, hexaedro, etc., pudiendo ser cada uno de ellos de
dos tipos, convexos o no-convexo, según sea la sección producida al cortarlos por un plano, un
polígono convexo o no-convexo, respectivamente. (Geometría y experiencias, editorial Addison
Wesley Longman, pág. 119, 1998).
Unión del techo y dos paredes
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Al abrir un paraguas
Definición 15. Tetraedro, poliedro regular limitado por cuatro caras que son triángulos
equiláteros. Tiene 4 vértices, 4 ángulos triedros, 6 aristas y 6 ángulos diedros.
Envase Tetra pak
Definición 16. Cubo o hexaedro, poliedro regular limitado por seis caras que son cuadrados.
Tiene 8 vértices, 8 ángulos triedros, 12 aristas, 12 ángulos diedros y se pueden trazar 4 diagonales
congruentes y concurrentes.
Pieza metálica
Definición 17. Octaedro, poliedro regular limitado por ocho caras que son triángulos equiláteros.
Tiene 6 vértices, 6 ángulos tetraedros, 12 aristas y 12 ángulos diedros. Podríamos verlo como
que esta formado por dos pirámides de bases cuadradas unidas por éstas.
Mineral en forma de octaedro
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
Definición 14. Poliedros regulares o platónicos, poliedros convexos tales que todas sus caras
son polígonos regulares iguales y todos sus ángulos poliedros de los vértices son regulares e
iguales.
87
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
89
88
Definición 18. Dodecaedro, poliedro regular limitado por doce caras que son pentágonos
regulares. Tiene 20 vértices, 20 ángulos poliedros, 30 aristas y 30 ángulos diedros.
Arreglo en forma de dodecaedro
Definición 19. Icosaedro, poliedro regular limitado por veinte caras que son triángulos
equiláteros. Tiene 12 vértices, 12 ángulos poliedros, 30 aristas y 30 ángulos diedros.
Adenovirus en forma de icosaedro
Un ejemplo de redes planas que poseen los poliedros regulares (sólidos platónicos), son los
siguientes:
Tetraedro
Hexaedro o Cubo
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deSantiago
Santiago
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CIIET
U.
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
La construcción de los poliedros regulares de acuerdo al polígono regular que conforma las caras
del cuerpo, queda resumida en la siguiente tabla.
Cara del poliedro
Nº de caras por
vértice ≥ 3
Suma de ángulos en
cada vértice < 360º
Poliedro regular
3
4
5
6
No se forma
poliedro
3
4
No se forma
poliedro
3
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
Construyendo los sólidos platónicos
89
Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
91
4
No se forma
poliedro
3
No se forma
poliedro
Tabla resumen extraída y adaptada del libro “Geometría y experiencias”, J. García y C. Bertrán, pág. 124.
La regla de Euler
Los griegos le dieron mucha importancia al estudio de los poliedros. Conocían la existencia de
los cinco únicos poliedros regulares, a los que recurrió Platón para explicar la creación del universo,
como usted leyó anteriormente. Si embargo no se tenía conocimiento de la relación entre el
número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo.
El matemático suizo Leonhard Euler en el año 1752, fue
quien estudió esta relación para los poliedros convexos que
fue uno más de sus tantos trabajos realizados por él.
Nació en 1707 en Brasilea, Suiza y falleció en 1783 en San
Petersburgo, Rusia. Fue uno de los matemáticos más
prolíficos de la historia, publicó más de 500 obras, entre
libros y artículos.
Euler demostró que si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro
convexo y, del valor obtenido, se resta el número de aristas, el resultado es siempre igual
a dos. Es decir,
C+ V - A = 2
Donde,
C, es el número de caras de poliedro convexo.
V, es el número de vértices del poliedro convexo.
A, es el número de aristas del poliedro convexo.
Centro
Comenius
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CIIET
U. de Santiago
•
Tapia R., Oscar; Miguel Ormazábal D.; Jorge Olivares S. y David López G. (2003). Manual
de preparación MATEMATICA PSU. Ediciones Universidad Católica de Chile.
•
Vizmanos, José R. y Máximo Anzola (1994). Matemática Secundaria 3. Ediciones SM: MadridEspaña.
•
Clemens, Stanley R., Phares G. O'Daffer y Thomas J. Cooney (1998). Geometría. Addison
Wesley Longman: México.
•
Vinográdov I. M. (1998). Enciclopedia de las Matemáticas, Editorial MIR, traducción Alcalá
Madrid por Rubiños - 1860 S.A.
•
J. García y C. Bertrán (199 ). Geometría y experiencias, editorial Addison Wesley Longman.
•
Miller, Charles; Heeren, Vern y Hornsby, E. John jr (1999). Matemática: Razonamiento y
Aplicaciones, Editorial Addison Wesley Longman, México.
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Unidad 2: Formas Geométricas en el Espacio
Referencias Bibliográficas
91
Unidad 3 :
Transformaciones
en el P la n o
Mauricio Moya Márquez
Sandra Leiva Fuentealba
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93
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
La geometría de las ambulancias, del espejo y la naturaleza
Descubriendo isometrías en el plano
La torre ENTEL en Santiago.
Intuitivamente, simétrico significa algo bien proporcionado o bien equilibrado. La simetría denota
esa especie de concordancia entre las distintas partes a través de la cual ellas se integran en un
todo. Por lo tanto, hay una relación natural entre simetría y armonía. Para referirse a la apreciación
estética, Santo Tomás de Aquino29 decía: “los sentidos se deleitan con las cosas que tienen
las proporciones correctas”.
