Download PROBLEMA 01 – XIV

TERCER NIVEL INTERCOLEGIAL
¿QUE ES UN PROBLEMA?
La mayoría de los ejercicios que se presentan en los libros de texto no son verdaderos
problemas, sino sugerencias para ejercitar técnicas y herramientas que se han
presentado en el capítulo correspondiente. Un verdadero problema es una situación
que se presenta, en la cual se sabe más o menos ( o con toda claridad) a DONDE se
debe llegar pero no se sabe COMO llegar. La principal dificultad consiste en aclarar
la situación y dar con algún camino adecuado (una estrategia) que nos lleve a la
meta. A veces no se sabe si la herramienta adecuada para la situación planteada
está en la colección de técnicas que dominamos, o ni siquiera si se ha creado una
técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Esta es,
precisamente, la circunstancia del investigador, en matemática y en cualquier otro
campo y, por otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en
nuestra vida cotidiana.
UNA ESTRATEGIA DE PENSAMIENTO: COMENZAR CON UN PROBLEMA SEMEJANTE MAS
FACIL
A veces nos encontramos con problemas que resultan difíciles por su tamaño, por
presentar demasiados elementos que lo hacen complicado y oscuro.
En estos casos puede ser útil proponer un problema semejante, lo más sencillo posible
y resolverlo. De esta manera se consigue que aparezcan más transparentes principios
de solución que quedan confusos en medio de la complejidad del problema inicial.
EXPERIMENTAR, OBSERVAR, BUSCAR PAUTAS, REGULARIDADES. HACER CONJETURAS.
TRATAR DE DEMOSTRARLAS
En matemática, las buenas ideas surgen muy a menudo a través de "experimentos".
Los experimentos son de diverso tipo. Unas veces se trata de ensayar en casos
particulares la aparición de una cierta propiedad. Otras se tratan de mirar ciertas
figuras, cambiándolas, introduciendo elementos auxiliares, a fin de enlazar
diversas situaciones y de establecer conexiones que sospechamos que existen entre los
objetos que manipulamos. Con el experimento y la observación surge una
"conjetura". Se sigue experimentando con nuevos casos poniendo a prueba tal
conjetura. Si esta resiste varias pruebas va adquiriendo más fuerza. Luego vendrá la
tarea de dar con la razón por la cual la conjetura se verifica siempre, con la
"demostración" de la conjetura.
DIBUJAR UNA FIGURA, UN ESQUEMA, UN DIAGRAMA
Son muchos los problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra
encontrar una representación visual adecuada de los elementos que en él
intervienen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de
palabras, números o solamente símbolos.
ELEGIR UN LENGUAJE ADECUADO, UNA NOTACION ADECUADA
Muchas veces, el resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo
de pensamiento que se aplique sea el adecuado o no al problema. Por eso, antes de
empezar a trabajar conviene pensar si será bueno utilizar un lenguaje geométrico o
bien un simple diagrama, o tal vez convenga utilizar un lenguaje algebraico o
analítico, o incluso, venga bien una modelización con papel, cartón, etc.
PENSAR EN EL PROBLEMA RESUELTO
Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña consiste en
colocarse arriba con un helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles.
En la resolución de problemas este procedimiento es barato, fácil y de uso constante.
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GLOSARIO
< 1 > En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es un ángulo llano o 180º.
a
b
c
a + b + c = 180º
< 2 > Dados dos recta paralelas cortadas por una transversal:
b
d
c
a
e
a = b por ser opuestos por el vértice.
e = a por ser correspondientes entre paralelas cortadas por una transversal.
e = b y d = c por ser alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal.
a + c = 180, b + c = 180 y d + e = 180 por ser un ángulo llano o suplementario.
< 3 > Múltiplos y divisores.
Un número dícese múltiplo de otro cuando lo contiene a éste en una cantidad
exacta de veces.
Un número dícese divisor de otro cuando es contenido por éste en una cantidad
exacta de veces.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades
es 0, 2, 4, 6 u 8.
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es
múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si, y sólo si, la cifra de sus decenas y
de sus unidades son ceros o componen un múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades
es 0 o 5.
Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si, y sólo si,
 La cifra de las unidades más 3 veces la de las decenas, más 2 veces la de las
centenas, menos la de las unidades de mil, menos 3 veces la de las decenas de
mil, menos 2 veces la de las centenas de mil, más las unidades de millón, y
así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir que, dado el número
......jihgfedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 3b + 3c) – (d + 3e + 2f) +
(g + 3h + 2i) – (j + .........) + .............
