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XXIV OLIMPIADA MATEMÁTICA THALES
Fase provincial, 5 de abril de 2008
Problema nº 2: ¿VERDADERO O FALSO?
A mi profesora de mates Eulerina, ¡se le ocurre cada cosa en clase! Hoy ha dicho que
encontremos el menor número de 4 cifras distintas que cumpla que:
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•
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Es múltiplo de 6.
Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª
y 4ª cifra.
El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.
Yo no hago más que pensar, pero… ¡algo se me escapa que no encuentro el dichoso
número!, ¿será que no existe? Razona la respuesta.
Solución:
Veamos las consecuencias de cada una de las
cumplir el número:
Condición
Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en
orden creciente
Su 2ª y 4ª cifra son números consecutivos en
orden creciente
condiciones existentes que tiene que
Consecuencia
a, a+1
b, b+1
Luego el número de 4 cifras tendrá
la siguiente forma: a b a+1 b+1
Ha de ser el menor número de 4 cifras distintas
a+1 < b → a < b – 1
es múltiplo de 2
b+1 es par → b es impar
a + b + a + 1 + b + 1 es múltiplo de 3
Es múltiplo de 6 →
es múltiplo de 3
→ 2( a + b + 1) es múltiplo de 3
→ a + b + 1 es múltiplo de 3
b + b + 1 es múltiplo de 3
→ 2b +1 es múltiplo de 3
El número formado por la 2ª y 4ª cifra es
→ b puede ser 1, 4 o 7 → b = 7
múltiplo de 3
(b ≠ 1 porque entonces a sería
negativo)
(b ≠ 4 porque es par)
Como b = 7 → a + 7 + 1 es múltiplo de 3 → a puede ser 1, 4 o 7 → a = 1 por ser el
menor
Por tanto el número de cuatro cifras que buscamos es el 1728