Conceptos como la belleza y la simetría no son fáciles de definir. En los diccionarios se pueden
encontrar términos tales como “correspondencia”, “equivalencia” o “identidad” entre las partes
que constituyen un sistema. Para el caso de belleza es posible encontrar expresiones como “el
resultado de una ordenación equilibrada y armoniosa”.
29 Filósofo, teólogo, doctor de la Iglesia (Angelicus Doctor), patrono de las universidades y escuelas Católicas.
Nacido en Rocca Secca, en el Reino de Nápoles en 1225 o 1227; fallecido en Fossa Nuova, 7 de marzo de 1274.
94
CIIET U de Santiago
En un sentido más limitado, la simetría se refiere a una
correspondencia del tipo “imagen especular” entre las
partes de un objeto. Un buen ejemplo son los cristales
de nieve, ya que estos siempre crecen formando figuras
hexagonales. Aunque las formas son infinitas y cada
cristal es único, la simetría de todos ellos es la misma.
El naturalista americano Wilson A. Bentley31,
impresionado por la belleza de estas frágiles
formaciones, dedicó 40 inviernos de su vida al estudio
de los minúsculos cristales que se aglomeran para
formar los copos de nieve.
En un sentido más amplio, la simetría incluye nociones tales como equilibrio, semejanza y
repetición (patrones).
En la Ciencia la simetría también encuentra su espacio. Por ejemplo, Química y simetría tienen
mucho que ver. Quienes se dedican a esta ciencia tienen que analizar frecuentemente las
propiedades de simetría de las moléculas. En este contexto, un caso muy particular y sorprendente
lo constituye la “molécula más simétrica del mundo”: el buckminsterfulereno (C60). Esta
molécula tiene la misma forma y simetría que un balón de fútbol, sin embargo, es 100 millones
de veces más pequeña.
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Vitruvius30 señalaba que “la simetría resulta de la proporción de cada parte y de su proporción
respecto del todo”. El orden, la belleza y la perfección están relacionados fuertemente con el
concepto de simetría. Respecto a esto es bien conocido que para los griegos la esfera y el círculo,
al ser las más simétricas de las figuras, representaban la perfección.
30 (s. I a.C.) Arquitecto y tratadista romano. No se conoce ninguna obra proyectada o construida por él. La fama
de Vitruvius se debe en exclusiva al tratado De Architectura, la única obra de estas características que se conserva
de la Antigüedad clásica.
31
Granjero autodidacto de un pequeño pueblo de Vermont (1865-1931).
geometría.cl • Aprender Geometría creando soluciones
95
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
En Física, se pueden citar las interesantes celdas de Rayleigh-Benard que
se obtienen al hervir líquidos de alta viscosidad. A esta temperatura se observa
un aspecto muy peculiar, el que corresponde a un recubrimiento cuyo patrón
es el hexágono regular.
En la naturaleza, la simetría abarca aspectos macro y microscópicos. Por ejemplo, las abejas
construyen sus panales con una perfecta simetría hexagonal. Las mariposas se desplazan de flor
en flor batiendo sus coloridas alas tan simétricamente decoradas.
En el micro mundo, las diatomeas, que son estudiadas por los biólogos, corresponden a
algas marinas minúsculas con esqueletos rígidos de formas muy variadas que poseen
también simetría.
Los espejos son una de las manifestaciones más claras del
concepto de reflexión. Si nos paramos frente a un espejo
observamos que nuestra imagen se ve reflejada como en un
cuadro pero “al revés”32
Si de reflexión se trata, un bello espectáculo que no pasa
inadvertido es el de una montaña reflejándose en el agua. O
bien algo más cotidiano en oposición a lo natural, un edificio
reflejándose en otro cuyos ventanales actúan como espejos.
32 Obra “Joven mirándose al espejo” de Berthe Morisot. Fuente:
http://www.livronet.com.br/arteyestilos/biografias/pintores/morisot.htm
96
CIIET U de Santiago
Con mucha historia y tradición, una fabulosa muestra del arte de los mosaicos en la decoración
es la Alhambra de Granada, la residencia real de la dinastía nazarí. En su interior pueden
apreciarse grandes extensiones de las paredes adornadas con motivos repetitivos en base a
patrones geométricos claramente distinguibles.
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
En el contexto del arte, uno de los autores contemporáneos de
más éxito en el llamado “arte matemático” fue el holandés Maurits
Cornelis Escher. En gran parte de los motivos decorativos de
Escher se observa que existe una figura principal que, mediante
desplazamientos, da lugar al conjunto general. Aquí las simetrías,
los desplazamientos o traslaciones se hacen presentes
recurrentemente.
97
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
98
La simetría, un objeto reflejándose, un cuerpo que se traslada o rota manteniendo su forma y
tamaño; los mosaicos, las repeticiones, el arte, nos invitan a explorar algunos conceptos de
interés en geometría: transformación, invariante e isometría.
En matemática la palabra transformación se asocia a los cambios de posición, tamaño y forma
que puede experimentar una figura o cuerpo geométrico. Por su parte, la palabra invariante
más bien se usa para describir las propiedades que no son afectadas por éstos cambios.
Una transformación geométrica es la correspondencia entre puntos “origen” y puntos
“imagen”.
La palabra isometría, tiene su origen etimológico en el griego: de iso (igual o misma) y metría
(de medir); luego por isometría se entiende “de igual medida”. También es usual utilizar esta
palabra para un movimiento que deja invariante la forma de una figura o un cuerpo. En este
caso se trata de un movimiento rígido en el plano.