 El número formado por las tres cifras de la derecha, menos el número
formado por las 3 que le siguen a su izquierda, más el número que firman las
3 que le siguen y así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir,
dado el número .....jifedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 10b + 10 2c)
– (d + 10e + 102f) + (g + 10h + 102i) – (j + ................) + ......................... resulta
un múltiplo de 7.Esta última versión, que parece más sencilla, no es muy
práctica para números pequeños.
Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si, y sólo si, el número formado por
las tres últimas cifras de la derecha es un múltiplo de 8.
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Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es
múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si, y sólo si, la cifra de las
unidades es cero.
Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si, y sólo sí, la suma de las cifras
de lugar impar, menos la suma de las cifras de lugar par es múltiplo de 11(se
cuenta de derecha a izquierda).
 Toda cifra seguida de un número par de ceros es igual a un múltiplo de 11,
más la misma cifra.
 Toda cifra seguida de un número impar de ceros es igual a un múltiplo de
11, menos la misma cifra.
Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si, y sólo sí, la cifra de sus
centenas y de sus unidades son ceros o componen un múltiplo de 25.
Divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125 si, y sólo sí, la cifra del número
formado por las tres cifras de la derecha es un múltiplo de 125.
< 4 >Cualquier proposición que pueda expresarse como una igualdad es una
ecuación. Una ecuación es una igualdad que tiene uno o más elementos
desconocidos llamados incógnitas.
Resolver una ecuación significa encontrar el o los elementos que hacen que la
igualdad sea verdadera.
¿CÓMO DESPEJAR LOS ELEMENTOS DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS?
2+3=52=5–3y3=5–2
( A ) EN UNA ADICIÓN, CADA SUMANDO ES IGUAL A LA SUMA MENOS EL OTRO
SUMANDO.
6–4=26=2+4
( B ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL MINUENDO ES IGUAL A LA RESTA
MAS EL
SUSTRAENDO.
6–4=24=6–2
( c ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL SUSTRAENDO ES IGUAL AL MINUENDO MENOS LA
RESTA.
2.3=62=6:3Y3=6:2
( D ) EN UN PRODUCTO, CADA FACTOR ES IGUAL AL PRODUCTO DIVIDIDO EL OTRO
FACTOR.
8:2=48=4.2
( E ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVIDENDO ES IGUAL AL COCIENTE MULTIPLICADO POR EL
DIVISOR.
8:2=42=8:4
( F ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVISOR ES IGUAL AL DIVIDENDO DIVIDIDO EL COCIENTE.
< 5 > La suma de números consecutivos desde 1 hasta n es
1 + 2 + 3 + .... + n = n.(n + 1
2
< 6 > Si al hallar la cantidad de divisores de un número entero lo descomponemos
en sus factores primos y luego lo escribimos como potencia y quede de la siguiente
forma: n = ax.by.cz ; entonces la cantidad de divisores que tiene n es del producto de
los exponentes luego de sumarle 1 a cada uno de ellos, o sea
(x +1).(y + 1).(z + 1) = cant. de divisores de n.
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< 7 > En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos
ángulos interiores no adyacentes.
a+b
c
a
c+b
b
a+c
< 8 > DIVISOR COMUN MAYOR. Si a, b son enteros no nulos, entonces existe y es único
d tal que:
 D es mayor que cero.
 D divide a a y d divide a b.
 c divide a a y c divide b entonces c divide a d.
A d llamamos divisor común mayor y anotamos (a;b). Para su cálculo ensayamos la
división de a (ab) por b (b0). Si el resto es 0, entonces (a;b) = b; si no lo es,
dividimos b por ese resto y repetimos el procedimiento de dividir los sucesivos
divisores por los sucesivos restos. El mcd es el último resto no nulo (algoritmo de
Euclides).
< 9 > MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO. Si a,b son números enteros no nulos, entonces
existe y es único m tal que:
 m es mayor que 0.
 a divide a m y b divide a m
 si k es entero y k es mayor que 0 y k es múltiplo de y b, entonces m es menor o
igual que k.
A m llamamos múltiplo común mínimo y anotamos a;b. Si a o b es cero, definimos
a;b = 0.
< 10 > MEDIATRIZ. Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales . En un
triángulo las mediatrices de los lados se cortan en el centro de la circunferencia
circunscrita.
< 11 > MEDIANA. La mediana de un triángulo es la recta que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto. Las medianas de los lados se intersectan en un punto
llamado BARICENTRO (también llamado centro de gravedad).
La longitud de la mediana trazada en el lado A es: M A =  2.(B2 + C2) – A2
2
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<12 > ALTURA. La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el
lado opuesto y es perpendicular a él. Las alturas de un triángulo se intersectan en
un punto llamado ORTOCENTRO.
< 13 > BISECTRIZ. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos
partes iguales. En un triángulo, las bisectrices se intersectan en un punto, INCENTRO
que es el centro de la circunferencia inscrita. La longitud de la bisectriz del ángulo
opuesto al lado A es:
L = BC.(B + C)2 – A2 ]
B+C
El baricentro está alineado con el ortocentro, y el circuncentro, y a doble distancia
del primero que del segundo.
< 14 > TEOREMA DE PITÁGORAS. Para un triángulo rectángulo existe una relación
muy conocida entre sus lados: es el Teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la
hipotenusa (A) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (B y C)”. La
hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y los catetos son los lados restantes. La
fórmula es la siguiente:
A2 = B2 + C2
A
B
C
< 15 > RECIPROCA DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
Si en un triángulo de lados de longitud a, b y c que verifican A²= B²+ C² entonces el
triángulo es rectángulo con catetos de longitudes b y c e hipotenusa de longitud a.
< 16 > SUPERFICIE. La superficie del triángulo puede calcularse de diversas maneras
según los datos que se dispongan:
* Fórmula básica: S = B x h
B: base; h : altura
2
* Fórmula de Herón: S = p.(p – A).(p – B).(p – C) ;
p=A+B+C
2
Teniendo como dato adicional de la circunferencia circunscripta: S = A . B . C ;
R es el radio de la circunferencia.
4.R
< 17 > Si en un triángulo la base se mantiene constante y su altura se divide en “ n “
partes iguales su superficie también queda dividida en “ n “ partes; y si su base se
divide en “ n “ partes iguales y su altura queda se mantiene constante su superficie
queda dividida en “ n “ partes iguales.
< 18 > CUADRADO.
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 Sus lados y ángulos son congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a L2
< 19 > RECTÁNGULO.
 Dos pares de lados opuestos congruentes.
 Todos sus ángulos congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 20 > ROMBO.
 Todos sus lados congruentes.
 Dos pares de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales son distintas y se cortan en sus puntos medios formando
ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 21 > ROMBOIDE.
 Dos pares de lados consecutivos congruentes.
 Un par de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales se cortan formando ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 22 > PARALELOGRAMO.
 Dos pares de lados paralelos congruentes.
 Sus ángulos opuestos son congruentes, y sus ángulos consecutivos son
suplementarios. (miden 180º).
 Las diagonales no son congruentes y no se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 23 > TRAPECIO.
 Un par de lados paralelos no congruentes y un par de lados no paralelos.
 Dos pares de ángulos consecutivos suplementarios.
 Sus diagonales no son congruentes.
 La superficie es igual a (B + b) . h
2
< 24 > POLÍGONOS EN GENERAL.
* Números de diagonales: Sea un polígono de n lados, el número N de diagonales
está dado por la fórmula:
N = n.(n – 3)
2
* Suma de los ángulos Interiores: La suma de los ángulos interiores está dada por la
fórmula:
 i = 180º.(n – 2)
* Superficie: La superficie se puede calcular dividiendo al polígono en n triángulos
como se muestra en el ejemplo:
* Polígonos regulares: Las fórmulas para calcular superficies son generales
únicamente para polígonos regulares. Dichos polígonos tienen todos sus lados
iguales y todos sus ángulos congruentes. Consideramos ahora un polígono regular
de n lados inscripto en una circunferencia de radio R, si queremos realizar el
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mismo procedimiento que en el ejemplo anterior podemos tomar el centro de la
circunferencia para poder trazar los triángulos.
< 25 > CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO. La circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos que equidistan de un punto llamado centro. Círculo es la región encerrada
por la circunferencia. Si R es el radio de la misma, la longitud de la curva
(llamada también perímetro) es C = 2..R; y el área del círculo es S = .R2.
< 26 > ACUTÁNGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos
agudos.
< 27 > ÁNGULO ADYACENTE. El que resulta cuando una de las semirrectas que lo
delimitan es común para dos ángulos. Por ejemplo  y 
a
O
b
β
c
< 28 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto
< 29 > ANGULO CENTRAL. El formado por el origen O de una circunferencia y dos
radios r1 r2
< 30 > ANGULO COMPLEMENTARIO. El que, sumado a otro, es igual a un ángulo
recto.  +  = 90º
< 31 > ANGULO OBTUSO. El mayor que un recto.