Ya en la época del gran matemático Apolonio de Perga (262-200 a.C.) es posible encontrar
indicios relativos a transformaciones geométricas, aunque la noción de moderna de transformación
data del siglo XIX a raíz del impulso dado por el militar y matemático francés Jean Víctor
Poncelet, contemporáneo de Napoleón Bonaparte, lo que hizo que los geómetras no se limitaran
a considerar las transformaciones como simples cambios de variables, sino como correspondencias
entre figuras o entes geométricos.
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Las transformaciones en el plano requieren de la noción de coordenadas en el sistema o plano
cartesiano y el concepto de vector. Para introducir los conceptos, veamos el siguiente ejemplo.
Suponga que un grupo de amigos viaja en auto a San Carlos de Bariloche en Argentina, durante
las vacaciones de verano. La ruta escogida contempla primero viajar desde Santiago hasta Osorno
(913 Km). Luego hay que tomar la dirección hacia el paso fronterizo Cardenal Antonio Samoré
en Puyehue (97 Km) y desde aquí hasta San Carlos de Bariloche (aprox. 100 Km).
Si se quiere representar en un mapa la trayectoria seguida por el grupo de amigos que viaja,
podemos designar a la ciudad de origen Santiago con la letra S, a la ciudad intermedia O (Osorno)
y el destino B (Bariloche). Notar entonces, que la ruta queda representada por flechas, las que
tienen un punto de origen, un sentido, dirección, una magnitud y un punto de destino.
Matemáticamente, lo anterior corresponde a la definición de un vector.
Idealmente, si se pudiera viajar directo desde Santiago a Bariloche, esta ruta quedaría
representada por el vector resultante SB.
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Preparando el terreno: Plano cartesiano, coordenadas y vectores
99
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
100
Definición 1. Vector. Un vector es un segmento AB orientado que tiene su origen en el punto
A y su extremo en el punto B. Gráficamente se representa por una flecha.
El vector de la figura se denota por AB .
Un vector queda determinado conociendo su punto origen y su punto extremo, o bien, conociendo
su punto origen, su longitud, dirección y sentido. De acuerdo a esto el vector AB de la figura
queda caracterizado por:
a) El módulo: es la longitud del segmento AB
b) La dirección: está dada por la recta que pasa por A y B.
c) El sentido: es el recorrido de la recta cuando vamos de A a B. Para cada dirección
hay dos sentidos: el que va de A a B, en este caso el vector es
B a A, en cuyo caso el vector es
AB , y el que va de
BA
Vectores en el plano cartesiano
Recordemos que el plano cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas consta de dos rectas
numéricas perpendiculares, el eje X (Abscisas) y el eje Y (Ordenadas), las que se interceptan en
el origen. Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numeradas como
se indica en la figura.
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Definición 2. Componentes de un vector. Las componentes de un vector AB se expresan
mediante un par ordenado (a, b) de números tal que:
La abscisa (a) corresponde a la diferencia entre la abscisa de B y abscisa
de A.
La ordenada (b) corresponde a la diferencia entre la ordenada de B y
ordenada de A.
Gráficamente, las componentes de un vector están asociadas a sus proyecciones sobre
los ejes.
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Dado un punto P del plano. Si dibujamos por P las rectas paralelas a los ejes, en la intersección
de la paralela al eje Y con el eje X, encontramos el número real “a” que corresponde a la abscisa
de P; y en la intersección de la paralela al eje X con el eje Y tenemos el número real “b” que
corresponde a su ordenada. La abscisa y la ordenada son las coordenadas del punto y se escriben
como un par ordenado (a, b)
101
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
102
Ejemplo 1
Sea el vector AB , donde A(2,2) y B(7,5). Las componentes de AB corresponden a:
(7,5) - (2,2) = (7-2, 5-2) = (5,3)
Ejemplo 2
Las componentes del vector OD , donde O(0,0) y D(-2,6), serán:
(-2,6) - (0,0) = (-2-0, 6-0) = (-2,6)
Definición 3. Vectores equipolentes. Dos vectores que tienen la misma dirección, sentido y
módulo se les llama vectores equipolentes. Por ejemplo los vectores OC y AB son equipolentes,
ya que:
A(3,4) y B(6,6) son las coordenadas de AB , luego
(6-3,6-4) = (3,2)
O(0,0) y C(3,2) son las coordenadas de OC , luego
(3-0,2-0) = (3,2)
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Definición 4. Vectores opuestos. Dos vectores AB y BA que tienen el mismo módulo, la
misma dirección y sentidos opuestos, se llaman vectores opuestos.
También se da el caso de vectores tales como OD y OE , que nacen en el origen y son
opuestos.
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Cabe señalar que, en general, se usa el vector OC en lugar del vector AB.
103
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
104
Definición 5. Vector nulo. Es el que tiene su origen y su extremo en el mismo punto. Son
vectores nulos AA , BB , CC , etc. Por tanto, sus componentes son nulas. Cabe señalar
que estos vectores son todos equipolentes a la vector (0,0).
Los vectores son objetos matemáticos con los que se pueden efectuar algunas operaciones.
Entre ellas está la suma de vectores, la cual se explica a continuación.
Suma de vectores
Sean los vectores AB y CD , cuyas componentes son (3,-5) y (3,2) respectivamente.
Para sumarlos existen dos métodos:
1.
Formar un triángulo:
Se hace coincidir el extremo C de CD con el extremo B de AB (Cabe señalar que en
esta acción está implícito el hecho de escoger un vector equipolente a CD adecuado para
que los extremos coincidan). Finalmente se forma el triángulo al trazar el AD , cuyas
componentes corresponden a la suma de las componentes de AB y CD .