< 32 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 33 > ANGULO SUPLEMENTARIO. El que sumado a otro da 180º.  +  = 180º
< 34 > CIRCUNCENTRO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de
otra figura geométrica.
< 35 > Un cuadrilátero es un paralelogramo cuando tiene alguna de las siguientes
propiedades:
a) Ambos pares de lados opuestos son paralelos (definición)
b) Ambos pares de lados opuestos son iguales.
c) Ambos pares de ángulos son iguales
d) Las diagonales se bisecan.
e) Un par de lados opuestos son iguales y paralelos.
< 36 > ACUTANGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos
agudos.(menos de 90º)
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< 37 > ADYACENTE. Significa próximo o al lado.
< 38 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto.
< 39 > ANGULO DE DEPRESIÓN. Formado por la línea recta que va desde el punto de
observación al objeto por debajo de la horizontal y esa horizontal.
< 40> ANGULO OBTUSO. El mayor que un ángulo recto.
< 41 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 42 > APOTEMA. Es el radio de la circunferencia inscrita en un polígono regular.
< 43 > CATETO. Cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo que no es el
opuesto al ángulo recto.
< 44 > CENTRO DE SIMETRÍA. Punto fijo situado a igual distancia de dos puntos
simétricos.
< 45 > CIRCULO. Porción de un plano limitado por una circunferencia. Área de esa
porción.
< 46 > CIRCULO CIRCUNSCRITO. Es el que pasa por todos los vértices de un polígono.
< 47 > CIRCULO INSCRITO. Aquél en el que los lados de un polígono son sus
tangentes.
< 48 > CIRCUNCENTRO. Punto de corte de las mediatrices de un triángulo.
< 49 > CIRCUNSCRITO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de
otra figura.
< 50 > CONCAVO. Curvado como la superficie interna de una esfera.
< 51 > CONGRUENCIA. Es la propiedad por la que dos figuras pueden considerarse
exactamente similares.
< 52 > CONJUNTO DISJUNTO. Son los conjuntos que no tienen elementos comunes.
< 53 > CONSTANTE. Es una cantidad fija que permanece igual a lo largo de todas las
operaciones de un cálculo matemático.
< 54 > CUADRILÁTERO. Figura plana limitada por 4 líneas rectas.
< 55 > DIAGONAL. Es la línea recta que une dos vértices no consecutivos de un
polígono.
< 56 > DIÁMETRO. Línea recta que pasa por el centro de un círculo y lo divide en dos
partes iguales.
< 57 > DIGITO. Numero de una sola cifra.
< 58 > ECUACIÓN DIOFÁNTICA. Es una ecuación algebraica que tiene coeficientes
enteros y cuya solución también debe ser un número entero.
< 59 > EQUIDISTANTE. Todo punto situado a la misma distancia que otro.
< 60 > EQUILÁTERA. Toda figura que tiene sus lados de la misma longitud.
< 61 > INSCRITO. Cualquier figura geométrica trazada en el interior de otra.
< 62 > OBLÍCUO. Se dice de toda línea no perpendicular
< 63 > PARALELEPÍPEDO. Cuerpo de seis caras que son paralelogramos iguales y
paralelos dos a dos.
< 64 > POLÍGONO REGULAR. Polígono que tiene iguales los lados y los ángulos.
< 65 > RADIO. Cualquier recta que va del centro a la circunferencia de un círculo.
< 66 > ROMBO. Figura geométrica limitada por cuatro rectas iguales y con los
ángulos opuestos iguales pero no rectos.
< 67 > ROMBOIDE. Figura geométrica limitada por cuatro rectas no iguales y con
los ángulos no iguales.
< 68 > TRAPECIO. Cuadrilátero con dos lados paralelos.
< 69 > TRAPECIO ISÓSCELES. El que tiene iguales los ángulos adyacentes a una base.
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< 70 > TRAPECIO RECTÁNGULO. El que tiene un ángulo recto.
< 71 > TRIÁNGULO ACUTÁNGULO. Triángulo con todos sus ángulos agudos.
< 72 > TRIÁNGULO ESCALENO. Triángulo que no tiene dos lados y dos ángulos
iguales.
< 73 > TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
< 74 > RECORDAR. Si una figura se corta en un número cualquiera de piezas que se
reacomodan en su totalidad, como un rompecabezas, para formar una nueva
figura, el área de ésta es la misma que el área de la primera.
< 75 > ÁREA DE UN CÍRCULO. Es π.r2, r es el radio del círculo.
< 76 > FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
A
C
B
A
TANGENTE: tg α =
B
B
COSENO: cos α =
C
SENO: sen α =A
C
B
< 77 > TEOREMA DEL SENO.
b
Sen a = sen b = sen c
A
B
C
A
a
c
C
< 78 > TEOREMA DEL COSENO. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
< 79 > ECUACION CUADRÁTICA. Su forma canónica es a.x2 + b.x + c = 0, con a, b y c
números reales. Las soluciones están dadas por:
x1 = -b + √b2 – 4.a.c
x2 = -b - √b2 – 4.a.c
2.a
2.a
< 80 > DESIGUALDAD TRIANGULAR. Para todo triángulo ABC tenemos que AB + BC <
AB.AC
AC.
2
< 81 > El área SABC de un triángulo ABC es menor o igual que
^
^
< 82 > Sea ABC un triángulo. Entonces ABC < BAC si y sólo si AC < BC
< 83 > Sea O un punto interior al triángulo ABC. Entonces AO + OC < AB + BC.
< 84 > Sea mc la mediana de un triángulo de lados a, b, c correspondiente al lado c.
Entonces a + b –c < mc < a + b
2
2
< 85 > TEOREMA. Las áreas de triángulos de igual altura son proporcionales a sus
[ADC] = AD
bases. C
[DBC] DB
A
D
B
< 86 > Un número natural es un cuadrado si y sólo si en su factorización todos los
primos aparecen con exponente par.
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< 87 > EL PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. Si un evento puede ocurrir de m maneras
y un segundo evento puede ocurrir independientemente del primero, de k maneras,
entonces los dos eventos pueden suceder de m,k maneras.
< 88 > CUADRADO DE UN BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
< 89 > CUBO DE UN BINIMIO: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
< 90 > CUERDA: Línea recta que dos puntos no adyacentes en una circunferencia.
< 91 > RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
0º
30º
45º
60º
90º
seno
0
½
√2/2
√3/2
1
Coseno
1
√3/2
√2/2
½
0
Tangente
0
√3/3
1
√3
∞
Cotangente
∞
√3
1
√3/3
0
Secante
1
2√3/3
√2
2
∞
cosecante
∞
2
√2
2√3/3
1
< 92 > ARREGLOS SIMPLES. Se llaman arreglos simples de orden n de m elementos
distintos (m≥n) a todas las ordenaciones de los mismos que se diferencian una de
otra por sus propios elementos o por el orden se sucesión de ellos.
El número total de arreglos simples n-arios de m elementos se anota Amn =
m!
.
(m – n)!
< 93 > PERMUTACIONES SIMPLES. De m elementos distintos a todas las ordenaciones
de los mismos que sólo se diferencian unas de otras por el orden de sucesión de los
elementos contenidos en ellas. Pm = m!
< 94 > COMBINACIONES SIMPLES. De orden n de m elementos distintos (m≥n) a todas
las ordenaciones de los mismos que sólo se diferencian una de otra por sus propios
elementos. Cmn = m!
n!.(m – n)!
< 95 > LOGARITMO. Dados a, b reales positivos y b ≠ 1, se dice que el logaritmo en
base b del número a es x si, y sólo si, x es el exponente al que hay que elevar b para
obtener a. logb a = x  bx = a
< 96 > PROGRESIONES ARITMÉTICAS. Es toda sucesión de números a 1, a2, a3, …. an,
(término de la progresión) en la que cada término se obtiene del anterior
sumándole un valor constante r que llamamos diferencia de la progresión. Es decir
que an - an-1 = r para cualquier n.
an = a1 + (n – 1).r
Sn = (a1 + an ). n
2
< 97 > PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Es toda sucesión de números a 1, a2, a3, …. an,
(término de la progresión) en la que cada término se obtiene del anterior
multiplicándolo por un número constante q ≠ 0 que llamamos razón de la
progresión.
an = a1.qn-1
Sn = a1.(qn – 1)
q–1
< 98 > ECUACIÓN BICUADRADA. Tiene la forma ax4 + cx2 + e = 0, cuyas raíces están
dadas por:
X = + -√-c + -√c2 – 4ac
2a
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TERCER NIVEL INTERCOLEGIAL
< 99 > FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLO Y DEL ÁNGULO MITAD. Si
se conoce las funciones trigonométricas de un cierto ángulo y se desea conocer las
funciones correspondientes a un ángulo que mide el doble del anterior, o la mitad
de él, se utiliza las siguientes fórmulas:
Sen 2α = 2.senα.cosα
cos2α = cos2α – sen2α
tg2α = 2.tgα .