Las componentes del vector AD son: (3,-5) + (3, 2) = (6, -3)
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Las componentes del vector AE son: (3,-5) + (3, 2) = (6, -3)
Transformaciones en el plano
Definición 6. Transformación isométrica o isometría. Se llamará isometría del plano a
cualquier función o transformación del plano en sí mismo que no cambie la distancia entre los
puntos originales y sus imágenes (…) (Cortés y Rodríguez 1999, pp. 24 y 25).
Un modo más intuitivo de entender una isometría consiste en verla como un movimiento
rígido en el plano, mediante el cual tomamos una figura geométrica, la movemos, quizás la
giramos, pero no cambiamos su forma ni tamaño.
Es decir, dada una transformación T que a cada punto P del plano le hace corresponder el
punto P'= T(P), decimos que T es una isometría sí y sólo si, dados dos puntos cualesquiera
A y B del plano, se cumple que la distancia entre ellos d(A, B) es la misma que la de los puntos
imágenes d[T(A), T(B)], es decir:
d(A, B) = d[T(A), T(B)]
Existen muchas maneras de efectuar una transformación isométrica, pero todas ellas se pueden
descomponer en tres básicas: una traslación en una dirección en particular, una rotación con
respecto a un punto fijo o una reflexión respecto a un eje o recta.
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
2. Formar un paralelogramo
En este caso el extremo A de AB se hace coincidir con el extremo C de CD . Luego se
traza un segmento paralelo a cada vector formando de esta manera un paralelogramo. La
diagonal principal de este paralelogramo corresponde al nuevo vector, cuyas componentes
corresponden a la suma de las componentes de los vectores iniciales.
105
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
106
Definición 7.Traslación.Una traslación es un movimiento en una dirección fija, con una magnitud
fija. Sean P y Q dos puntos cualesquiera del plano, y sean P' y Q' sus respectivas imágenes por
medio de un movimiento T. Se dice que T es una traslación si para todo par de puntos P y Q,
se cumple que los segmentos PP' y QQ' :
1. tienen la misma longitud.
2. tienen direcciones paralelas.
3. tienen el mismo sentido.
Dos puntos del plano P y Q que se trasladan en una misma magnitud, dirección y sentido, dando
origen a sus respectivas imágenes P' y Q'.
Un auto visualizado antes de cruzar un puente carretero y luego después de cruzarlo, es un
ejemplo de una traslación en la vida cotidiana.
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Definición 9. Rotación. Una rotación es un giro en torno a un punto O fijo llamado centro
de rotación, en un ángulo llamado ángulo de rotación y con un sentido del giro (a favor
de los punteros del reloj o en contra). La imagen de un punto A se encuentra en el extremo
de un arco de circunferencia de amplitud y radio OA .
Rotación del punto A en torno al centro O en
un ángulo y sentido contrario a los punteros
del reloj. La imagen es A'.
Una figura rotada con respecto al punto O en
un ángulo de 120º, en el sentido contrario a los
punteros del reloj.
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Definición 8.Vector guía o de traslación. Una traslación T quedará definida por un vector
que recibe el nombre de vector guía o vector de traslación. Por ejemplo, la siguiente figura
ha sido trasladada por medio del vector AB en la dirección y sentido que se indica.
107
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
108
La clásica rueda de la fortuna es un buen ejemplo
de rotación entorno a un centro fijo.
Los punteros del reloj rotan en torno a un centro
fijo 360º. El péndulo del mismo también realiza
una rotación en torno a un punto fijo y con un
ángulo constante en los dos sentidos.
Definición 10. Reflexión. Dada una recta L fija, se denomina reflexión a la transformación
que hace corresponder a cada punto A del plano una imagen A', tal que:
1. AA es perpendicular a la recta L, llamada eje de reflexión.
2. La distancia del punto A al eje de simetría es la misma que la de A' al eje.
La reflexión también es un movimiento involutivo, es decir, si B' es la imagen de B, entonces B
es la imagen de B'. Los puntos del eje son todos fijos, de modo que son imágenes de sí mismos
bajo la reflexión.
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Un triángulo ABC se refleja con respecto al eje de
simetría L y su imagen corresponde al triángulo A' B'
C'
Definición 11. Simetría axial. La propiedad que presentan algunas figuras que muestran una
reflexión respecto de una recta denominada eje de simetría, se denomina simetría axial. En
este caso el eje de simetría se encuentra en la figura misma y se distinguen dos partes simétricas.
En una figura simétrica el eje de simetría pasa por ella.
La fotografía de una mariposa posada en las
flores, nos muestra una simetría casi perfecta
en la naturaleza.
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Una iglesia se refleja en el edificio del frente,
cuyos ventanales actúan como espejos
Al observar detenidamente la fotografía del
rostro de un tigre, también es posible apreciar
elementos simétricos. Basta trazar un eje por el
centro.
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109
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
110
Definición 12. Simetría Central. Cuando la simetría se produce respecto de un punto, se
denomina simetría central. El punto mencionado recibe el nombre de centro de simetría.
En una simetría central de centro O, el punto imagen P' de un punto P es tal que:
1. P' está en la recta OP que une el punto con el centro de simetría.
2. La longitud del segmento OP es igual a la de OP'
Una simetría central es también un movimiento involutivo. La imagen del centro de simetría es
el mismo punto.
Observación: La imagen de una figura que es sometida a una simetría central corresponde a
la misma figura pero “invertida” respecto de la primera. En este sentido el efecto de una simetría
central es equivalente al efecto de una rotación en 180º con respecto al centro O.
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Hélice de avión
Fuente: http://www.aviation-fr.info/
http://faq.bigip.mine.nu:8008/avion/drapeau.php
Esta figura tiene simetría rotacional, ya que al
girarla en torno a O ocupa la misma posición en
el plano más de una vez.
Una característica de los polígonos regulares es que poseen simetría rotacional. Por ejemplo,
el cuadrado ocupa la misma posición en el plano cada 90º de rotación. Un hexágono ocupa
el mismo lugar cada 60º de rotación.
Definición 14. Movimiento directo. Si tras realizar una isometría, se conserva el sentido del
giro de las figuras, se trata entonces de un movimiento directo. Suponga que la figura original
se recorre en el sentido contrario a las manecillas del reloj, en este caso la imagen también se
recorrerá en el sentido anti horario. Rotaciones y traslaciones corresponde a este tipo de
movimiento.
La traslación conserva el sentido en el que se
leen las figuras: ABC y A' B' C'
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Definición 13. Simetría rotacional. Una figura tiene simetría rotacional si al hacerla girar
en torno a su punto central(O), ocupa la misma posición en el plano más de una vez (antes de
dar una vuelta completa).
Una rotación también conserva el sentido en el
que se lee la figura y su imagen: ABC y A' B' C'
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111
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
112
Definición 15. Movimiento inverso. En este caso no se conserva el sentido del giro de las
figuras. Es el caso de una reflexión, ya que el resultado de esta isometría es una figura imagen
que se recorre en el sentido opuesto al de la figura original.
En una reflexión la imagen no conserva el sentido del giro, es decir,
mientras la figura se lee en sentido anti - horario, la imagen se lee en
sentido horario.
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La Alhambra de Granada en España.
Composición de isometrías
Definición 16. Composición de isometrías. Una composición de isometrías o transformaciones
isométricas es un proceso que implica aplicar dos o más isometrías sucesivas a una figura.
Por ejemplo, en la figura la letra Z es primero trasladada, luego reflejada con respecto al eje e
y finalmente rotada con respecto al centro O y en sentido horario.
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Composición de isometrías. Embaldosados, ladrillos en el muro y la
geometría de la Alhambra
113
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
114
Definición 17. Composición de traslaciones. Cuando una figura es sometida a más de una
traslación según distintos vectores, esto se denomina composición de traslaciones. Suponga
que a una figura se le aplican dos traslaciones sucesivas por medio de AB y CD . El resultado
de esta composición es una nueva traslación, según AB que corresponde a la suma
de AB y CD .
Definición 18. Composición de rotaciones. Suponga que se tienen dos rotaciones de centro
O y ángulos
y . Al componer ambas rotaciones, el resultado es otra rotación con el mismo
centro y ángulo + .
Definición 19.Composición de reflexiones. Para el caso de la composición de reflexiones o
simetrías es posible distinguir tres casos, respecto de los ejes de simetría: ejes paralelos,
perpendiculares y concurrentes.
1.
Cuando los ejes son paralelos, el resultado de la composición es una traslación PP'' cuyo
vector de traslación es perpendicular a los ejes, con sentido de P a P'' y longitud igual al
doble de la distancia entre los ejes. La composición de reflexiones no es conmutativa.
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3. Si los ejes son concurrentes, vale decir, forman un ángulo y se intersectan en O, el producto
de la composición es una rotación de centro O y ángulo de rotación 2 
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
2. En el caso de que los ejes sean perpendiculares, el resultado de la composición es una
simetría central respecto del punto de corte (O) de dichos ejes, o bien una rotación en
180º con respecto a O en sentido horario.
115
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Los ejes forman un ángulo 
 El producto de la composición de
reflexiones es una rotación de centro O
y ángulo 2 
Utilizando la noción de congruencia de triángulos, se puede demostrar que si el ángulo que
forman los ejes concurrentes es  la composición de reflexiones es una rotación de ángulo 2
.
Mosaicos, teselaciones o embaldosados
Definición 20. Mosaico, embaldosado o teselación37. Recubrimiento del plano con figuras
que se repiten de modo que:
Al unir las figuras se recubre completamente el plano.
La intersección de dos figuras sea vacía (no se traslapen).
37 Para este concepto en algunos libros se usa la palabra “TESELACIÓN” debido a la expresión en inglés “TESSELATION”.
Según el diccionario, tesela es cada una de las pequeñas piezas cúbicas de mármol, piedra, etc, con que se
hacían antiguamente los pavimentos de mosaico.
117
116
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Diseños artísticos que recubren el plano
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Embaldosados en la vida diaria: entrada a un departamento, una plaza, una pared de ladrillo
117
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
119
118
Definición 21. Teselación regular. Es aquella que utiliza un único tipo de polígono regular.
¿Qué polígonos regulares pueden recubrir el plano sin superposiciones ni vacíos?
Como la suma de los ángulos en cada vértice ha de ser 360º, la medida de los ángulos de los
polígonos regulares habrá de ser un divisor 360º. Por ello, los únicos polígonos regulares que
recubren el plano son: el triángulo, el cuadrado y el hexágono, cuyos ángulos interiores
miden 60º, 90º y 120º, respectivamente.
Un pentágono, por ejemplo, no puede recubrir el plano debido a que quedan “espacios” entre
medio. Esto es, porque el ángulo interior de un pentágono regular mide 108º. Con tres pentágonos
(3 · 108 = 324) la suma de los ángulos es menor que 360º, es decir, faltan 36º. Con cuatro
pentágonos (4 · 108 = 432) la suma es mayor que 360, es decir, sobran 72º. Por lo tanto, en
un caso queda un vacío y en el otro las figuras se superponen (traslapan).