1 – tg2α
Senα = √ 1 – cosα
2
2
cos α = √ 1 + cosα
2
2
tg α = √ 1 – cosα
2
1 + cosα
< 100 > FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS.
Sen (α +/- β) = senα.cosβ +/- senβ.cosα
cos (α +/- β) = cosα.cosβ +/- senβ.senα
tg (α +/- β) = tgα +/- tgβ
1 -/+ tgα.tgβ
< 101 > CUADRADO DE UN BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
< 102 > CUBO DE UN BINIMIO: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
< 103 > CUERDA: Línea recta que dos puntos no adyacentes en una circunferencia.
XII CERTAMEN
1995
^
1. Sea ABCD un rectángulo y A', B', C' y D' en las prolongaciones de sus lados tales
que
AA' = k.AD ; BB' = k.AB ; CC' = k.BC ; DD' = k.CD.
Hallar k de modo que el área del cuadrilátero A'B'C'D' sea 25 veces el area del
rectángulo ABCD.
2. Hallar todos los números enteros X que satisfacen
2x.(4-x) = 2.x + 4
3. ¿Se pueden distribuir los números del 1 al 16 en las casillas del tablero de modo
que la suma de los números ubicados en tres casillas consecutivas sea siempre menor
o igual que 24?
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TERCER NIVEL INTERCOLEGIAL
XIII CERTAMEN 1996
1. Para hacer una torre de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerla de 2 pisos
se usan 7 naipes, para hacerla de 3 pisos se usan 15 naipes.
¿Cuántos naipes hay que usar para hacer una torre de 100 pisos?
2. Hay que asignar a los vértices de un decágono regular números naturales
distintos de modo que se cumpla la siguiente propiedad: la suma de los cuadrados
de los números de dos vértices consecutivos siempre es igual a la suma de los
cuadrados de los números de los vértices opuestos.
Completar los vértices que faltan.
3. En una circunferencia de centro O, AB es un diámetro y P un punto de AB que
dista 9 cm. de O. Se trazan dos cuerdas perpendiculares a AB que miden 18 cm y 14
cm respectivamente, dejan a O entre ambas y distan 8 cm entre si.
Calcular la medida de la cuerda paralela a las otras que pasa por P.
XIV CERTAMEN 1997
1. El triángulo ABC tiene AB = 20√2 , BC = 28 y ABC = 135o. Si H es el pie de la altura
trazada desde A y M es el punto medio de AC, calcular la medida de HM.
2. Hallar todos los valores de x que son soluciones de la ecuación
3. Un grupo de amigos se reparten en partes iguales 994 monedas de 1 peso, hasta
que lo que sobra no alcanza para darle una moneda más a cada uno. Si el grupo
tuviera una persona más, la cantidad sobrante no habría variado. Lo mismo
ocurre si el grupo tuviera dos personas más.
Decidir si con esta información se puede determinar, sin ambigüedades, el número
de personas del grupo. En caso afirmativo, dar ese número. En caso negativo,
explicar por qué.
XV CERTAMEN 1998
1. En el triángulo isósceles ABC ( con AB = AC ), sean P y Q en AB y AC,
respectivamente, tales que PQ es paralelo a BC. La altura desde A intersecta a PQ en
O y a BC en M.
Si AP = 64 y
, hallar AB.
2. Sean x, y, números reales tales que x + y = 26, x3 + y3 = 5408. Hallar x2 + y2.
3. Hallar todos los números enteros n tales que (n+98)/(n+19) es un número entero.
Profesor Rey Zarza
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TERCER NIVEL INTERCOLEGIAL
ATENCIÓN: Los números enteros son {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
XVI CERTAMEN 1999
1. Sean ABCD un cuadrado de lados AB = BC = CD = DA = 45 y P un punto exterior al
cuadrado tal que el triángulo ABP es rectángulo en P. Si DP = 9√65 y CP = 9√58,
hallar las medidas de AP y BP.
2. Sean x, y números reales positivos tales que
x, x + 2y, 2x + y forman una progresión aritmética y
(y + 1)2, xy + 25, (x + 1)2 forman una progresión geométrica. Hallar los valores de
x e y.
3. Utilizando exclusivamente dos dígitos distintos, 2 y a, se forma el siguiente
número de 90 cifras:
2a22a222a2222a...
Si este número de 90 cifras es múltiplo de 9, dar todos los valores posibles del dígito
a.
XVII CERTAMEN 2000
1. Sea ABCD un rombo de lado 61 tal que sus diagonales AC y BD verifican que AC
= 98 + BD. Hallar el área del rombo.
2. Determinar todos los números naturales n tales que n y n + 475 son ambos
cuadrados perfectos.
3. Sea n un número natural. Se tiene un rectángulo de 3 x n, cuadriculado en
cuadraditos de l x l.
Denominamos puntos de la cuadrícula a los puntos donde se cortan dos líneas del
cuadriculado, o una línea del cuadriculado con un lado del rectángulo, o dos
lados del rectángulo.
Si se cuentan todos los cuadrados de todos los tamaños posibles que tienen sus
cuatro vértices en puntos de la cuadrícula, se obtienen 950 cuadrados. Hallar el
valor de n.
XVIII CERTAMEN 2001
1. De un trapecio isósceles se sabe que sus diagonales son perpendiculares y su área
es igual a 98. Hallar la altura del trapecio.
2. Hallar todos los cuadrados perfectos menores que 100000 que son iguales a un
cubo perfecto multiplicado por 3/2.ACLARACION: Los cuadrados perfectos son los
números que se obtienen al elevar al cuadrado los números naturales y los cubos
perfectos son los números que se obtienen al elevar al cubo los números naturales
3. En la siguiente configuración de nueve círculos hay seis maneras de elegir cuatro
círculos de modo que los centros de los cuatro círculos sean los vértices de un
cuadrado.
Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, uno en
cada círculo, de
modo que para cada uno de los seis cuadrados
mencionados, la suma
de los cuatro números escritos en los cuatro círculos
correspondientes a
sus vértices sea siempre la misma.
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13
TERCER NIVEL INTERCOLEGIAL
XIXCERTAMEN 2002
1. Sea ABCD un rectángulo de lados AB = 16 y BC = 20. Sea E el punto medio del lado
AB y F el punto en el que la perpendicular a EC trazada por E corta al lado DA.
Calcular la medida del segmento FD.
2. Dos ciclistas viajan a velocidades constantes por dos caminos que se cruzan.
Cuando A llega al cruce, a B le faltan todavía 3200 metros para llegar al cruce
.Cuatro minutos más tarde, la distancia de A al cruce es la misma que la distancia
de B al cruce, y 12 minutos más tarde, nuevamente la distancia de A al cruce es la
misma que la distancia de B al cruce. Calcular las velocidades de cada uno de los
ciclistas.
3. Un vendedor ambulante vende cada lata de gaseosa a 0,94 pesos, pero no tiene
monedas para dar vuelto. Determinar el menor número de latas que debe comprar
un cliente para que cada una le cueste menos de 1 peso, si el cliente sólo dispones de
monedas de 1 peso.
XX CERTAMEN 2003
1. Sea ABCD un rectángulo de lados AB =CD =10 y BC = DA = 15. Designamos M al
punto medio de AB y P al punto del lado BC tal que PC = 5. Se traza por P la
perpendicular a DM que corta a DM en Q. Calcular la medida del segmento PQ.
2. Un cuadrado con lados de longitud entera está dividido en 89 cuadrados más
pequeños, 88 de ellos de lado 1 y el restante de lado de longitud entera, mayor que
1. Hallar los posibles valores del lado del cuadrado inicial.
3. En cada casilla de un tablero de 100´100 hay escrito un número. En la primera
fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los enteros desde 1
hasta 100, en la segunda fila están ordenados en forma creciente de izquierda a
derecha los múltiplos de 2, desde 2 hasta 200; en la tercera fila están ordenados en
forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 3, desde 3 hasta 300; y así
siguiendo, en la fila k están los múltiplos de k desde k hasta 100k. Consideramos la
diagonal del tablero que une la esquina inferior izquierda con la esquina superior
derecha. Determinar cual es el mayor de todos los números escritos en las casillas de
esta diagonal.
XXI CERTAMEN 2004
1. Cinco objetos, todos de pesos enteros, se han pesado en grupos de 3 de todas las
maneras posibles y se obtuvieron los siguientes 10 pesos en kilogramos:
10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24.
Calcular cuánto pesa cada uno de los cinco objetos.
2. Calcular cuántos enteros entre 1 y 2004 tienen la suma de sus dígitos igual a un
múltiplo de 5.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo en C con AB=120 y AC=72.