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Dado que la suma de los ángulos en cada vértice ha de ser 360º, sólo es posible combinar cinco
tipos de polígonos regulares: triángulos, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Sólo
hay ocho tipos de teselaciones semirregulares.
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Definición 22. Teselación semirregular. Es aquella que utiliza más de un tipo de polígono
regular.
119
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Teselaciones con transformaciones isométricas
Usando transformaciones isométricas es posible construir teselaciones, tal como lo muestran
los siguientes ejemplos:
Traslación de una figura
Reflexión
Por intermedio de programas computacionales se pueden obtener teselaciones a partir de una
figura patrón, la cual es construida usando transformaciones isométricas. Las siguientes teselaciones
fueron construidas con el software Tesselmania38. En cada caso se indica la transformación
isométrica correspondiente.
Traslación
Rotación
Reflexión
Traslación y rotación
38 Copyright 1995, MECC.
121
120
Rotación de una figura
CIIET
U. de Santiago
Centro
Comenius
Usach
Reflexión y rotación
Arte matemático y teselaciones
En gran parte de las obras del holandés Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972), uno de los
artistas contemporáneos de más éxito en el llamado “arte matemático”, puede observarse que
la composición de los motivos decorativos se basa en isometrías. Es decir, nos podemos encontrar
con que una obra se construye por rotaciones, traslaciones o reflexiones de un patrón o figura
central.
Las teselaciones más comunes son las realizadas en base a polígonos regulares. Sin embargo,
Escher descubrió un ingenioso método para teselar a partir de una figura básica que es sometida
a transformaciones isométricas. A continuación algunas obras de Escher.
“Jinetes a caballo”
“Aire y agua I”
“Reptiles”
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Reflexión y traslación
121
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
122
Arquitectura y diseño con historia: mosaicos de la Alhambra
Las normas de la religión islámica no permiten a los artistas
reproducir figuras humanas. Por eso las paredes y techos de los
palacios y templos musulmanes se decoran siempre con motivos
geométricos. Una buena muestra de ese tipo de decoración es
la Alhambra de Granada. La residencia real de la dinastía nazarí.
Después de visitarla, Coxeter, uno de los más importantes
geómetras de este siglo, quedó impresionado y dijo: “el arte de
llenar el plano por repetición de un motivo alcanzó su cenit en
la España del siglo XIII, época en que los árabes utilizaron todo
tipo de desplazamientos en su intrincada decoración de la
Alhambra”.
Los tres polígonos que más se encuentran en los mosaicos de la Alhambra son: “el hueso”, “la
pajarita” y “el pétalo”. Estos se obtienen a partir del cuadrado, el triángulo equilátero y el
rombo mediante el principio de variar la forma pero manteniendo la superficie.
Nombre
“El hueso”
“La pajarita”
“El pétalo”
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Polígono base
Transformación al polígono nazarí
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
A continuación algunos mosaicos de la Alhambra, donde se señala la baldosa mínima y el vector
traslación que permite recubrir todo el plano.
123
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
124
Congruencia de figuras planas
Y algunos teoremas pendientes
Puente del Ferrocarril. Sector Lumbreras de Puangue, Melipilla.
Congruencia de figuras planas
Todas las figuras geométricas se caracterizan por dos atributos básicos: forma y tamaño. En
el caso de las figuras poligonales, la forma está determinada por sus ángulos interiores y el
tamaño por las medidas de sus lados.
En el estudio de la medición usamos la palabra “congruente” para segmentos que tienen igual
longitud. Si imaginamos que trasladamos uno de esos segmentos y lo superponemos sobre el
otro, coinciden. La idea de congruencia puede extenderse a otras figuras del plano que tengan
igual forma y tamaño. La posibilidad de que ellas coincidan, si podemos mover una hasta la
otra, nos ayuda a visualizar el concepto de congruencia.
Por ejemplo, dos hojas de impresión tamaño carta a las que tomamos y hacemos “calzar”. Esto
ocurre porque las hojas tienen la misma forma y tamaño.
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Un puente ferroviario
El techo de una casa rústica
Un enrejado
El techo de un gimnasio
Las ventanas de un edificio
Una “pluma” en la construcción
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
En la vida diaria a menudo nos encontramos con el concepto de congruencia, asociado a figuras
que tienen la misma forma y tamaño.
125
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
126
La entrada a un establecimiento
Los pisos en un edificio
Desde este acercamiento intuitivo, nos podemos aproximar ahora al concepto de congruencia
a partir de las transformaciones isométricas estudiadas anteriormente.
Recordemos que una isometría (traslación, rotación o reflexión o composición de ellas) corresponde
a un movimiento rígido en el plano en el que la figura final mantiene la forma y el tamaño con
respecto a la figura inicial.
Definición 23. Figuras planas congruentes. Dos figuras del plano se llaman congruentes si
existe una isometría que envíe o transforme una en la otra. Es decir, si podemos transformar
una figura en la otra sin doblarla, ni estirarla, ni romperla. Aquí se incluyen tanto movimientos
directos (traslaciones y rotaciones) como indirectos (reflexiones), además de cualquier composición
de ellos.
Observación 1: Esta convención se centra en el producto final de la transformación, es decir,
lo que pasa entre medio no se considera. Esto es relevante ya que, en el caso de la reflexión,
para llevar una figura hasta su imagen reflejada, implícitamente hubo que “sacarla” del plano,
girarla en el espacio y luego devolverla al plano. Desde luego esto contradice la idea inicial de
transformación en el plano.
Observación 2: Se admite la congruencia en el caso de las reflexiones, a pesar de que en el
sentido estricto de congruencia como igualdad, el sentido de la figura cambia. Es decir, si un
triángulo ABC se lee en el sentido anti-horario o “mano derecha”, su imagen reflejada A' B'
C' se leerá en el sentido horario o “mano izquierda”. Desde este punto de vista estos triángulos
no serían estrictamente congruentes, ya que habría además una diferencia de orientación en
cuanto a los ángulos.
CIIET U de Santiago
Ejemplo 1
En la figura que se muestra a continuación S'' es congruente con S. Al realizar una traslación
según el vector v (S S ') y luego una simetría con respecto a la recta e (S' S '' ), las figuras
coinciden.
Ejemplo 2
En la siguiente figura, F''' es congruente F. Al realizar una rotación de centro O (F F'), luego
una simetría con respecto a la recta e (F' F'') y finalmente una traslación según el vector t
(F'' F'''), las figuras coinciden.
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Observación 3: Cabe señalar que la congruencia conserva tanto el perímetro de las figuras
(forma) como el área (tamaño).
127
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
128
Sean los siguientes triángulos congruentes.
Una manera de describir la situación es decir que cualquiera de los triángulos se puede hacer
coincidir con cualquiera de los otros. Por ejemplo, para que ΔABC coincida con ΔEDF, debemos
hacer corresponder A con E, B con D y C con F.
Para describir la congruencia del primer triángulo y el tercero, debemos hacer corresponder los
vértices de la siguiente forma:
A G
B I
C H
Por lo tanto,
ΔABC  ΔEDF  ΔGIH
Nota: El símbolo se utiliza para indicar congruencia entre figuras geométricas y al mismo
tiempo la correspondencia entre vértices.
Triángulos congruentes
De acuerdo a la definición 23, dos figuras del plano son congruentes si existe una isometría que
transforme una en la otra. Consecuentemente, esta definición es válida en el caso de triángulos
congruentes. No obstante, otra manera de establecer la congruencia es a partir de los elementos
básicos que constituyen un triángulo: trazos y ángulos.
De la primera unidad del curso, recordemos las definiciones de trazos congruentes y ángulos
congruentes.
Se llaman trazos congruentes a los que tienen igual medida.
Si AB y CD son congruentes, entonces
CIIET U. de Santiago
CIIET U de Santiago
    y se escribe AB CD
m AB m CD
.
Si
y

son congruentes entonces m(
) = m(
) y se escribe

Definición 24. Triángulos congruentes. Dos triángulos ABC y DEF son congruentes si hay
una correspondencia entre sus vértices de manera que cada par de lados y ángulos correspondientes
(homólogos) sean congruentes (Clemens, 1998, p.85).
Triángulos congruentes:
ΔABC ΔDEF
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida, es decir, si representan el mismo
giro respecto de su vértice. Recordemos que en este caso no se está tomando en cuenta la
orientación del giro asociado al ángulo.
Triángulos congruentes en una casa
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129
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
130
En resumen, ABC  EDF si y sólo si:
AB  DE
ABC 
DEF
BC  EF
BCA 
EFD
CA  FD
CAB 
FDE
Recordemos que al establecer la congruencia entre dos triángulos, debe ser anotada en el orden
adecuado. Con ello determinamos cuáles son los elementos homólogos de ambos triángulos,
es decir, lados y ángulos congruentes, sin necesidad de recurrir a las figuras.
La congruencia de polígonos puede estudiarse a partir de la congruencia de triángulos. Esto
se debe a que cualquier polígono se puede “triangular”.
Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean
congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia.
Criterios de congruencia de triángulos
Triángulos congruentes en la entrada de un supermercado.
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ABC DEF, porque AB DE ;
ABC 
DEF y BC EF
Criterio ALA (ángulo - lado - ángulo). Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos
congruentes y el lado común a ellos, también congruente.
GHI JKL, porque
GHI 
JKL; HI KL y
HIG 
KLJ
Criterio LLL (lado - lado - lado). Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados
respectivamente congruentes.
MNO PQR, porque MN PQ
NO QR y OM RP .
;
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Criterio LAL (lado -ángulo - lado). Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
congruentes y el ángulo comprendido por ellos también congruente.
131
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
132
Teoremas que en su demostración requieren el concepto de congruencia
En la unidad 1 quedaron pendientes algunos pasos para la demostración completa de los
siguientes teoremas:
El área de un triángulo es equivalente a la mitad de la de un paralelogramo que tiene la
misma base (c) y la misma altura (h) que el triángulo, es decir, A =
1 c
2
· h.
Teorema de Pitágoras.
De igual manera, en esta unidad, quedó pendiente la siguiente demostración:
Sean dos rectas o ejes concurrentes L y L', los cuales se intersectan en O formando un ángulo
. El producto de la composición de dos reflexiones, a través de L y L', es una rotación de
centro O y ángulo 2..
Estas demostraciones requieren la noción de congruencia de triángulos, que es tema de esta
unidad. Completemos las demostraciones.
Área de un triángulo
Sea el triángulo ABC de altura h y base c. Demostremos que su área es:
A=
1
2
c · h.
Para calcular el área de un triángulo, conocidas las longitudes de un lado y su correspondiente
altura, podemos hacer lo siguiente:
A partir del triángulo ABC construimos las rectas L y L', donde L es paralela a AB pasando
por C y L' es paralela a AC pasando por B. Las rectas L y L' se intersectan en el punto E.
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Se puede demostrar que el triángulo ECB es congruente con el triángulo ABC. Por lo tanto,
el paralelogramo ABEC tiene un área igual al doble que la del triángulo.