Se considera el punto P de AB tal que 3BP=AB y el punto Q de BC tal que PQ es
perpendicular a AB.
Calcular el área del cuadrilátero APQC.
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TERCER NIVEL INTERCOLEGIAL
XXII CERTAMEN 2005
1. Un arqueólogo ha descubierto que una antigua civilización usaba 5 símbolos
para representar los números:
. Estos símbolos corresponden en algún
orden a los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. De este modo, cuando escriben
representan un
número en base 5:
.
El arqueólogo sabe que los siguientes tres números son consecutivos, ordenados de
menor a mayor:
,
y
.
Hallar el valor de cada símbolo y cuáles son los tres números consecutivos.
2. En la pantalla de la computadora hay inicialmente un rectángulo de 21
milímetros de ancho y 33 milímetros de alto. Cada vez que se aprieta la tecla “+”, el
ancho aumenta 2 milímetros y el alto aumenta 1 milímetro. Determinar cuántas
veces hay que apretar la tecla “+” para que el área del rectángulo de la pantalla sea
25 veces el área del rectángulo inicial.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AB=16 y AC=18. Una paralela a AB
corta lado AC en P y al lado BC en Q de modo que el área del trapecio ABQP es 63.
Calcular la longitud del segmento PQ.
XXIII CERTAMEN 2006
1. En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 2006. Nacho borra
números con el siguiente procedimiento: Recorre los números del pizarrón
ordenadamente de menor a mayor comenzando con el 3. Borra el 3 y cada vez que
llega a un número que se puede escribir como suma de dos números distintos que no
se hayan borrado hasta ese momento, lo borra. Determinar cuántos números
quedarán en el pizarrón cuando Nacho concluya su tarea.
2. En un parque sólo hay gatos de dos colores: completamente blancos y
completamente negros. Algunos son machos y los otros, hembras.
Los machos son el 55% del total de los gatos del parque.
La proporción entre machos blancos y machos negros es igual a la proporción entre
gatos blancos y gatos negros.
Hallar la proporción entre machos blancos y hembras blancas.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa BC. Consideramos los
puntos D en el cateto AB y E en el cateto AC tales que
y
. La paralela a AC por D corta a BC en G, y la paralela a AB
por E corta a BC en F.
Si el área del trapecio DEFG es igual a 10, calcular la longitud de los catetos del
triángulo ABC.
XXIV CERTAMEN 2007
1. Dividir al conjunto de los enteros positivos desde 1 hasta 100 inclusive en dos
conjuntos A y B tales que A contenga 70 números, B contenga 30 números, y la suma
de todos los números de A sea igual a la suma de todos los números de B.
2. Determinar todos los números reales x tales que
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TERCER NIVEL INTERCOLEGIAL
.
3. Sean ABC y ABD dos triángulos unidos por su lado AB. El triángulo ABC tiene
. El triángulo ABD tiene
y
corta al segmento AB en O. Calcular BO si se sabe que
. El segmento CD
y
.
XXV CERTAMEN 2008
1. En una reunión cada invitado saludó a cada uno de los restantes con un
apretón de manos. Hubo 36 apretones de manos entre dos mujeres y 28 apretones de
manos entre dos varones. Calcular cuántos apretones de manos hubo entre un
varón y una mujer.
2.
Nico
escribió
el
número
n de 100 cifras todas iguales a 9.
A continuación, calculó n 2 (n elevado al cuadrado) y finalmente halló la suma de
todos los dígitos de n 2. Determinar el valor de la suma que halló Nico.
3. Sea ABCD un rectángulo con BC < CD y M , N los puntos medios de los lados BC y
CD , respectivamente. Este rectángulo es tal que el triángulo AMN es rectángulo con
. Si BC = 5, calcular la medida de CD .
XXVI CERTAMEN 2009
1. Calcular la suma de los dígitos del número N = 102009 - 2009 .
2. Se tiene un cubo de arista n, con n un entero desconocido, pintado de azul. Se
divide el cubo en n3
cubitos de arista 1. La cantidad de cubitos que no tienen ninguna cara pintada es
igual a 27 veces la
cantidad de cubitos que tienen exactamente 2 caras pintadas. Hallar n.
3. Sea ABCD un rombo y P, Q, R, S puntos en los lados AB, BC, CD, DA,
respectivamente, tales que PQRS es un cuadrado de lado 2.
Si AP = CQ = AS = CR = 1 , calcular el lado del rombo ABCD.
PB
QB
SD
RD 2
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