Demostración
Hipótesis: ABEC es un paralelogramo
Tesis: ECB  ABC
Dado que ABEC es un paralelogramo, se cumple que
que EC  AB y EB  AC .
BEC 
CAB. Además, se tiene
En estas condiciones sólo basta aplicar el criterio lado - ángulo - lado para probar que los
triángulos ECB y ABC son congruentes.
Recordemos de la observación 3 de la def. 23 que la congruencia conserva tanto el área como
el perímetro de las figuras. Dado que ECB ABC, estos triángulos tienen la misma área.
Entonces se tiene:
Área de ABEC = Área de ECB + Área de ABC
Área de ABEC = Área de ABC + Área de ABC
(Dado que la áreas son iguales)
Área de ABEC = 2 · Área de ABC
Luego, se cumple que Área de ABC =
1 · Área de ABEC.
2
Conclusión:
El área de un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo con base y alturas
iguales en longitud. Es decir, el área de un triángulo corresponde a la mitad del producto de la
base por la altura. Esto es:
A=
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Como resultado de la construcción, se forma
el paralelogramo ABEC que tiene una base
congruente con la base c del triángulo y
una altura de igual medida que la altura h
del triángulo.
1
c·h
2
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133
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
134
Teorema de Pitágoras
Recordemos la demostración propuesta. En la figura siguiente, el cuadrado mayor tiene por lado
a + b, siendo a y b dos trazos cualesquiera y:
       
mEB m FCmGDmHAb
m AE m BF m CG m DH a
Usando la noción de congruencia es posible demostrar que los cuatro triángulos rectángulos
de la figura son congruentes y que por lo tanto tienen la misma área.
Demostración
Hipótesis: ABCD es un cuadrado
       
mEB m FCmGDmHAb
m AE m BF m CG m DH a
Tesis: AEH BFE CGF DHG
Dado que ABCD es un cuadrado, se cumple que
ángulos rectos, luego son congruentes.
HAE,
EBF,
FCG y
GDH son
Se cumple además que los trazos AE , BF , CG y DH son congruentes y su medida
es a.
También se cumple que los trazos EB , FC , GD y HA son congruentes y su medida
es b.
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Nota: como se sabe que los triángulos son rectángulos, el criterio de congruencia se reduce
a solo comprobar que los catetos sean congruentes. Es decir, el criterio se reduce
a Lado-Lado
Conclusiones:
1. Dado que AEH BFE CGF DHG, entonces se tiene:
       
m EF m FG m GH m HE = c
2. Lo anterior implica que el cuadrilátero HEFG puede ser un cuadrado o un rombo.
3. Se puede demostrar que HEFG es un cuadrado.
Demostración
Dado que AEH DHG esto implica que m(
m( HGD ) = m( EHA) = 
Por otra parte, se tiene que m(
Como DHG es rectángulo (
DHA) = + m(
GHE) = 90º
AEH) = y
GHE) + = 180º
(1)
GDH recto), entonces + = 90º (2)
Reemplazando (2) en (1) se obtiene
Por lo tanto, m(
DHG ) = m(
m(
DHA) = m(
Unidad 3: Transformaciones en el Plano
Nuevamente, solo basta aplicar el criterio L - A - L para demostrar la congruencia entre
los triángulos.
GHE) + 90º = 180º
(ángulo recto)
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
136
Análogamente se demuestra que los ángulos
HEF,
EFG y
FGH también son rectos.
El área del cuadrado mayor ABCD se puede expresar como:
A = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(1)
También es igual a la suma del área del cuadrado EFGH (el inscrito) más la de los cuatro triángulos
congruentes que lo rodean.
Esto es:
A = c2 + 4(
1
2
ab) = c2 + 2ab (2)
Igualando (1) con (2), tenemos:
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
De donde, restando a ambos miembros 2ab, obtenemos el teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2 o lo que es lo mismo c2 = a2 + b2
Composición de dos reflexiones en ejes concurrentes
Recordemos que si los ejes son concurrentes, es decir, se intersectan en un punto O formando
un ángulo , el producto de la composición de dos reflexiones es una rotación de centro O y
ángulo 2.
Los ejes L y L' forman un ángulo 
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El producto de la composición de dos
reflexiones es una rotación de centro O
y ángulo 2
Por la definición de reflexión se tiene
1. m( PH ) = m ( HP ' )
2.
PP '  L', por lo cual se tiene que
m(
PHO ) = m (
P'HO) = 90
3. Además, OH es común a los triángulos
rectángulos OPH y OP'H
Aplicando el criterio de congruencia L - A - L se
demuestra que OPH OP'H
Análogamente se demuestra que
OP'G OP''G
Conclusiones:
m ( OP ) = m ( OP ' )
m ( OP ' ) = m ( OP' ' )
y m(
y m(
HOP ) = m (
GOP' ) = m (
Por (1) y (2) se tiene que m ( OP ) = m ( OP' ' )
HOP') = x
GOP'') = y
(1)
(2)
y también que x + y = 
P'' es la imagen del punto P por medio de la rotación con respecto a O y ángulo
2x + 2y = 2 
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Demostración
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Unidad 3: Transformaciones en el Plano
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Referencias bibliográficas
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Tapia R., Oscar; Miguel Ormazábal D.; Jorge Olivares S. y David López G. (2003).
Manual de preparación MATEMATICA PSU. Ediciones Universidad Católica de Chile.
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Vinográdov I.M (1998). Enciclopedia de las Matemáticas. Editorial MIR, Rubiños -1860 S.A.
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Vizmanos, José R. y Máximo Anzola. (1994). Matemática Secundaria 3. Ediciones SM:
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